Wer je als Heimwerker hastig ein Bücherregal zusammengenagelt hat, weiß, daß Rechtecke nicht starr sind. Ein ungeschickter Stoß, und das Ding kippt zur Seite; das Rechteck wird zu einem Parallelogramm und klappt womöglich ganz zusammen. Ein Dreieck ist dagegen starr: Man kann seine Form nicht verändern, ohne daß wenigstens eine Seite länger oder kürzer wird. Das Dreieck ist das einzige Vieleck mit dieser Eigenschaft. Ein Brettergerüst in Form eines Vier-, Fünf-, Sechsecks und so weiter muß versteift werden, indem man – beispielsweise durch überkreuz angebrachte Streben – Dreiecke in das System einbringt.

Oder man nagelt eine Rückwand an. Das verschiebt die Frage in die dritte Dimension, wo alles viel interessanter wird. Fast 200 Jahre lang grübelten die Mathematiker über die Starrheit der Polyeder: Körper mit endlich vielen ebenen, polygonalen (Vielecks-)Seitenflächen, die entlang gerader Kanten aneinandergrenzen. Wenn diese Seitenflächen sämtlich Dreiecke und damit starr sind, müßte auch der ganze Körper starr sein – dachte man. Aber das ist falsch. Es gibt flexible Polyeder; sie können ihre Form ändern, ohne daß eine ihrer dreieckigen Seitenflächen dabei verzerrt werden müßte. Und erst 1997 haben drei Mathematiker die lange postulierte Blase-

balg-Vermutung bewiesen, nach der das Volumen eines flexiblen Polyeders bei Formänderungen konstant bleibt. Der Beweis, der auf einer Formel der alten Griechen beruht, hat ein neues mathematisches Forschungsgebiet eröffnet.

Flexible Formen aus Papier zu falten ist nicht schwer. Viele Origami-Figuren haben bewegliche Beine oder Flügel. Sind das Beispiele für flexible Polyeder? Nein. Wenn der Papierfrosch seine Beine bewegt oder der Vogel seine Flügel, dann deformiert sich das Papier geringförmig. Das gleiche gilt für ein Akkordeon: Der Blasebalg kann sich ausdehnen und zusammenziehen, weil seine Seitenflächen sich dehnen und verbiegen können. Es gibt Wackelpolyeder; das sind Gebilde, die bei nahezu unmerklicher Deformation ihrer Seitenflächen ihr Volumen beträchtlich verändern können (Spektrum der Wissenschaft, März 1992, S. 12). Aber bei einem flexiblen Polyeder im strengen Sinne müssen sich die Flächen überhaupt nicht verbiegen, keinen millionstel Millimeter. Es ändern sich nur die Winkel, in denen die Seitenflächen aufeinandertreffen. Stellen Sie sich vor, daß die Seitenflächen durch Scharniere („Klavierband“) entlang der Kanten miteinander verbunden wären. Alles andere bleibt völlig starr.

Bereits 1813 bewies der französische Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789 bis 1857), daß ein konvexes Polyeder – eines ohne einspringende Ecken oder Kanten – nicht beweglich sein kann. Aber was ist, wenn es solche Eindellungen gibt? Der französische Ingenieur

Raoul Bricard fand um 1900 tatsächlich ein flexibles, nichtkonvexes Polyeder – allerdings von sehr theoretischer Bedeutung: Seine Seitenflächen durchdringen sich gegenseitig. Man kann das Objekt also nicht mit Brettern oder aus Pappe realisieren, aber immerhin als Stabwerk aus starren, an den Ecken gelenkig verbundenen Stangen statt der Kanten.

In den siebziger Jahren modifizierte Robert Connelly, der jetzt der mathematischen Fakultät der Cornell-Universität in Ithaca (New York) vorsteht, Bricards nichtkonvexe Polyeder so, daß die Seitenflächen sich nicht mehr durchdringen. Klaus Steffen von der Universität Düsseldorf vereinfachte die Konstruktion weiter zu einem flexiblen Polyeder mit 9 Ecken und 14 Dreiecksflächen (Bild links unten). Es macht Spaß, ein Pappmodell dieses Polyeders zu basteln und zu sehen, wie es seine Form ändert. Soweit derzeit bekannt, ist dies das einfachste überhaupt mögliche flexible Polyeder, aber es wäre wohl sehr schwierig, das zu beweisen.

Bei der Formänderung rücken einige Seitenflächen näher zusammen, andere entfernen sich voneinander. Es sah so aus, als würden sich beide Effekte genau kompensieren, so daß das Volumen des Polyeders sich während der Bewegung nicht verändert. Dennis Sullivan von der City University in New York hat diese Hypothese überprüft, indem er ein kleines Loch in ein flexibles Polyeder bohrte und das Innere mit Rauch füllte. Als er das Modell dann bewegte, quoll kein Rauch aus dem Loch. Dieses grobe Experiment legt nahe, daß das Volumen bei der Bewegung unverändert bleibt – aber ein Beweis ist das natürlich nicht. Die Aussage bekam den Namen Blasebalg-Vermutung, weil sie besagt, daß ein flexibles Polyeder sich gerade nicht wie ein Blasebalg verhält, der durch Änderung seines Volumens Luft einsaugt oder ausbläst.

Interessanterweise ist das zweidimensionale Analogon der Blasebalg-

Vermutung falsch. Wenn ein flexibles Rechteck zu einem Parallelogramm zusammenklappt, wird sein Flächeninhalt kleiner – bis auf null im Extremfall. Also hat der dreidimensionale Raum eine besondere Eigenschaft, die einen polyederförmigen Blasebalg unmöglich macht. Aber welche?

Um dieses Rätsel zu lösen, griffen Connelly sowie seine Kollegen Idzhad Sabitov von der Moskauer Staatsuniversität und Anke Walz von der Cornell-Universität auf eine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks zurück. Sie wird gewöhnlich dem griechischen Mathematiker Heron von Alexandria aus dem zweiten vorchristlichen Jahrhundert zugeschrieben, der den Beweis aufschrieb; allerdings halten die Fachleute inzwischen den ein Jahrhundert älteren Archimedes für den eigentlichen Entdecker. Die Formel (Kasten oben) drückt den Flächeninhalt x eines Dreiecks durch die Längen der drei Seiten a, b und c aus. Beachten Sie, daß man die Formel als Polynomgleichung schreiben kann: Die Terme sind aus ganzzahligen Potenzen von x, a, b und c zusammengesetzt.

Sabitov hatte die originelle Idee, es könnte eine ähnliche polynomiale Gleichung geben, die das Volumen eines beliebigen Polyeders mit den Längen seiner Kanten in Zusammenhang bringt. Solch eine Gleichung wäre eine bemerkenswerte Entdeckung. Es gibt zwar einige wohlbekannte Formeln für spezielle Polyeder: Das Volumen eines Quaders ist Länge mal Breite mal Höhe, und für Tetraeder, also Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen, gilt etwas Ähnliches wie die Heronsche Formel; aber nie hatte

jemand eine allgemeine Formel für das Volumen eines beliebigen Polyeders

angegeben. Sollte den genialen Mathematikern der Vergangenheit so eine wunderbare Entdeckung entgangen sein? Das schien unwahrscheinlich.

Wie dem auch sei: Wenn es eine solche Formel gibt, muß die Blasebalg-Vermutung richtig sein. Denn die Gleichung verknüpft das Volumen eines Polyeders mit den Längen seiner Kanten – und mit nichts sonst. Wenn sich das Polyeder in sich bewegt, verändern sich diese Längen nicht. Also kann sich auch das Volumen dabei nicht verändern, denn es ist Lösung der unveränderten Gleichung.

Nun kann zwar eine Polynomgleichung mehrere verschiedene Lösungen haben – aber nur endlich viele. Es ist nicht schwer, zwei Polyeder mit gleichen Kanten und verschiedenen Volumina zu finden: Man setze auf eine Fläche eines Würfels eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche, so daß ein Körper aus fünf Quadraten und vier Dreiecken entsteht. Wenn nun die Spitze der Pyamide einwärts statt auswärts zeigt, besteht der Körper aus denselben Flächen und denselben Kanten wie zuvor und hat ein deutlich kleineres Volumen. Aber man kann nicht durch stetige Deformation das eine Polyeder in das andere verwandeln. Bei einer solchen Bewegung müßte nämlich das Volumen stetig von einem Wert zum anderen wechseln, also auch sämtliche Zwischenwerte annehmen. Das aber ist unmöglich, denn die Zwischenwerte sind nicht Lösungen der Polynomgleichung. Also muß das Volumen eines flexiblen Polyeders konstant bleiben – wenn es eine solche Formel gibt.

Schön – aber wie kommt man an die Formel? Connelly, Sabitov und Walz gingen von der oben angesprochenen Heron-ähnlichen Formel für das Volumen eines Tetraeders aus. Jedes Polyeder läßt sich in Tetraeder zerlegen, ebenso wie jedes Vieleck in Dreiecke. Das Volumen des Polyeders ist dann die Summe der Volumina seiner Tetraeder-Komponenten. Das allein löst das Problem noch nicht, denn in der so gewonnenen Formel stehen die Kanten der Teil-Tetraeder. Viele von ihnen sind nicht Kanten des Ausgangspolyeders, sondern irgendwelche Flächen- oder Raumdiagonalen, und deren Längen können sich ändern, wenn das Polyeder in sich bewegt wird. Die Mathematiker mußten die Formel noch algebraisch manipulieren, um sich diese zusätzlichen Variablen wieder vom Halse zu schaffen.

Das war ein sehr mühsamer Prozeß. Für ein Oktaeder – einen Körper mit acht dreieckigen Seitenflächen – ergibt sich eine Polynomgleichung, in der das Volumen in der 16. Potenz auftritt. Komplexere Polyeder lieferten Gleichungen von noch höherem Grad. Im Jahre 1996 hatte Sabitov schließlich einen Algorithmus entwickelt, mit dem sich eine Formel für jedes Polyeder finden ließ. Ein Jahr später gelang es den drei Mathematikern mit vereinten Kräften, den Algorithmus wesentlich zu vereinfachen.

Warum gibt es für alle Polyeder solch eine Gleichung? Das verstehen die Entdecker selber noch nicht so richtig. In zwei Dimensionen gibt es nichts Vergleichbares, abgesehen von der Heronschen Formel, die sich nur auf Dreiecke bezieht. Connelly und Walz glauben zu wissen, wie man eine vierdimensionale Blasebalg-Vermutung beweisen kann, aber bei fünf und mehr Dimensionen ist alles offen.

Es ist faszinierend zu sehen, wie ein einfaches Experiment mit ein wenig gefalteter Pappe zu einer herrlichen und ganz unerwarteten mathematischen Entdeckung Anlaß gegeben hat.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 6 / 1999, Seite 110
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