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Geometrie: Eine neue Klasse halbregelmäßiger Körper

Aus gleichseitigen Fünf- und Sechsecken lassen sich sehr schön kugelähnliche Polyeder bauen. Nur gleiche Winkel können die Grenzflächen nicht auch noch haben.
Goldberg-Polyeder mit Fünf- und Secksecken

Erratum

Das zweite Bild in der untersten Reihe auf S. 75 zeigt nicht, wie in der Bildunterschrift angegeben, einen Ikosaederstumpf (Fußball). In dem gezeigten Körper grenzen, im Gegensatz zum Fußball, an mehreren Stellen drei Sechsecke aneinander (die schon deswegen nicht gleichwinklig sein können, weil sie sonst in einer Ebene liegen müssten).

Malte von Arnim hat uns auf den Fehler aufmerksam gemacht.

Wie konstruiert man aus gewöhnlichen, ungekrümmten Materialien, sprich geraden Latten oder ebenen Platten, eine Kugel oder zumindest etwas, was der Kugelform möglichst nahekommt? Und das auch noch auf eine möglichst symmetrische Weise?

Es gibt zwei prominente Lösungen des Problems: einerseits die "geodesic domes", mit denen der amerikanische Architekt Richard Buckminster Fuller (1895 – 1983) berühmt geworden ist, andererseits die Polyeder (von ebenen Flächen begrenzte Körper), die der Mathematiker Michael Goldberg (1902 – 1990) im Jahr 1937 erstmals beschrieben hat. Während Fullers Konstruktionen aus lauter Dreiecken bestehen, sind die Goldberg-Polyeder ausschließlich aus Fünf- und Sechsecken zusammengesetzt. Und von einem höheren Standpunkt aus gesehen sind beide fast dasselbe, denn sie gehen durch eine Transformation namens Dualität, die Ecken und Seitenflächen vertauscht, ineinander über.

Um ihre Fastkugeln möglichst symmetrisch zu machen, gingen Fuller und Goldberg von dem Körper aus, der unter den Polyedern maximale Symmetrie und maximale Kugelähnlichkeit in sich vereint: dem Ikosaeder, jenem platonischen Körper, der von 20 gleichseitigen Dreiecken begrenzt ist, fünf um jede Ecke. ...

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  • Quelle

Schein, S., Gayed, J. M.: Fourth Class of Convex Equilateral Polyhedron with Polyhedral Symmetry Related to Fullerenes and Viruses. In: Proceedings of the National Academy of Sciences 111, S. 2920 - 2925, 2014