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Geometrie-Wochenende: Fraktal zum Anfassen

Mathematik-Begeisterte haben die "dritte Iterationsstufe des fraktalen Ikosaeders" als begreifbares Objekt hergestellt.


Abstrakt ist der Körper schnell beschrieben: Man nehme ein Ikosaeder (den platonischen Körper aus 20 Dreiecken) und ersetze es durch zwölf kleine Ikosaeder, indem man die kleinen Ikosaeder passgenau von innen in die Ecken des großen setzt; der Verkleinerungsfaktor ist so gewählt, dass die Ikosaederchen einander gerade berühren, und zwar entlang ganzer Kanten. Dann wiederhole man diesen Ersetzungsprozess mit jedem der kleinen Ikosaeder, und so weiter – im Prinzip unendlich oft. Wilhelm Sternemann, Lehrer aus Lüdinghausen, hat sich dieses Fraktal ausgedacht und beschrieben (Spektrum der Wissenschaft 11/2000, S. 116).

Aber kann man ein solches Gebilde auch in der Realität herstellen? Das Fraktal im mathematischen Sinne sicher nicht. Unendlich viele unendlich kleine Ikosaeder an den richtigen Platz zu setzen – was immer das heißen mag – würde die physischen Möglichkeiten jedes Konstrukteurs überfordern, von seiner Geduld ganz zu schweigen. Man muss sich mit endlich vielen Ersetzungsprozessen begnügen – sagen wir drei. Das ist zwar weit weniger als unendlich, aber immerhin noch realisierbar; denn da insgesamt 12n Ikosaeder zu bauen sind, wobei n die Zahl der Ersetzungsakte bezeichnet, kommt man für n=3 bereits auf beachtliche 1728 Stück.

Um dieses große Werk gemeinsam zu schaffen, hatten Spektrum der Wissenschaft und die Ludwig-Maximilians-Universität München zu einem Geometrie-Wochenende im Januar gerufen; und der Zuspruch übertraf alle Erwartungen. Reichlich 150 Leute im Alter zwischen 11 und 78 Jahren bauten am Samstag zwölf Näherungen der zweiten Stufe mit je 144 Ikosaedern aus Bastelbögen zusammen; die Endmontage fand unter den Augen des Prorektors der Universität, Axel Schenzle, am Sonntagvormittag statt.

Zwei andere geometrische Großprojekte fielen quasi nebenbei ab, weil das große Werk in den späten Stadien der Fertigstellung nicht mehr alle Hände auslasten konnte. Nach einem sehr ähnlichen Iterationsprinzip von Stephan Werbeck aus Thessaloniki bauten wir ein Gebilde aus 144 Dodekaedern. Und was wie ein großes Dodekaeder aussieht, in das 119 kleinere, zum Teil stark verzerrte Dodekaeder eingebettet sind, ist "in Wirklichkeit" nur die Art Schatten eines vierdimensionalen platonischen Körpers aus 120 gleichen, regelmäßigen Dodekaedern.

Der wissenschaftliche Teil der Veranstaltung ging über die Theorie zur Bastelei weit hinaus: Vorträge durch Münchner Professoren zeigten den Teilnehmern platonische Körper in Räumen mit vier Dimensionen oder exotischen Geometrien (Dierk Schleicher) und Ergebnisse etwa zur Winkelsumme im Tetraeder (Rudolf Fritsch).

Das 1728-fache Ikosaeder wird vorläufig im Foyer des Mathematischen Instituts der Universität München zur Schau gestellt. Seinen endgültigen Platz wird es in dem Mathematikmuseum des Gießener Professors Albrecht Beutelspacher finden, dessen Planung ein konkretes Stadium erreicht hat: Seit Ende vergangenen Jahres verfügt es über ein Gebäude und eine Anschubfinanzierung. Beutelspacher hielt auch den krönenden Schlussvortrag des Wochenendes: "Mathematische Experimente".

Weitere Einzelheiten und Bilder sind über die Website Geometriewochenende abzurufen.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 3 / 2001, Seite 96
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
3 / 2001

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 3 / 2001

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