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Serie Mathematik (Teil V)

Die ABC-Vermutung

ABC-Vermutung
Auf den ersten Blick sieht die ABC-Vermutung täuschend einfach aus. Sie macht eine Aussage über drei natürliche Zahlen namens A, B und C, die durch die einfachste überhaupt mögliche Beziehung miteinander verknüpft sind: A + B = C. Was genau sie aber über diese drei Zahlen aussagt, ist nicht ganz so offensichtlich; und ein Beweis liegt nach dem derzeitigen Stand unseres Wissens in weiter Ferne.

Formuliert wurde sie 1985 von dem Franzosen Joseph Oesterlé, Professor an der Université Paris VI, und dem Briten David Masser, Professor an der Universität Basel. Wenn sie zutrifft, dann hätte man eine Alternative zu dem Beweis, den Andrew Wiles und Richard Taylor für die fermatsche Vermutung geliefert haben (Spektrum der Wissenschaft 1/1998, S. 96). Und nicht nur das: Ganze Klassen von Problemen, die sich auf Gleichungen unter ganzen Zahlen beziehen, wären gleich miterledigt.

Ein Zugang zur ABC-Vermutung verläuft über ein beliebtes Prinzip der Zahlentheorie: Man tut so, als seien die Eigenschaften der natürlichen Zahlen, insbesondere ihre Zusammensetzung aus Primfaktoren, vom Zufall bestimmt. In erstaunlich vielen Aspekten verhalten sich die Zahlen so, als träfe diese – falsche – Unterstellung zu. So folgt die Verteilung der Primzahlen, als wäre sie zufällig, mit großer Genauigkeit dem gaußschen Primzahlsatz und mit noch größerer Genauigkeit dessen Verfeinerungen (Spektrum der Wissenschaft 9/2008, S. 86). …
Februar 2009

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft Februar 2009

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  • Erratum
Der kappa-Wert des Zahlentripels (A, B, C) = (13365, 614797312, 614810677) beträgt "nur" 0,864135... . Den irrtümlichen Wert 1,142153.... im Artikel erhält man, wenn man im Nenner der Formel für kappa das C im Radikal rad(ABC) vergisst. Im Kontext des Artikels ist somit das vorliegende Zahlentripel keines mit hohem kappa > 1, aber trotzdem noch groß im Vergleich zu zufälliger Wahl. Martin Schmidt aus Augsburg hat uns auf den Fehler aufmerksam gemacht.
In der ersten Spalte auf S. 73 unten lautet der richtige kappa-Wert 1,06843... statt 1,14..., und in der zweiten Spalte muss in dem Tripel (22x323, 513, 5x493) die Reihenfolge der Komponenten umgedreht werden.