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Serie Mathematik (Teil IV)

Elliptische Kurven und eine kühne Vermutung

© Christoph Pöppe
Die erste Begegnung mit den so ge­nannten elliptischen Kurven ist für den Außenstehenden wenig erhellend. Sie werden von den Mathematikern ins Leben gerufen durch eine verwirrend erscheinende Definition; dennoch entpuppen sie sich unter den geduldigen Be­mühungen der Fachleute als zentrale Knoten in einem weit gespannten Gedankennetz und helfen so, überraschende Verbindungen zu anderen Bereichen herzustellen.

Ein spektakuläres Beispiel ist der Beweis der legendären fermatschen Vermutung durch Andrew Wiles und Richard Taylor, bei dem elliptische Kurven die entscheidende Rolle spielen (Spektrum der Wissenschaft 8/1993, S. 14, und 1/1998, S. 96). Darüber hinaus finden sie Verwendung für viele zahlentheo­retische Probleme, darunter das hartnäckige Kongruenzzahlproblem: Für welche natürli­chen Zahlen n gibt es ein rechtwinkliges Drei­eck mit rationalen Seitenlängen und Flächen­inhalten?

Mehr noch: Elliptische Kurven besitzen auch praktische Anwendungen (was für einen Zahlentheoretiker allerdings nicht das vorran­gige Kriterium ist, um den Wert seiner Tätig­keit zu beurteilen). Dank einer merkwürdigen algebraischen Struktur, die man auf ihnen fin­det, kann man Funktionen konstruieren, die leicht berechenbar, aber ohne eine Zusatzinformation praktisch nicht umkehrbar sind…
Januar 2009

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft Januar 2009

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  • Errata
Bei der elliptischen Kurve y2= x3–2 über den rationalen Zahlen (Bild S. 66) ist die Folge der Vielfachen des Punkts P falsch angegeben worden. Richtig ist P = (1, 2), PP = (2, 1), 3P = PPP = (3, 0), 4P = (2, 4), 5P = (1, 3), 6P = ∞. Roman Koutny aus Gars hat uns auf den Fehler aufmerksam gemacht.
Wendet man die Formel auf S. 66, rechte Spalte oben, auf (3, 5) an, so ergibt sich im ersten Schritt (129/100, 383/1000). Das im Text abgedruckte Minuszeichen vor der zweiten Komponente ergibt sich erst aus der weiter unten eingeführten Definition der Addition auf elliptischen Kurven. Bei dem Wert im zweiten Schritt muss in der zweiten Komponente der Zähler auf 279 statt auf 292 enden. Wolfgang Heine aus Urfeld hat uns auf diese Fehler aufmerksam gemacht.