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Mathematische Unterhaltungen: Eckige Wellen

Wenn man ein schwingendes Medium in einen etwas exotischen Zustand versetzt und dann der Natur ihren Lauf lässt, verhält es sich zu rationalen Zeitpunkten völlig anders als zu irrationalen. Dieses absolut kontraintuitive Phänomen ist zwar bei Computersimulationen entdeckt worden, findet sich jedoch auch in der Natur wieder.
Eine Lissajous-Figur in Rot auf schwarzem Hintergrund

Wie beschreibt man mathematisch die Bewegung eines elastischen Mediums, sagen wir einer schwingenden Saite oder eines Trommelfells? Zwei physikalische Größen spielen entscheidende Rollen: die Trägheit des Mediums und seine Elastizität. Erstere ist dank Newtons Gesetz »Kraft ist Masse mal Beschleunigung« proportional der zweiten Ableitung nach der Zeit. Die Kraft wiederum entsteht dadurch, dass das Material gedehnt wird und bestrebt ist, sich wieder zusammenzuziehen. Sie ist damit eine Größe, die von Ort zu Ort variiert. Nach einigem Herumrechnen - und vereinfachenden Annahmen zur Physik - landet man bei einer so genannten partiellen Differenzialgleichung. Die Unbekannte in dieser Gleichung ist eine Funktion, nennen wir sie u, die sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängt. u(x, t) beschreibt die Auslenkung des Mediums aus der Ruhelage im Punkt x zur Zeit t, und die Gleichung setzt die räumlichen und die zeitlichen Ableitungen dieser Funktion miteinander in Beziehung.

Es versteht sich, dass jede Lösung der Gleichung diese Ableitungen tatsächlich haben muss. Sonst könnte man die Funktion gar nicht in die Gleichung einsetzen, geschweige denn eine Aussage darüber machen, ob es sich um eine Lösung handelt. Eine Funktion, die Kandidat für eine Lösung sein soll, muss also differenzierbar sein, das heißt, die zugehörige Kurve muss in jedem Punkt eine Tangente haben. Und nicht nur das: Sie muss sogar zweimal differenzierbar sein, die Tangente darf sich also von einem Punkt zum nächsten nur allmählich verändern. Eigentlich …

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  • Quellen

Berry, M. et al.: Quantum carpets, carpets of light. Physics World, 5. Juni 2001

Olver, P. J.: Dispersive quantization. American Mathematical Monthly 117, 2010

Olver, P. J., Sheils, N. E.: Dispersive Lamb systems. Journal of Geometric Mechanics 11, 2019

Talbot, H. F.: Facts related to optical science. No. IV. Philosophical Magazine 9, 1836