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Fluxiome: fließende Muster

Ein allgemeines mathematisches Prinzip hilft biedere Schachbrett- oder Kreismuster in eindrucksvolle Grafiken zu verwandeln


Flächen füllende Muster, die aus Wiederholungen eines oder weniger Musterelemente bestehen ("Parkette"), sind geläufige Dekorationen, von der schlichten Badezimmerkachelung und dem Schachbrettmuster über die Blümchentapete bis hin zu den hoch entwickelten Ornamenten der islamischen Kunst. In aller Regel sind solche Parkette periodisch, das heißt, von einem Musterelement gibt es – im Prinzip – unendlich viele gleiche Exemplare, die durch Verschiebung um gewisse Vektoren aufeinander abgebildet werden.

Ich möchte Ihnen hier eine Verallgemeinerung solcher Muster vorstellen. Und zwar wird jedes der Musterelemente in Abhängigkeit von dem Ort, an dem es sich befindet, gedreht, vergrößert, verkleinert, in der Form verzerrt oder auch von seinem Standort wegbewegt. Das Ausmaß dieser Orientierungs-, Form- oder Ortsveränderung wird also durch eine Funktion des ursprünglichen Standorts beschrieben, und zwar durch eine stetige. Das bedeutet: Die einzelnen Musterelemente sind untereinander zwar nicht mehr gleich, ganz im Gegenteil. Aber Musterelemente von benachbarten Ursprungs-Standorten bleiben nicht nur benachbart, sondern sind einander auch ähnlich. Wer also auf einen kleinen Ausschnitt des Musters blickt, findet lauter einander ähnliche Elemente vor. Vielleicht erinnern sie den Betrachter sogar an das ursprüngliche Muster, das im Gesamtbild kaum noch wiederzuerkennen ist.

Die Elemente werden nicht wild durcheinander gewirbelt, sondern sie "verfließen". Deshalb möchte ich Muster, die nach diesem Prinzip gebaut sind, "Fluxiome" nennen. Der Name spielt auch auf "Fluxion" an; so nannte Isaac Newton (1643–1727) das von ihm gefundene mathematische Objekt, das heute Ableitung oder Differenzialquotient einer Funktion heißt.

Das Konzept des Fluxioms umfasst sehr viele Mustertypen. Manche antiken Mosaiken lassen sich ohne weiteres als Fluxiome verstehen (Kasten Seite 115 oben). In neuerer Zeit hat vor allem Victor Vasarely die stetige Abwandlung der bekannten Rauten-Vexiermuster zum Thema zahlreicher Werke gemacht.

Indem die Veränderungen des Musters durch stetige Funktionen ausgedrückt werden, eröffnet sich die Möglichkeit zur systematischen Erforschung der künstlerischen Möglichkeiten: Welcher Typ von Deformations-Funktion erzeugt welchen Mustertyp? Ich selbst habe mich bisher im Wesentlichen auf drei Prinzipien konzentriert:

- Die Größe eines Musterelements ist proportional seinem Abstand von einem Zentralpunkt und seine Orientierung so, dass ein Musterelement durch Drehung mit einem gewissen Winkel um den Zentralpunkt wieder in ein Musterelement übergeht. Dann fügen sich Musterelemente zu logarithmischen Spiralen.

- Das Musterelement ist ein einfaches Vieleck, typischerweise ein Quadrat, oder eine einfache räumliche Struktur, etwa ein Würfel. Bereits Variationen von Größe, Form und Orientierung erzeugen interessante Effekte; durch zusätzliche Änderung des Standorts ergeben sich räumliche Eindrücke.

- Das Musterelement ist ein Kreis, und die Kunst besteht darin, neue Kreise präzise in die Lücken zwischen bereits vorhandenen Kreisen einzupassen. Zur Berechnung leistet die mathematische Operation "Inversion am Kreis" große Hilfe (Bilder oben).

In allen Fällen ist die vom Rechner gelieferte, "scherenschnitt- oder umrissartig reine" Mustergeometrie nur ein erster Schritt. Farben wie Grautöne beleben nicht nur das Bild, sondern schaffen darüber hinaus zusätzliche Strukturen.

Weitere Bilder sind unter www.koewius.de zu besichtigen.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 7 / 2001, Seite 114
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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