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Quantenmechanik: Falsche Töne, die Unbestimmtheitsrelation und die Farbe der Tomate

Dass eine Messung eine unvermeidliche Unschärfe hat, ist keine Spezialität der Quantenmechanik, sondern gilt grundsätzlich für alle wellenartigen Phänomene – von Musik bis zum Alphazerfall von Atomkernen.

Wie kann man die Frequenz einer Schwingung messen? Man gibt sich eine Messdauer Δt vor und zählt, wie viele Schwingungen in diesem Zeitintervall stattfinden. Nennen wir diese Anzahl n; dann können wir die Periode oder Schwingungsdauer T berechnen als T = Δt/n. Da n nur eine ganze Zahl sein kann, leidet sie unter einer Unsicherheit Δn, deren Betrag nicht wesentlich kleiner als 1 ist. Wir rechnen im Folgenden mit der Größenordnung 1, sozusagen als Aufrundung für den "worst case". Der Kehrwert der Periode wird Frequenz genannt: f = 1/T. Mit der Unsicherheit Δf gilt dann f ± Δf = (n±:1)/Δt und Δf ≈ ± 1/Δt.

Wenn man also eine Sekunde lang misst, findet man die Frequenz auf 1 Hertz ungenau, nach zehn Sekunden auf 0,1 Hertz. Allgemein braucht man, um eine Frequenz auf k Hertz genau zu erkennen – oder zwei Schwingungen zu unterscheiden, deren Frequenzen um k Hertz voneinander abweichen –, eine Messdauer von 1/k Sekunden. Je länger man misst, desto geringer wird die Ungenauigkeit; eine absolut genaue Frequenzmessung dauert mit dieser Methode unendlich lange.

Wer schon weiß, dass die zu vermessende Schwingung die exakte Gestalt einer Sinuskurve hat, erreicht die geforderte Genauigkeit in viel kürzerer Zeit, zum Beispiel durch Messung mehrerer Kurvenpunkte. Für allgemeine periodische Phänomene bleibt jedoch neben dem Abzählen der Schwingungen im Wesentlichen nur die Fourier-Analyse, und auch für sie gilt der genannte Zusammenhang zwischen Messdauer und Frequenzungenauigkeit. Er ist bemerkenswerterweise unabhängig vom Wert der Frequenz selbst. ...

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