Direkt zum Inhalt

Fünfeckige Kacheln

Nur zwei Formen, ein Sechseck und ein Fünfeck mit zwei rechten Winkeln, genügen, um fast alle denkbaren kristallinen Formen der Ebene zu realisieren.


Mathematik und Kunst haben viele Berührungspunkte, und der schönste unter ihnen ist wohl die Symmetrie. Für die meisten Formen der bildenden Kunst ist der mathematische Symmetriebegriff zu starr, aber er ist genau richtig für Werke, in denen sich ein und dasselbe Grundmuster regelmäßig wiederholt. Bekannte Beispiele sind Tapeten, Textilien und Mosaike; und es gibt nicht nur die biederen Blümchentapeten, Sträflingshemden und Badezimmerkacheln, sondern auch Kunstwerke höchsten Ranges. Mosaike und Tapeten, die der englische Künstler William Morris im 19. Jahrhundert entwarf, sind heute im Londoner Victoria and Albert Museum zu bewundern. Das historische Museum der Stadt Tokio (Edo-Tokyo Museum) zeigt herausragende Beispiele gemusterter Kimonos, und die Alhambra im spanischen Granada ist weltbekannt für ihre herrlichen Mosaike.

Die Mathematik dahinter ist beileibe nicht neu, aber es gibt immer noch Entdeckungen, häufig durch Künstler. Die englische Künstlerin Rosemary Grazebrook hat ein interessantes Parkettierungssystem erfunden. Es ist weit entfernt von der Standard-Badezimmerkachelung, gleichwohl genial einfach und liefert – in den richtigen Händen – die schönsten Ergebnisse.

Der mathematische Symmetriebegriff ist ein bißchen gewöhnungsbedürftig. Unter einer Symmetrie eines Musters versteht man nicht in erster Linie eine Eigenschaft – zum Beispiel, unter einer Spiegelung in sich selbst überzugehen –, sondern zunächst eine Transformation (im Beispiel die Spiegelung), die das Muster unverändert läßt. Beispielsweise geht unter der Drehung um 90 Grad ein Quadrat in sich selbst über; diese Drehung heißt eine Symmetrie des Quadrates. Die Transformation "vertausche rechts und links durch Spiegelung" ist – näherungsweise – eine Symmetrie für die äußere Form des menschlichen Körpers. Ein Muster kann viele verschiedene Symmetrien zugleich haben. Mehrere von ihnen hintereinander auszuführen ist wieder eine Symmetrietransformation: Die Symmetrien eines Musters bilden eine Gruppe im mathematischen Sinne.

Es gibt viele verschiedene Arten von Parkettierungen; gemeint sind lückenlose, überlappungsfreie Bedeckungen der Ebene mit vielen "Pflastersteinen", die alle einem einzigen "Urstein" oder einem von wenigen Ursteinen gleich sind. Die größte Aufmerksamkeit unter den Parkettierungen haben seit jeher die gitterförmigen genossen; das sind diejenigen Strukturen, die aus periodischer Wiederholung eines Steins oder einer kleinen Ansammlung von Steinen bestehen – ebene Kristalle sozusagen. Merkwürdigerweise haben die Mathematiker zunächst den viel schwierigeren Fall der dreidimensionalen Gitter – echter Kristalle – ausgearbeitet und erst viel später ihre Methoden auf zwei Dimensionen angewandt. Der russische Kristallograph Jewgraf Stepanowitsch Fedorow (1853–1919) bewies 1891, daß alle ebenen Gitter zu genau 17 verschiedenen Symmetrieklassen gehören (Bild Seite 108). Das gilt auch für Tapeten- und Stoffmuster.

Aber jeder gute Einrichtungsladen hat doch dicke Tapeten-Musterbücher und deutlich mehr als 17 verschiedene Sorten Kacheln vorrätig? Schon; aber so wichtig das für den Kunden sein mag, ob gelbe Entchen oder grüne Grashalme auf den Badezimmerkacheln sind, es macht für die Symmetrieklasse keinen Unterschied. Andererseits kann die Freiheit, ein Muster zu gestalten, durch Symmetriebedingungen eingeschränkt sein.

Einige Muster besitzen kaum Symmetrien, darunter das aus den berühmten Penrose-Kacheln, das die Ebene komplett parkettiert, aber niemals durch Verschieben mit sich selbst zur Deckung kommt (Spektrum der Wissenschaft, Juli 1999, S. 14, und November 1998, S. 112). Hier soll es nicht um solch exotische Dinge gehen, sondern um Muster mit einem "Fundamentalbereich" – einem Urmuster, das sich, in zwei verschiedene Richtungen parallelverschoben, unendlich oft wiederholt.

Nehmen wir die quadratischen Kacheln aus dem üblichen Badezimmer – mit unendlich großer Wand. Greifen wir eine Kachel heraus. Wenn wir deren Muster um irgendein ganzzahliges Vielfaches der Kachelbreite nach rechts oder links verschieben und um ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches der Kachelbreite nach oben oder unten, kommt es wieder mit sich zur Deckung. Das Muster wiederholt sich also in zwei verschiedenen Richtungen; die sind senkrecht zueinander wie in diesem Fall – oder auch nicht.

Der Begriff "Gitter" (lattice) bedeutet, daß es zwei solche Richtungen gibt. Gittersymmetrien sind üblich bei Tapeten und Textilien, denn erstere werden gewöhnlich in langen Bahnen von rotierenden Walzen bedruckt und letztere von einer Maschine gewebt, die eine Grundfolge von Arbeitsschritten ständig wiederholt. Wenn die Tapete an die Wand geklebt wird oder Stoffbahnen miteinander vernäht werden, muß man manchmal die eine Bahn gegen die andere verschieben, damit die Muster zusammenpassen. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Verschiebungsrichtungen nicht aufeinander senkrecht stehen.

Kacheln werden nicht von der Rolle hergestellt, müssen also nicht aus Fertigungsgründen eine Gitterbedingung erfüllen. Aber es ist natürlich einfacher für den Künstler, wenn er jede Kachel mit dem gleichen Muster versieht und dafür sorgt, daß das Muster sich über die Fugen hinweg harmonisch fortsetzt.

Dabei kann er seinem Muster mehr Symmetrien aufprägen als die doppelte Translationssymmetrie des Gitters. So hat das quadratische Badezimmer-Kachel-Gitter auch eine Drehsymmetrie um 90 Grad sowie Spiegelsymmetrien um sämtliche senkrechten, waagerechten und diagonalen Achsen, die durch den Mittelpunkt oder einen Eckpunkt irgendeiner Kachel verlaufen. Die Bienenwaben-Kachelung durch reguläre Sechsecke bildet auch ein Gitter, hat aber über dessen Translationen hinaus andere Symmetrien, insbesondere Drehungen um 60 Grad.

Die Entdeckung Rosemary Grazebrooks bezieht sich nun auf eine bestimmte fünfeckige Kachel, die Baustein für eine Vielzahl von Gittermustern sein kann. Entscheidend dafür sind die Winkel des Fünfecks: zweimal 90 und dreimal 120 Grad. Dadurch paßt sie sowohl in quadratische als auch in hexagonale Gitter (Bild auf der vorigen Seite). Dagegen ist eine quadratische Kachel in ihren Kombinationsmöglichkeiten sehr beschränkt. Von der Standard-Badezimmer-Kachelung kann man allenfalls abweichen, indem man ganze Zeilen oder Spalten gegen ihre Nachbarn verschiebt.

Vier dieser fünfeckigen Kacheln lassen sich zu einer länglichen zusammensetzen, die ihrerseits die Ebene parkettiert wie die versetzten Steine in einem Ziegelmauerwerk. Wenn man zusätzlich reguläre Sechsecke als Kacheln zuläßt, kann man alle 17 Symmetrietypen ebener Gittermuster bilden – bis auf eines. Ich überlasse Ihnen das Vergnügen herauszufinden, welcher Symmetrietyp fehlt und wie man die anderen 16 bilden kann.

Bei der Idee hat übrigens die Vorgängerin dieser Kolumne, Martin Gardners unnachahmliche Mathematische Spielereien, eine Vermittlerrolle gespielt. Grazebrook arbeitete gerade am Londoner Royal College of Art über die islamische Kunst in der Alhambra. Ziel war eine Dissertation mit dem Titel "Vom Islam zu Escher und weiter…" (Sie kennen sicher die bemerkenswerten Zeichnungen von Maurits C. Escher. Viele von ihnen sind Pflasterungen der Ebene oder komplizierterer mathematischer Strukturen, wobei die Kacheln selbst als Tiere ausgeführt sind; vergleiche Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1990, S. 12.) Sie erahnte eine Verbindung zwischen islamischer Kunst und Eschers charakteristischen Parkettierungsmustern. Aber erst nachdem sie Martin Gardners Kolumne gelesen hatte, wurde ihr klar, daß die Verbindung in den 17 Symmetrietypen ebener Gitter liegt. Daraufhin entwickelte sie Verfahren, islamische Muster aus verschiedenen Gittern heraus zu erzeugen.

Für ihre Fünfeckkacheln – die Gardner neben vielen anderen in seiner Kolumne im "Scientific American" vom Juli 1975 aufgeführt hat – ersann sie zwei verschiedene Arten der Einfärbung. Bei der einen wird die Kachel in drei Dreiecke zerlegt ("Pentland"), bei der anderen ("Penthouse") in zwei Quadrate, ein drachenförmiges Viereck und ein kleineres Fünfeck. Andere Verfahren sind denkbar; aber schon diese zwei Schemata bringen eine erstaunliche Vielfalt von Dessins hervor.

Wer die – durch Urheberrechte geschützten – Muster und die Einfärbungsschemata nutzen möchte, kann sich mit Rosemary Grazebrook unter der Adresse P. O. Box 328, Isleworth TW7 6FB, Großbritannien, in Verbindung setzen.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 1 / 2000, Seite 106
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
1 / 2000

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 1 / 2000

Lesermeinung

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Leserzuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Leserzuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmer sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Lesermeinungen können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!