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Zahlentheorie: Fortschritt bei Folgen

Sechs Jahrzehnte lang blieb ein Rätsel über arithmetische Muster ungelöst. Nun haben zwei Mathematiker immerhin einen Teil davon geknackt.
Schwarze Zahlen auf weißem HintergrundLaden...

Vor mehr als 60 Jahren äußerte der ungarische Mathematiker Paul Erdős (1913-1996) einen Verdacht, unter welchen Umständen eine unendliche Liste natürlicher Zahlen mindestens drei gleich weit voneinander entfernte (wie 26, 29 und 32) enthält. Erdős hat im Lauf seiner Karriere Tausende von Fragen aufgeworfen, an denen sich viele Forscher bis heute die Zähne ausbeißen. Das Problem der äquidistanten Zahlen (auch arithmetische Folge genannt) zählte zu seinen Favoriten – und nach Einschätzung des der Fields-Medaillenpreisträgers Timothy Gowers von der University of Cambridge auch zu einem Lieblingsproblem vieler seiner Kollegen.

Je dichter eine Liste von Zahlen ist, desto wahrscheinlicher enthält sie arithmetische Folgen. Daher schlug Erdős ein einfaches Kriterium für die Lösung vor: Man addiere die Kehrwerte aller Zahlen auf der Liste. Ist die Summe unendlich, so vermutete er, gibt es unendlich viele arithmetische Folgen jeder beliebigen endlichen Länge – Tripel, Quadrupel und so weiter. Belegen konnte er den Verdacht jedoch nicht …

Oktober 2020

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft Oktober 2020

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  • Quellen

Bateman, M., Katz, N. H.: New Bounds on cap sets. ArXiv 1101.5851, 2011

Bloom, T. F., Sisask, O.: Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions. ArXiv 2007.03528, 2020