Seit Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 bis 1716) und Isaac Newton (1643 bis 1727) die Begriffe Ableitung und Integral einer Funktion einführten, hat sich herausgestellt, daß nahezu alle bedeutenden Naturgesetze mit diesen Begriffen zu formulieren sind. Beispielsweise entspricht das Integrieren einer Funktion der Aufgabe, den Weg eines Punktes zu bestimmen, wenn seine Geschwindigkeit zu jeder Zeit sowie sein Ort zu einem gewissen Anfangszeitpunkt bekannt sind. Das kann schon ziemlich kompliziert werden (vergleiche den vorstehenden Beitrag); aber es ist erst die Vorstufe zur Lösung einer Klasse realitätsnäherer Probleme. Typischerweise ist in einem physikalischen Gesetz die Geschwindigkeit, das heißt die Ableitung des Ortes nach der Zeit, nicht Funktion der Zeit, sondern des Ortes; der ist aber gerade gesucht. Es ist also eine Gleichung zu lösen, die eine unbekannte Funktion y(t) (den Ort) mit ihrer Ableitung y'(t) (der Geschwindigkeit) in Beziehung setzt: eine Differentialgleichung. Das Lösen solcher Gleichungen ist eines der wichtigsten Probleme der angewandten Mathematik. Physikalische Probleme sind in der Regel noch eine Stufe komplizierter als das oben angegebene Beispiel: Nicht die Geschwindigkeit steht unmittelbar in einer funktionalen Beziehung zum Ort, sondern die Beschleunigung; das ist die Ableitung der Geschwindigkeit oder auch die zweite Ableitung des Ortes, geschrieben y''(t). Nach einer längeren Herleitung aus physikalischen Gesetzen und einigen Umformungen hat man also eine Gleichung vor sich wie ((Formel 6)) oder ((Formel 7)) Weil die gesuchte Funktion y von einer einzigen Variablen (nämlich x) abhängt, spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung (im Gegenatz zu partiellen Differentialgleichungen, die mehrere unabhängige Variable enthalten). In Anwendungen ist mit der unabhängigen Variablen x häufig die Zeit gemeint. Die beste Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist eine geschlossene Formel. Gleichung (1) etwa hat die Lösung y=C₁y₁+C₂y₂, wobei ((Formel 8)) und Gleichung (2) die Lösung ((Formel 8a)) wobei C₁ und C₂ beliebige Konstanten sind. Auch wenn die erste Lösung ein nicht elementar darstellbares Integral enthält und die zweite den Wert von y nicht explizit angibt, sondern nur eine algebraische Gleichung, deren Lösung y ist, erlauben derartige Darstellungen Einsichten in die Struktur der Lösung, die man mit numerischen Verfahren niemals erhalten könnte. Im allgemeinen ist es äußerst schwierig, für eine gewöhnliche Differentialgleichung eine geschlossene Lösung zu finden. In den verbreiteten Lehrbüchern findet man systematische Verfahren nur für die einfachsten Fälle (vergleiche den Beitrag von Stefan Braun und Harald Häuser). Im Laufe der Zeit hat man allerdings für zahlreiche, vor allem für praktisch relevante Einzelfälle spezielle Lösungen gefunden. Oft hat dabei die Intuition geholfen, die aus dem Verständnis für das zugrundeliegende Problem herrührte. Der Tübinger Mathematiker Erich Kamke (1890 bis 1961) hatte vor etwa 40 Jahren eine umfangreiche Tabelle solcher Spezialfälle zusammengestellt. Jeder Anwender hat diesen "Kamke" im Regal stehen. Aber eine solche Sammlung als im wesentlichen einziges Hilfsmittel zum Finden einer Lösung ist sehr unbefriedigend: Die Gleichung, die einen gerade besonders interessiert, steht wahrscheinlich nicht darin (oder nicht in wiedererkennbarer Form); und ungewiß bleibt schließlich, ob es nicht vielleicht doch eine geschlossene Formel für die Lösung gibt. Viel besser wären algorithmische Verfahren, die entweder eine Formel für die Lösung liefern oder die Auskunft, daß eine solche nicht existiert. Das ist besonders deswegen erstaunlich, weil teilweise schon im vorigen Jahrhundert etliche systematische Lösungsmethoden – in enger Anlehnung an entsprechende Verfahren für algebraische Gleichungen – entwickelt und veröffentlicht worden sind. Sie wurden nie für die Praxis angewendet und gerieten zum Teil sogar in Vergessenheit, denn sie erforderten einen ungeheuren Aufwand an analytischen Rechnungen, der mit Bleistift und Papier praktisch nicht zu bewältigen ist. Dies hat sich durch die Computeralgebra grundlegend geändert. Wie bei den algebraischen Gleichungen sind zwei Begriffe von besonderer Bedeutung: Faktorisierung in möglichst einfache Komponenten und Symmetrien.

Faktorisierung

Schon das Lösen einer quadratischen Gleichung läßt sich als Faktorisierung auffassen, wenngleich dieser Aspekt in der Schule selten im Vordergrund steht. Die Gleichung x²-2x-4=0 hat die Lösungen x=1±SQRT(5). Anders ausgedrückt: Die linke Seite der Gleichung ist gleich dem Produkt (x-(1+SQRT(5)))(x-(1-SQRT(5))). (Wer noch die dritte binomische Formel kann, hat das im Handumdrehen nachgeprüft.) Dieses Produkt soll gleich null sein; das ist genau dann der Fall, wenn einer der Faktoren gleich null ist. Also treten an die Stelle der ursprünglichen Gleichung "Produkt gleich null" zwei einfachere: "Faktor gleich null". Was bei der quadratischen Gleichung nur Umformulierung bekannter Tatsachen ist, liefert bei schwierigeren Problemen mitunter den entscheidenden Schritt zur Lösung. Für Gleichungen fünften Grades wie etwa 2x⁵+3x⁴+9x³+10x²+16x+10=0 gibt es kein allgemein anwendbares Lösungsverfahren; die linke Seite dieser speziellen Gleichung ist jedoch in die Faktoren (x³+2x+2)(2x²+3x+5) zerlegbar, und die beiden Gleichungen x³+2x+2=0 und 2x²+3x+5=0 sind mit Standardverfahren lösbar. Eine ähnliche Strategie ist auch für lineare homogene Differentialgleichungen erfolgreich. Dabei heißt eine Differentialgleichung linear und homogen, wenn sie aus einer Summe von Termen besteht, in deren jedem die unbekannte Funktion oder eine ihrer Ableitungen in der ersten Potenz vorkommt. Gleichung (1) ist linear und homogen, Gleichung (2) nicht, denn sie enthält die nichtlinearen Terme y''y und y'2. Eine algebraische Gleichung ist im allgemeinen um so schwieriger, je höher die höchste vorkommende Potenz der Unbekannten ist; bei einer Differentialgleichung wächst die Schwierigkeit mit der Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung. Zwei Gleichungen erster Ordnung sind also viel günstiger als eine zweiter Ordnung. Nun hat das Ableiten gewisse Eigenschaften einer Multiplikation, weswegen man die Anwendung der Ableitung häufig so schreibt, als wäre sie dasselbe wie Multiplizieren mit einem Faktor (d/dx): f'=(d/dx)f. Insbesondere gilt das Distributivgesetz, in diesem Zusamenhang Summenregel des Differenzierens genannt: (d/dx)(f+g)=(d/dx)f+(d/dx)g. Tatsächlich kann man manche Differentialgleichungen genauso faktorisieren wie die oben angeführte quadratische Gleichung: ((Formel 9)) Das funktioniert allerdings nicht mehr so einfach, wenn die unabhängige Variable x oder Funktionen von ihr als Vorfaktoren auftreten; denn anders als bei der gewöhnlichen Multiplikation macht es einen Unterschied, ob man zuerst ableitet und dann mit x multipliziert oder umgekehrt. Auch in diesem komplizierteren Falle existiert jedoch gelegentlich eine Faktorisierung; zum Beispiel gilt für die Gleichung (1) ((Formel 10)) Die zugehörige Theorie hat bereits im vorigen Jahrhundert der deutsche Mathematiker Georg Ferdinand Frobenius (1849 bis 1917) entwickelt. Die beiden Faktoren entsprechen Differentialgleichungen erster Ordnung, die mit Standardverfahren lösbar sind. So findet man die oben angegebenen Lösungen von (1); y₁ wird durch den rechten Faktor zu null, und die Anwendung des rechten Faktors auf y₂ ergibt einen Ausdruck, der durch den linken Faktor annulliert wird. Wie findet man nun eine so nützliche Zerlegung? Jeder Faktor enthält Terme der Form y oder eine Ableitung davon, multipliziert mit einer gewissen Funktion von x. Diese Koeffizientenfunktionen gilt es zu finden. Sie sind ihrerseits Lösungen von Hilfsgleichungen, sogenannten assoziierten Gleichungen. Diese haben allerdings möglicherweise eine sehr hohe Ordnung: zehn oder mehr, wenn die ursprüngliche Gleichung von vierter Ordnung ist. Wesentlich ist jedoch, daß man die Koeffizientenfunktionen immer mit Hilfe eines Algorithmus finden kann; jedoch ist dieser so aufwendig, daß selbst bei geschickter Programmierung moderne Computer an die Grenzen ihrer Leistungsfähigkeit geraten können. Falls eine Gleichung mit dieser Methode in Faktoren erster Ordnung zerlegbar ist, läßt sich ihre Lösung geschlossen ausdrücken. Selbst wenn das Verfahren einen Faktor zweiter Ordnung nicht weiter zerlegen kann, findet man oft bestimmte Klassen von geschlossenen Lösungen durch einen Algorithmus, den Gregor Kova ci c, damals an der Columbia-Universität in New York, vor etwa zehn Jahren beschrieben hat und der auf Arbeiten des in Bonn, Erlangen, München, Göttingen und Leipzig wirkenden Mathematikers Felix Klein (1849 bis 1925) aus dem vorigen Jahrhundert beruht. Und wenn auch das mißlingt, bietet die Zerlegung in Faktoren möglichst niedriger Ordnung immer noch Vorteile, zum Beispiel bei einer anschließenden numerischen Behandlung.

Symmetrieanalyse

Ein Problem der klassischen Mechanik wird in der Regel dadurch einfacher, daß man den Ursprung des Koordinatensystems in den Schwerpunkt verlegt. Wenn eine Bewegung annähernd periodisch verläuft, wie es oft in der Himmelsmechanik der Fall ist, beschreibt man sie zweckmäßig nicht in dem üblichen rechtwinkligen Koordinatensystem, sondern durch die Entfernung vom Rotationsmittelpunkt und einen Drehwinkel. Die Bewegungsgleichungen für ein Planetensystem bleiben dieselben, wenn man den Nullpunkt des Koordinatensystems oder die Richtungen seiner Achsen verändert; und wenn die Gesamtenergie E eines Systems erhalten bleibt, ist es günstig, sie durch Umformung des Gleichungssystems zu einer der abhängigen Variablen zu machen, denn die zugehörige Gleichung ist sehr einfach: E'(t)=0.

Für das Arbeiten mit Differentialgleichungen kann man daraus folgendes lernen: Es lohnt, nach einer Transformation der Variablen zu suchen, welche die Gleichung einfach und damit vielleicht sogar exakt lösbar macht; und man kann Nutzen aus der Erkenntnis ziehen, daß eine Gleichung unter gewissen Transformationen unverändert bleibt. Zum Beispiel verwandelt sich die Gleichung (2) unter der Transformation

((Formel 11))

wobei jetzt u die unabhängige und v die abhängige Variable ist, in die besonders einfache Form

((Formel 12))

Aus dieser sogenannten Normalform kann man durch Integrationen die zu Beginn angegebene Lösung bestimmen.

Der norwegische Mathematiker Sophus Lie (1842 bis 1899) entdeckte nun folgendes Phänomen: Wenn man in der Normalform wiederum neue Variable z (die unabhängige) und w (die abhängige) durch

((Formel 13))

einführt, ändert sich die Form der Gleichung nicht. Unabhängig vom Wert der konstanten Parameter a, b und c erhält man stets w''w3+9/16=0.

Eine Variablensubstitution, welche die Form einer Differentialgleichung nicht ändert, heißt eine Symmetrie dieser Gleichung. Die angegebenen Symmetrien bilden eine Gruppe im Sinne der Algebra: Wenn man zwei von ihnen hintereinander ausführt, gibt es immer eine einzige Substitution derselben Art mit der gleichen Wirkung, die Umkehrung einer Substitution hat dieselbe Form wie sie selbst (mit anderen Werten für die Parameter), und Nichtstun läßt sich ebenfalls als Symmetrie ausdrücken (nämlich mit a=c=0, b=1). Die Gesamtheit der Symmetrien einer Differentialgleichung bildet ihre Symmetriegruppe.

Die entscheidenden Erkenntnisse der Theorie, die wir im wesentlichen Lie verdanken, kann man folgendermaßen zusammenfassen: Wenn eine Differentialgleichung unter einer (nichttrivialen) Gruppe von Variablentransformationen invariant ist, das heißt ihre Form nicht ändert, existiert für sie eine Normalform, deren Lösung besonders einfach ist.

Wenn man die Normalform bestimmen will, muß man also zunächst die Symmetrien der gegebenen Differentialgleichung finden. Es war eine der grundlegenden Erkenntnisse von Lie, daß es dazu ausreicht, ihre sogenannten infinitesimalen Generatoren zu bestimmen. Diese beschreiben, etwas vereinfacht ausgedrückt, die Symmetrien, die sich nur sehr wenig – eben infinitesimal – vom Nichtstun unterscheiden. Wegen der Gruppenstruktur enthalten die infinitesimalen Generatoren bereits die vollständige Information über die Gruppe. Lie hat alle Gruppen von Symmetrietransformationen samt infinitesimalen Generatoren, die bei gewöhnlichen Differentialgleichungen überhaupt auftreten können, bestimmt und für jede von ihnen eine Normalform angegeben.

Außerdem hat er gezeigt, daß man, um einen beliebigen Generator auszurechnen, ein System von linearen homogenen partiellen Differentialgleichungen lösen muß und diese Lösung durch Anwendung eines Algorithmus bestimmen kann. Falls sich herausstellt, daß es nur die triviale Lösung gibt, ist damit bewiesen, daß die ursprüngliche Gleichung keine nichttrivialen Symmetrien hat. Schließlich hat Lie explizit angegeben, wie man zu einer Gleichung – vorausgesetzt, sie hat eine nichttriviale Symmetriegruppe – die zugehörige Normalform findet: durch die gleiche Variablenänderung, die auch die infinitesimalen Generatoren auf ihre Normalform bringt.

Der französiche Mathematiker Maurice Janet hat im ersten Quartal dieses Jahrhunderts Lies Theorie im Hinblick auf die algorithmische Behandlung des Problems entscheidend verbessert. Insbesondere die Darstellung derartiger Systeme in einer Normalform, die heute Janet-Basis genannt wird, ist von grundlegender Bedeutung. Sie nimmt die sogenannten Gröbner-Basen für Systeme algebraischer Gleichungen vorweg, die der österreichische Mathematiker Bruno Buchberger vor etwa zwanzig Jahren eingeführt hat. Mit diesen haben sie auch eine typische Eigenschaft gemeinsam, nämlich den geradezu sprichwörtlichen Rechenaufwand, der zu ihrer Bestimmung erforderlich ist; er kann selbst die Leistungsfähigkeit der besten Computer übersteigen.

Der elektronische "Kamke"

Was ändert sich für die praktische Arbeit mit Differentialgleichungen durch diese Theorien? Wir haben experimentelle Versionen der beschriebenen Algorithmen in verschiedenen Computeralgebra-Systemen programmiert. Damit findet man so gut wie alle geschlossenen Lösungen für Gleichungen zweiter Ordnung, die im "Kamke" aufgeführt sind.

Die linearen Gleichungen der Sammlung verdanken ihre explizite Lösbarkeit also ihrer Faktorisierbarkeit und die nichtlinearen der Existenz einer nichttrivialen Symmetriegruppe. Das ist noch nicht alles: Unsere Software löst auch alle Gleichungen, die man aus den in der Sammlung aufgeführten durch eine Variablentransformation erhalten kann.

Es ist leicht, durch verhältnismäßig einfache Transformationen äußerst komplizierte Gleichungen zu erzeugen. Wer nicht weiß, daß die Gleichung

((Formel 14))

durch die Substitution x=1/v2, y=1/u2 aus (2) entstanden ist, hat mit den üblichen Methoden praktisch keine Chance, die Lösung zu finden. Unsere Methoden umfassen also nicht nur eine Sammlung von Gleichungen, die unvermeidlich begrenzt ist, sondern ganze Klassen.

Hinzu kommt, daß die Algorithmen erschöpfend sind. Wenn mit ihrer Hilfe eine geschlossene Lösung nicht zu finden ist, muß man nicht weiter suchen: Es gibt mit Sicherheit keine.

Sobald Implementierungen der beschriebenen Methoden allgemein verfügbar sind, werden sie die Sammlungen zum Lösen von Differentialgleichungen in wenigen Jahren so vollständig verdrängen wie vor etwa 20 Jahren der Taschenrechner die Logarithmentafel und den Rechenschieber. Bald werden entsprechende Programme auf Notebook-Computern laufen, die ungefähr Größe und Gewicht der Sammlung von Kamke haben; wir sprechen deshalb vom "elektronischen Kamke".

Der augenfälligste Unterschied zu den bisher üblichen Methoden ist der Gewinn an Effizienz: Die Software erledigt häufig die Arbeit eines Tages in wenigen Minuten. Eine weitere Konsequenz von grundlegender Bedeutung kommt hinzu: Man kann auch eine große Anzahl von Beispielen testen und dadurch die erforderliche Intuition gewinnen, um Lösungsverfahren für bisher ungelöste Gleichungen zu entwickeln. In etwas fernerer Zukunft könnten dadurch völlig neue Teilgebiete der Mathematik entstehen, ähnlich wie durch die Automatisierung numerischer Probleme die Theorien der dynamischen Systeme und der Optimierung entstanden sind.

Obwohl das schon ein großer Fortschritt ist, stellt es nur den Beginn der Anwendung von Computeralgebra auf Differentialgleichungen dar. Ziemlich naheliegend ist die Verallgemeinerung auf größere Klassen von Gleichungen, etwa solche höherer Ordnung, solche mit allgemeineren Koeffizienten oder partielle Differentialgleichungen (siehe auch den nachfolgenden Beitrag). Fernziel ist eine Software, die eine beliebige gewöhnliche Differentialgleichung entgegennimmt und soviel an Information über ihre geschlossenen Lösungen zurückgibt, wie die Mathematik der letzten 200 Jahre überhaupt zu bieten hat.

Ein Vorhaben dieses Umfangs hat nur mit modernem Software Engineering eine Erfolgschance: Man zerlegt das Problem nach den Prinzipien des objektorientierten Entwurfs in weitgehend unabhängige Teile; da diese Moduln wiederverwendbar sind, wächst der Umfang der Software weit weniger als ihre Leistungsfähigkeit.

Zunächst ist ein geeignetes System algebraischer Datentypen bereitzustellen, was bei der GMD in REDUCE, MACSYMA und teilweise auch in AXIOM implementiert wird. Seine Qualität wird wesentlich darüber entscheiden, wieweit die beschriebenen Ziele erreicht werden können.

Literaturhinweise

– Applications of Lie Groups to Differential Equations. Von Peter Olver. Springer, Heidelberg 1986. – Symmetries and Differential Equations. Von George Bluman and S. Kumei. Springer, Heidelberg 1989. – A Factorization Algorithm for Linear Ordinary Differential Equations. Von Fritz Schwarz in: Proceedings of the ISSAC '89, Portland. ACM Press, 1989, Seiten 17 bis 25. – Symmetries of Differential Equations: From Sophus Lie to Computer Algebra. Von Fritz Schwarz in: SIAM Review, Band 30, Seiten 450 bis 481, 1988. – Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations. Von Fritz Schwarz. Preprint, GMD, Schloß Birlinghoven, D-53757 St. Augustin. – Projekt CADE im World Wide Web: http://www.gmd.de/SCAI/alg/cade/cade _home.html.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 3 / 1996, Seite 98
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