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Ein Vierteljahrhundert Mathematik

Mathematik ist vielseitiger geworden: Das Arbeitsmittel Computer eröffnet völlig neue Perspektiven, und die Grenzen zwischen den Teildisziplinen verschwimmen.


Die Mathematik hat im letzten Vierteljahrhundert ihre Orientierung radikal geändert. Auffälligstes Merkmal ist vielleicht, dass die in den 1950er und 1960er Jahren noch beherrschende Aufspaltung in die Zweige "reine" und "angewandte" Mathematik weitgehend verschwommen ist.

Die beiden Teilgebiete waren zwar weder genau definiert noch klar gegeneinander abgegrenzt; was sie gleichwohl deutlich voneinander unterschied, war der jeweils charakteristische Denkstil. Die "reine" Mathematik war sehr streng, sehr allgemein und schrecklich abstrakt. Der zugehörige Stil ist, ins Extrem getrieben, in den Werken von Nicolas Bourbaki zu bestaunen. Eine Person dieses Namens hat es nie gegeben; Bourbaki war das Pseudonym eines Geheimbundes von Mathematikern, der sich zum Ziel gesetzt hatte, die "Elemente der Mathematik" in ewig gültiger Form in einer Folge von Büchern niederzuschreiben.

Derweil setzte die angewandte Mathematik schamlos die physikalische Intuition an die Stelle der geheiligten logischen Strenge. Sie bemühte sich um spezifische und sehr konkrete Probleme, die im Allgemeinen aus der Technik kamen, gleichwohl aber in recht akademischer Weise behandelt wurden. Ihre Hauptarbeitsgebiete umfassten das gesamte Spektrum der klassischen Physik aus Mechanik, Optik, Akustik, Thermodynamik und Elektrodynamik, mit Schwerpunkt auf der Mechanik von punktförmigen Teilchen (einschließlich der Himmelskörper), ausgedehnten starren Körpern, Flüssigkeiten, Gasen und elastischen Medien.

Darüber hinaus hatte die Mathematik neues Gelände erobert. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung lieferte die theoretischen Grundlagen für die Statistik; die Quantenmechanik ist weitgehend ein Zweig der mathematischen Physik. Die lineare Programmierung wurde zum Hauptwerkzeug des neuen Fachgebiets Operations Research; Wirtschaftsmathematik wuchs zu einer eigenen Disziplin heran. Die mathematische Biologie bearbeitete die klassische Genetik und deren Weiterentwicklungen in der Populationsdynamik sowie die Gleichung der Nervenreizleitung.

Im Jahre 2003 hat sich die mathematische Landschaft radikal verändert, auch wenn einige Denkweisen aus den 1960er Jahren heute noch lebendig sind. Physikalische Intuition und formale Abstraktion schauen nicht mehr missgünstig aufeinander herab, sondern koexistieren und ergänzen sich, oft in ein und demselben Forschungsvorhaben. Kurz: Die Mathematik und ihre Anwendungen sind eine Kooperation zu beiderseitigem Vorteil eingegangen. Wenngleich die ersten Ansätze und Versuche in dieser Richtung umstritten waren, verlief dieser Wechsel eher evolutionär denn revolutionär.

Der mathematische Fortschritt hat viele Gesichter. Am augenfälligsten tritt er zutage, wenn ein altes Problem nach langjährigen vergeblichen Bemühungen endlich gelöst wird. Eine zweite Quelle der mathematischen Innovation ist die Entwicklung neuer Begriffe und Theorien. Diese sind zunächst häufig sehr unscheinbar; erst später, wenn sie sich zu einem geschlossenen Ganzen verfestigt haben, wird ihre Bedeutung offenbar. Drittens versetzen zuweilen radikal neue Techniken aus heiterem Himmel die mathematische Gemeinschaft in Erstaunen (Kasten rechts). Auch die Formulierung neuer Probleme bringt die Mathematik voran; schon vor ihrer Lösung lenken sie durch ihre schiere Gegenwart die Forschung in neue Richtungen. Schließlich beleben neue Anwendungsgebiete wie etwa die Biologie die mathematische Forschung, weil sie die Erfindung neuer Begriffe und Techniken auslösen.

Spektakuläre Eroberungen

In der ersten Kategorie – Lösung hartnäckiger Probleme – gab es in den letzten 25 Jahren zahlreiche große Erfolge zu verzeichnen: ein Beleg für die Kraft und Lebendigkeit der Gegenwartsmathematik. Eines dieser Probleme, "Fermats letzter Satz", hatte immerhin 350 Jahre lang allen Attacken widerstanden. Gelegentlich wurden diese Erfolge mit Hilfe des Computers errungen, was jedoch nicht als Zeichen der Schwäche aufzufassen ist. Der Computer spielt die Rolle eines Dieners, nicht des Herrn; er ist ein Werkzeug, das den Mathematiker ebenso wenig überflüssig macht wie die Schreibmaschine den Schriftsteller oder der Pinsel den Maler. Im Gegenteil: Indem der Computer Rechenoperationen rein mechanisch ausführt, macht er den Geist des Mathematikers frei für die kreativeren Teile seiner Aufgabe.

Das Paradebeispiel für die Lösung eines Problems mit Computerhilfe ist zwar schon 27 Jahre alt, sei aber hier dennoch angesprochen, weil der Lösungsprozess in jüngster Zeit weitergeführt wurde. Wolfgang Haken und Kenneth Appel gelang es 1976, den berühmten Vierfarbensatz zu beweisen (siehe ihren Artikel in Spektrum der Wissenschaft 10/1978, S. 82). Der englische Student Francis Guthrie hatte 1852 folgende Frage an seinen Bruder Frederick gestellt: Lassen sich auf jeder Landkarte die Länder mit vier oder weniger Farben so färben, dass niemals zwei aneinander grenzende Länder dieselbe Farbe haben? Die Mathematiker konnten schnell zeigen, dass fünf Farben mit Sicherheit genügen. Aber alle Versuche, diese Anzahl auf vier herunterzuschrauben, scheiterten; andererseits fand man keine Karte, für die tatsächlich fünf Farben erforderlich gewesen wären.

Im Jahre 1950 führte Heinrich Heesch ein Verfahren ein, eine Karte so zu verändern, dass die für die Färbung notwendige Anzahl von Farben unverändert bleibt. Mit diesem Verfahren kann man insbesondere die Anzahl der Länder einer Karte so lange vermindern, bis ihre Färbbarkeit mit vier Farben – oder das Gegenteil – offensichtlich wird. Appel und Haken fanden nun eine Liste von ungefähr 2000 "unvermeidlichen Konfigurationen". Eine Konfiguration ist einfach ein Teilstück einer Karte; dass die Menge dieser speziellen Konfigurationen unvermeidlich ist, bedeutet, dass jede Karte, so kompliziert sie auch sein mag, mindestens eine dieser Konfigurationen enthalten muss. Gäbe es eine Karte, für die man fünf Farben bräuchte, so müsste das auch für mindestens eine der – unvermeidlich – in ihr enthaltenen speziellen Konfigurationen gelten. Appel und Haken wandten das Verfahren von Heesch auf jede der 2000 Konfigurationen an. Wenn der Vierfarbensatz falsch wäre, hätte diese Prozedur bei mindestens einer Konfiguration mit fünf Farben enden müssen. Das war nicht der Fall, womit der Vierfarbensatz bewiesen war. Das Durchprüfen der 2000 Einzelfälle erforderte damals mehrere tausend Stunden Rechenzeit auf einem schnellen Computer. Heute wäre es in weniger als einer Stunde erledigt.

Auf den ersten Blick erscheint die Lösung des Vierfarbenproblems als eine Sackgasse: interessant, schwierig, aber vollkommen isoliert von der restlichen Mathematik. Heute gibt es Anzeichen dafür, dass dieses Problem eben doch tief liegende Verbindungen zu anderen Gebieten hat. Das Verfahren von Heesch hat eine neue, geometrische Interpretation gefunden, womit es auf die Krümmung von Flächen anwendbar ist. Neuere Forschungen haben die zu Grunde liegenden Ideen sogar mit so esoterischen Gebieten wie der Quantenfeldtheorie in Zusammenhang gebracht. Anscheinend hat der Vierfarbensatz noch nicht alle seine Geheimnisse preisgegeben.

Fermat, am Rande

Das populärste unter den jüngst erledigten Problemen ist ohne Zweifel der Beweis der Fermat’schen Vermutung (Spektrum der Wissenschaft 1/1998, S. 96). Pierre de Fermat (1601-1665), Landgerichtsrat in Toulouse und begnadeter Mathematiker, beschäftigte sich um 1637 mit der Zahlentheorie, also mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen wie Teilbarkeit. Dabei bemerkte er, dass es zwar unendlich viele Paare von Quadratzahlen gibt, deren Summe wieder eine Quadratzahl ist, wie 9+16=25 und 25+144=169, dass es ihm aber nicht gelang, Entsprechendes unter den Kubikzahlen, den vierten Potenzen und so weiter zu finden. An den Rand seines Exemplars der "Arithmetika" des Diophant notierte er: "Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben, ein Biquadrat in zwei Biquadrate oder allgemein irgendeine höhere Potenz als die zweite in zwei höhere Potenzen gleichen Grades zu zerlegen. Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, aber dieser Rand ist zu schmal, ihn zu fassen." Fermat hat sehr viele solcher Randbemerkungen gemacht, und seine Epigonen fanden für jede dieser Behauptungen einen Beweis, bis auf diese, die als "Fermats letzter Satz" berühmt wurde.

Drei Jahrhunderte lang scheiterten alle Versuche, Fermats Behauptung zu bestätigen oder zu widerlegen. In den achtziger Jahren des letzten Jahrhunderts tat sich dann eine Verbindung zwischen Fermats letztem Satz und einer wesentlichen Frage der Zahlentheorie auf, der Vermutung von Taniyama und Weil. Im Jahre 1993 präsentierte der englische Mathematiker Andrew Wiles nach jahrelanger einsamer Arbeit einen Beweis für den Satz von Fermat, welcher sich auf einen Sonderfall der Taniyama-Weil-Vermutung stützte. In seiner Arbeit wurde ein Fehler gefunden, den Wiles 14 Monate später zusammen mit seinem Kollegen Richard Taylor korrigieren konnte. Damit hatten Wiles und Taylor ein mehr als 350 Jahre altes Problem gelöst. Ihre Arbeit, die keinerlei Gebrauch vom Computer macht, ist ein entscheidender Durchbruch mit zahlreichen Auswirkungen.

Vierfarbensatz und Fermats letzter Satz sind nur die Paradebeispiele unter den mathematischen Durchbrüchen der jüngeren Vergangenheit. Neben vielen weiteren sind vor allem noch zwei zu nennen: – Thomas Hales bewies die Vermutung von Johannes Kepler, die dieser 1611 in einer Arbeit über sechsarmige Schneeflocken formulierte: Die dichteste Kugelpackung ist diejenige, die man in den Auslagen eines Obstgeschäftes sehen kann (Bild links neben der Überschrift; siehe Spektrum der Wissenschaft 4/1999, S. 10). – Louis de Branges bewies die Bieberbach’sche Vermutung, die in der Funktionentheorie eine bedeutende Rolle spielt.

Überraschungen in der Topologie

Die eindrucksvollste Entdeckung in der Mathematik des letzten Vierteljahrhunderts betrifft jedoch ein Problem, das noch nicht einmal durch hohes Alter Kultstatus erlangt hatte. Simon Donaldson fand 1983 ein überraschendes Resultat über die Topologie vierdimensionaler Mannigfaltigkeiten.

Die Topologie, welche oft als Gummituchmathematik bezeichnet wird, behandelt jene Eigenschaften geometrischer Formen, welche unter stetigen Deformationen unverändert bleiben. Ein geometrisches Gebilde mag beliebig verzerrt, gedehnt, gestaucht oder verwunden werden; solange es nicht aufgeschnitten oder mit sich selbst verklebt wird, gilt es dem Topologen immer noch als dasselbe. Die Oberflächen einer Kugel, eines Eis, eines Kieselsteins und eines Würfels sind alle topologisch äquivalent zueinander. Erst die Oberfläche eines Fahrradschlauchs (Torus) oder einer Brezel ist davon im Sinne der Topologie wesentlich verschieden. Die zentrale Idee der Topologie, die Stetigkeit, ist zugleich eine zentrale Eigenschaft der Natur – jedenfalls sehen die klassischen physikalischen Theorien das so. Aus diesem Grunde ist die Topologie, obwohl ihre Grundbausteine von kindlicher Einfachheit sind, ein tragender Pfeiler der Naturwissenschaft und der Mathematik.

Ihre Untersuchungen beschränken sich nicht auf (zweidimensionale) Flächen in unserem vertrauten dreidimensionalen Raum. Die Verallgemeinerung einer Fläche heißt eine Mannigfaltigkeit; sie kann mehr als zwei Dimensionen haben. Die Stringtheorie in der Physik verwendet Mannigfaltigkeiten mit 10 bis 26 Dimensionen.

Die Topologen unterscheiden drei Arten von Gummi: stetig, glatt und polyedrisch . Schneiden und Kleben ist bei allen Gummisorten nicht erlaubt; aber stetiges Gummi darf Ecken und Kanten haben und damit sehr komplizierte Formen annehmen, während glattes Gummi noch nicht einmal im Verlauf einer Deformation einen Knick bekommen darf. Polyedrisches Gummi dagegen besteht aus lauter ebenen Vielecken, wie ein scharfkantig zerknülltes Stück Papier. Etwas wissenschaftlicher ausgedrückt: Im Gegensatz zu den Mannigfaltigkeiten der klassischen (stetigen) Topologie müssen die der glatten Topologie differenzierbar sein, und die der polyedrischen Geometrie sind aus ebenen Vielecken zusammengesetzt. Zwei Mannigfaltigkeiten sind nur dann äquivalent im Sinne der jeweiligen Topologie, wenn sie stetig so ineinander deformierbar sind, dass jedes Zwischenstadium eine Mannigfaltigkeit dieser Topologie ist.

Es könnte nun sein, dass zwei Mannigfaltigkeiten zwar äquivalent im Sinne der stetigen Topologie sind, nicht aber im Sinne der glatten Topologie. Man könnte sie also ineinander deformieren, aber unter keinen Umständen unterwegs einen Knick (oder Schlimmeres) vermeiden. Nach jahrelangem intensivem Studium kam man zu dem Schluss, dass ein solcher Fall in allen euklidischen Räumen (das sind Verallgemeinerungen der unendlich ausgedehnten Ebene und des unendlichen dreidimensionalen Raums) nicht vorkommt: Für die Frage, ob eine Mannigfaltigkeit der Sphäre (der verallgemeinerten Kugeloberfläche) äquivalent ist, kommt es nicht auf die Gummisorte an. Diese Vermutung konnte in allen Dimensionen ungleich vier bewiesen werden.

Zwar hatte John Milnor 1963 gezeigt, dass dies für nicht-euklidische Räume nicht unbedingt gilt. Wenn der Raum, in dem die Mannigfaltigkeiten leben, seinerseits eine siebendimensionale Sphäre ist, unterscheidet die glatte Topologie 28 verschiedene Strukturen, die unter der stetigen Topologie äquivalent sind. Aber niemand hatte geglaubt, dass unter den euklidischen Räumen ausgerechnet der vierdimensionale eine Ausnahme bilden könnte. Als Donaldson bewies, dass im vierdimensionalen Raum unendlich viele glatte Strukturen existieren, staunte die gesamte mathematische Fachwelt.

Sein Resultat wurde umgehend in der Teilchenphysik angewandt, insbesondere auf die "Instantonen". Das sind Anregungszustände des Vakuums, die auf die globale Gestalt des Raums zurückzuführen sind; einer Theorie zufolge gingen die Instantonen der Entstehung des Universums voraus. Heute bauen zahlreiche Teilgebiete der Quantenfeldtheorie auf Ideen auf, die sich aus Donaldsons Entdeckung ergaben; das gilt insbesondere für die Stringtheorie, die gegenwärtig als der aussichtsreichste Kandidat für eine allumfassende "theory of everything" gilt.

Die Zähmung der Monster

In den letzten 25 Jahren sind drei neuartige mathematische Theorien entstanden. Sie sind mit den Stichwörtern "Fraktale", "Chaos" und "Komplexität" zu beschreiben. Jede gute mathematische Theorie hat zwei Eltern: die Vorliebe des Mathematikers für Strukturen und das Interesse des Anwenders aus den Naturwissenschaften. Paradebeispiel ist die Infinitesimalrechnung, die der "Strukturmathematiker" und Philosoph Gottfried Wilhelm Leibniz und der "Anwender" Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelten.

Im Falle der Fraktale waren die Strukturen, welche die Aufmerksamkeit der Mathematiker erregten, unter anderem etliche "mathematische Monster", die im 19. Jahrhundert entdeckt worden waren: Kurven ohne Tangenten, raumfüllende Kurven, Kurven, die sich selbst in jedem ihrer Punkte schneiden (Spektrum der Wissenschaft 9/1992, S. 72). Benoît Mandelbrot zeigte ab Mitte der 1970er Jahre die Bedeutung der "Fraktale" (seine Wortprägung) als Modelle für komplexe Körper der Natur wie Wolken oder Gebirge. Heute trägt die Theorie der Fraktale erheblich zum Fortschritt der gesamten Mathematik bei; sie ist zu einem nützlichen Werkzeug in den theoretischen und experimentellen Naturwissenschaften geworden.

Die Chaostheorie trägt folgender Erkenntnis Rechnung: Selbst einfache und deterministische Gleichungen, die häufig für die Modellierung der physikalischen Welt verwendet werden, können komplizierte Lösungen haben, welche der Determiniertheit zum Trotz alle Merkmale des Zufalls zeigen. Und dieses "regellose", "chaotische" Verhalten ist eher die Regel als die Ausnahme. So kann sich beispielsweise eine Tierpopulation auch ohne äußere Einflüsse sehr merkwürdig entwickeln – selbst dann, wenn diese Entwicklung einer einfachen Gesetzmäßigkeit gehorcht.

Vom innermathematischen Standpunkt aus ist die Chaostheorie Teil der umfassenderen Theorie der nichtlinearen dynamischen Systeme, welche die Entwicklung verschiedenartigster mathematischer Objekte in der Zeit beschreibt. Anwendungen findet sie inzwischen in allen Gebieten der Naturwissenschaft, von der Astronomie bis zur Zoologie. Insbesondere hat die Chaostheorie gezeigt, dass sich die Natur nur begrenzt voraussagen lässt, und nötigt damit die Physiker, ihre Fragen an die Natur umzuformulieren.

Die Komplexitätstheorie behandelt Systeme aus vielen Komponenten, die miteinander in Wechselwirkung treten, wie beispielsweise eine Menschenmenge oder ein Ameisenstaat. Aus dem Zusammenspiel der einzelnen – sehr einfachen – Interaktionen ergeben sich spektakuläre Ereignisse wie ein Börsenkrach oder eine Heuschreckenplage: Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile. Komplexitätstheorie ist gewissermaßen das Gegenteil von Chaostheorie: Sie betrachtet wohldefinierte und – in gewissen Grenzen – vorhersagbare Ereignisse als Folge sehr vieler kleiner chaotischer Einzelaktionen. Hervorgegangen ist sie aus der Kombination von Ideen der Simulationstheorie und der Modelltheorie sowie aus Methoden der Datenanalyse. Jedoch ist es noch nicht gelungen, ihre mathematischen Kernideen in Gestalt von logisch streng bewiesenen Sätzen und Methoden zu organisieren. Die Komplexitätstheorie hält große Überraschungen für uns bereit; es bleibt aber noch viel Arbeit zu leisten, bis sie ihren Platz im Werkzeugkoffer der Mathematik gefunden hat.

Licht und Schatten

Es sei nicht verschwiegen, dass es am Anfang des 21. Jahrhunderts auch Enttäuschungen gibt. Zwei der wichtigsten Probleme, die Riemann’sche und die Poincaré’sche Vermutung, sind immer noch ungelöst. Die Riemann’sche Vermutung ist eine Aussage über die Nullstellen einer komplexen Funktion, welche aufs Engste mit Primzahlen zusammenhängt; die Poincaré-Vermutung besagt, dass die einzige Mannigfaltigkeit, in der jeder geschlossene Weg auf einen Punkt zusammengezogen werden kann, die 3-Sphäre ist, also das dreidimensionale Analogon zur gewöhnlichen Kugeloberfläche. In beiden Fällen wurden Lösungen angekündigt, die jedoch von ihren Autoren wegen subtiler Fehler in der Beweisführung zurückgezogen werden mussten. Eine Lösung dieser Probleme würde viele Teilgebiete der Mathematik voranbringen.

Insgesamt aber hat die Bedeutung der Mathematik explosionsartig zugenommen. Waren ihre Anwendungen einst auf die Physik und die Ingenieurwissenschaften beschränkt, so ist sie heute in alle Bereiche menschlicher Aktivität vorgedrungen: Kommunikation, Wirtschaft, Politik … Insbesondere die Biologie stellt faszinierende mathematische Fragen: Wie entwickeln sich die Arten? Wie falten sich Aminosäureketten zu Proteinen zusammen? Ich vermute, dass die Biologie im 21. Jahrhundert mit die bedeutendste Quelle mathematischer Begriffsbildung sein wird.

Vor 25 Jahren war die Mathematik eine quasi-esoterische Wissenschaft: hoch geschätzt von den Eingeweihten, aber weitgehend unverstanden außerhalb dieses geschlossenen Zirkels. Heute haben die Naturwissenschaften und die Allgemeinheit ein klareres und vor allem positiveres Bild von der Mathematik. Den Leuten wird bewusst, dass sie sich erneuert, dass sie weit mehr ist als das, was man in der Schule lernt, und dass alle Bereiche menschlicher Aktivität Nutzen aus ihr ziehen. Diese Vielfalt der Anwendungen, der Inspirationen und der Methoden haben die Mathematik zu dem gemacht, was sie heute ist: eines der mächtigsten Produkte des Denkens, welche die Menschheit je hervorgebracht hat.

Literaturhinweise


Alles Mathematik. Von Martin Aigner und Ehrhard Behrens (Hg.). Vieweg, Braunschweig. 2., erweiterte Auflage 2002.

Mathematics Unlimited – 2001 and Beyond. Von Björn Engquist und Wilfried Schmidt (Hg.). Springer, Berlin 2001.

Mathematics: Frontiers and Perspectives. Von Vladimir Arnold et al. (Hg.). American Mathematical Society, Providence (RI) 2000.


Wavelets – Kleine Wellen mit großer Wirkung


Die Zerlegung eines (Bild- oder Ton-)Signals (a) in einfachere Komponenten ist ein Teilgebiet der Mathematik, das im Wesentlichen als abgeschlossen galt. Das Mittel der Wahl war die Fourier-Transformation. Bei einem zeitlich periodischen Signal (einem Ton) läuft sie auf die Analyse nach Grund- und Oberschwingungen hinaus. Die Elemente, in die das Signal zerlegt wird, sind Sinusfunktionen; diese sind periodisch und dauern daher im Prinzip unendlich lange an. Dagegen sind bei der Wavelet-Transformation, die im letzten Viertel des vergangenen Jahrhunderts ausgearbeitet wurde, die Elemente zwar auch wellenförmig, aber sie schwellen in ihrer Intensität an und wieder ab (b). Insbesondere sind sie von begrenzter Dauer und damit "klein"; daher der Name Wavelets ("Wellchen"). Dank dieser Eigenschaft können Wavelets auch unregelmäßige Schwankungen des Signals mit erfreulich geringem Aufwand getreu wiedergeben (c). Eine Wavelet-Darstellung eines Bildes erreicht daher schon mit wenig Daten eine erstaunlich gute Wiedergabe: Bei gleichem Speicherplatzbedarf ist das mit Wavelets kodierte Bild e von besserer Qualität als d, das durch die herkömmliche Kompression im Format JPEG entstand.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 5 / 2003, Seite 24
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
5 / 2003

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 5 / 2003

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