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Mathematik: Ein Netz guter Beziehungen

Mit verbesserten mathematischen Modellen für "Kleine Welten" lassen sich Phänomene wie die Ausbreitung von Epidemien, die begrifflichen Verknüpfungen innerhalb einer Sprache oder die Verwundbarkeit des Internet weit realistischer simulieren als zuvor.


Gute Beziehungen sind das halbe Leben. Mensch A bittet Mensch B, die Sache X für ihn zu tun. Aber B weiß auch nicht weiter und geht zu C; denn dieser kennt D, der schließlich X für A erledigt. Genau das verstehen Mathematiker unter einer Kleinen Welt (small world): ein Netz von guten Beziehungen, in dem beliebige D immer nur wenige Zwischenstationen von A entfernt sind.

Im Jahre 1967 konnte der amerikanische Psychologe Stanley Milgram in einem Experiment eindrucksvoll demonstrieren, dass die Welt, in der wir leben, in diesem Sinne klein ist. 160 Aktienbesitzer aus dem US-Staat Nebraska sollten in Briefkontakt zu einem Mann treten, über den sie kaum mehr wussten, als dass er ein Aktienhändler war und in der Umgebung von Boston in Massachusetts wohnte.

In Ermangelung einer Anschrift sollten die Versuchspersonen den Brief einfach einem ihrer Bekannten übergeben, von dem sie annahmen, dass er dem Gesuchten "näher" sein könnte – etwa weil er in einer ähnlichen Branche tätig war oder ebenfalls in Boston wohnte. Dieser wiederum wurde gebeten, den Brief nach demselben Verfahren weiterzuleiten. Das erstaunliche Ergebnis: Jeder vierte Brief kam an – im Durchschnitt über gerade einmal fünf Stationen.

Der schnelle Weg ans Ziel war kein Zufall. In vielen komplexen Netzen, ob sie nun aus sozialen Beziehungen, Internetverbindungen oder gar aus Verwandtschaften sprachlicher Begriffe geknüpft sind, ist die durchschnittlich benötigte Anzahl der Schritte von einer Station zu einer beliebigen anderen erstaunlich klein.

Mathematiker sind von dem Phänomen fasziniert und untersuchen es auf ihre Art: Sie denken sich Menschen kurzerhand als abstrakte "Knoten" und Briefe als "Verknüpfungen" und lassen auf Basis dieser Grundbegriffe ein Netzmodell im Computer entstehen.

Die durchschnittliche kürzeste Weglänge ist allerdings nur eine von mehreren interessanten Eigenschaften. Eine weitere trägt die Bezeichnung "Klumpigkeit" (clustering). Darunter versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Knoten im Netz, die jeweils mit einem dritten verknüpft sind, auch eine direkte Verbindung mitei­nander besitzen. Das Netz der Regierungschefs ist hochverklumpt: Wenn Gerhard Schröder häufiger sowohl mit George Bush als auch mit Wladimir Putin telefoniert, kann man davon ausgehen, dass der Amerikaner und der Russe auch direkte Kontakte miteinander pflegen. Kleine Welten sind im Allgemeinen relativ klumpig.

Außerdem aber haben sie noch eine dritte interessante Eigenschaft: Sie sind in der Regel skalenfrei. Das bedeutet, dass für alle Maßstäbe (Skalen) ein und derselbe Exponent bestimmt, wie viele Knoten mit einer bestimmten Zahl von Verknüpfungen existieren.

Bis vor kurzem nun schafften es die Mathematiker nicht, künstliche Netze zu erzeugen, die alle drei Eigenschaften in sich vereinen. Irgendein Zufallsnetz zu knüpfen (oder vom Computer knüpfen zu lassen) ist nicht schwer. Man greift aus einer vorgegebenen Menge von Knoten auf gut Glück zwei heraus und stellt eine Verbindung zwischen ihnen her. Das Ganze wiederholt man viele Male, wobei auch bereits verknüpfte Knoten immer wieder ausgewählt werden können. Ein solches Netz ist allerdings nicht skalenfrei. Vielmehr stellt sich eine bevorzugte Zahl von Verknüpfungen ein, die umso größer ist, je später man mit dem Verknüpfen aufhört. Und besonders klumpig ist es auch nicht: Die beiden flüchtigen Bekannten, die der Zufall mir beschert hat, dürften sich nur in den seltensten Fällen untereinander kennen.

Von der Dorfidylle zur Kleinen Welt

Um ein maximal klumpiges Netz im Computer zu erzeugen, kann man die Knoten in die Ecken eines Dreiecksgitters setzen und jeden mit seinen sechs nächsten Nachbarn verbinden. Diese dörfliche Idylle wird bereits durch relativ wenige Fernverbindungen gewaltig aufgemischt: Einige zufällig ausgewählte "Abkürzungen", das heißt Verbindungen zwischen ansonsten weit entfernten Knoten, machen eine Kleine Welt daraus.

Allerdings ist auch dieses Netz nicht skalenfrei. Kleine Welten mit dieser Eigenschaft zu konstruieren, ist erst vor eineinhalb Jahren Amit R. Puniyani von der Universität Stanford (Kalifornien) gelungen. Das Prinzip seiner Konstruktionsmethode immerhin ist einfach: Man nehme eine Menge von Knoten, an denen "Seile mit losen Enden" baumeln. Je zwei dieser Seile ergeben gemeinsam eine Verknüpfung zwischen den Knoten, von denen sie aus­gehen. Welche Enden miteinander verschlungen werden, bestimmt wiederum der Zufall – allerdings mit der Bedingung, dass kein Knoten mit sich selbst verbunden oder eine schon bestehende Verbindung verdoppelt wird. Indem man die Anzahl der losen Enden für jeden Knoten geeignet wählt, kann man erreichen, dass das mathematische Gesetz der Skalenfreiheit von vornherein erfüllt ist.

Nachdem die Mathematiker alle drei Eigenschaften – kurze Wege, Klumpigkeit und Skalenfreiheit – gemeinsam in einem Netz untergebracht hatten, fanden sie bei ihren Simulationen Erstaunliches. Unter anderem konnten sie Milgrams Ergebnis bestätigen. Eine skalenfreie Kleine Welt aus 10000 Knoten, geknüpft nach dem neuen Verfahren, hat eine "durchschnittliche kürzeste Weglänge" (nennen wir sie L) von fünf. Jeder ihrer Knoten kann also, wie bei Milgrams Experiment, von jedem anderen über durchschnittlich nur fünf Zwischenschritte erreicht werden.

Schwillt nun dieses Netz auf hundert Millionen Knoten an und behält seine Strukturmerkmale bei, so erhöht sich L auf gerade einmal 6,5. Die Briefe der Aktienbesitzer wären also selbst dann über relativ wenige Zwischenschritte angekommen, wenn Milgram einen Adressaten außerhalb der USA gewählt hätte. In einer Kleinen Welt ohne Skalenfreiheit würde sich die kürzeste Weglänge dagegen vervielfachen.

Die Skalenfreiheit hat aber auch sehr konkrete Konsequenzen für die Verwundbarkeit eines Netzes – eine Frage, die schon beim Aufbau des Arpanet, des militärischen Vorgängers des Internets, eine entscheidende Rolle spielte. Skalenfreie Netze werden durch den Ausfall einzelner Knoten und Links kaum beeinträchtigt, sind aber gezielten Attacken gegenüber äußerst verwundbar. In manchen Modellen reicht es schon, die zwei Prozent am besten verknüpften Knoten außer Gefecht zu setzen. Dann verdoppelt sich L, und die Effizienz des Netzes sinkt drastisch. Werden ebenso viele Knoten rein per Zufall abgeschossen, bleibt L dagegen praktisch unverändert.

Was im einen Fall verheerend wirkt, kann im anderen segensreich sein. Wird zum Beispiel das Netz ungeschützter menschlicher Sexualkontakte an geeigneten Stellen unterbrochen, könnte dies die Ausbreitung von Aids verlangsamen. Nach einer empirischen Untersuchung unter 2800 Schweden haben die aktivsten zehn Prozent der Männer 48 Prozent aller Sexualkontakte, bei Frauen liegt der Wert bei 40 Prozent. Da sich das betreffende Netz als skalenfrei erwiesen hat, sollten die am besten verknüpften "Knoten" laut Theorie am stärksten zur Ausbreitung der Epidemie beitragen – eine Erkenntnis, die dem gesunden Menschenverstand jedenfalls nicht widerspricht. Während eine breit angelegte ­Safer-Sex-Kampagne nur zufällig ausgewählte Knoten aus dem Verkehr zieht und L dabei konstant lässt, könnte eine Initiative, die sich gezielt an die Promisken in der Gesellschaft richtet, mehr Erfolg versprechen, da sie die Ansteckungswege verlängert.

Andererseits ist nicht jede Modellierung eines Netzes sinnvoll. Das zeigt sich zum Beispiel an einer Untersuchung, die die Wörter einer Sprache als Knoten betrachtete. Zwischen zwei davon sollte genau dann eine Verknüpfung bestehen, wenn sie die gleichen Begriffe ausdrücken. So ist beispielsweise im Deutschen das Wort "Klang" eng mit "Lehm" verbunden – über den Begriff "Ton".

Das verblüffende Ergebnis der Studie: Über durchschnittlich nur drei Links hängt jedes Wort mit jedem anderen zusammen. Mit maximal fünf Zwischenschritten gelingen beliebige begriffliche Brückenschläge. Als Grund für die unerwartet engen Verbindungen innerhalb des Wortschatzes nennen die Autoren der Studie das Vorkommen vieler Homonyme – Wörter also, die gleichzeitig mehrere sehr unterschiedliche Bedeutungen aufweisen und so als effektive Abkürzungen durch das Netz dienen.

Den Bogen nicht überspannen

Doch was genau ist damit bewiesen? Das komplexe Netz der Sprache wird durch vielfältige Verknüpfungen zum Beispiel grammatischer oder semantischer Art zusammengehalten, keinesfalls jedoch ausschließlich durch Synonyme frei von jeglichem Kontext. Wer solche Komplexität über Gebühr vereinfacht, riskiert paradoxe oder gar unsinnige Ergebnisse – unter anderem, dass laut Duden eine "Verknüpfung" im Gehirn gleichzeitig ein "Knoten" darin ist.

Neueste Untersuchungen wecken auch Zweifel an einer zentralen Annahme der Modellierer: Die kurze Weglänge der Kleinen Welten komme durch die "Links großer Reichweite" zustande – diejenigen zwischen Knoten, die andernfalls nur über weite Strecken miteinander verbunden wären. Nach Untersuchungen von Adil­son Motter von der Arizona State University kommt es dagegen auf die "verkehrsreichsten" Links an – also diejenigen, über die besonders viele kürzeste Wege verlaufen. Gezielte Attacken auf diese Links, so zeigen Motters Simulationen, schwächen das Netz besonders stark. Aber diese Verknüpfungen zeichnen sich gerade nicht durch große Reichweite aus – im Gegenteil.

Dennoch liefern simulierte Kleine Welten einen kontinuierlichen Strom neuer Erkenntnisse. Mögliche praktische Anwendungen reichen von der Eindämmung von Epidemien über die Erforschung des Assoziativgedächtnisses bis hin zum Design von Elektrizitäts- und Computernetzen. Selbst die medikamentöse Beeinflussung des menschlichen Stoffwechsels, ein Netz aus Wechselwirkungen zwischen biologischen Parametern, lässt sich durch die Mathematik der Kleinen Welten beschreiben und so vielleicht besser durchschauen.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 3 / 2003, Seite 12
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
3 / 2003

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 3 / 2003

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