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Geometrie: Der optimale Schnitt

Wenn man eine Avocado halbieren möchte, bietet es sich an, die Schnittfläche möglichst klein zu wählen, damit das Fruchtfleisch nicht so schnell braun wird. An einer hochdimensionalen Variante dieser Aufgabe scheitern Geometer seit Jahrzehnten, doch nun hat ein Statistiker sie gelöst.
Schälchen mit Guacamole

Mitte der 1980er Jahre stellte sich der belgische Mathematiker Jean Bourgain eine einfache geometrische Frage – und konnte sich den Rest seines Lebens nicht mehr davon lösen. Bourgain, der 2018 verstarb, zählt zu den bedeutendsten Meistern seines Fachs in der Neuzeit. Der Gewinner der Fields-Medaille, die neben dem Abelpreis die höchste mathematische Auszeichnung darstellt, war als außergewöhnlicher Problemlöser bekannt: die Art von Person, mit der man über eine Aufgabe sprechen konnte, an der man monatelang gearbeitet hatte, worauf diese sie dann auf der Stelle erledigt. Dennoch gelang es Bourgain nicht, eine seiner eigenen Fragen zu hochdimensionalen Formen zu beantworten. »Jean sagte mir einmal, dass er mehr Zeit auf dieses Problem verwendet und ihm mehr Mühe gewidmet habe als jedem anderen Thema, an dem er je gearbeitet hat«, so der Analysis-Professor Vitali Milman von der Universität Tel Aviv.

Inzwischen hat sich die von Bourgain formulierte Vermutung laut Milman und Bo'az Klartag vom Weizmann Insti­tute of Science in Israel als das »Tor zum Verständnis« von bestimmten hochdimensionalen Figuren entwickelt. Diese so genannten konvexen Formen zeichnen sich dadurch aus, dass sie alle Liniensegmente enthalten, die zwei beliebige ihrer Punkte miteinander verbinden, sprich: Sie haben keine Dellen. Solche Objekte sind nicht nur für Fachleute der reinen Mathematik ein zentrales Studienobjekt, sondern spielen auch in der Statistik, im Bereich des maschinellen Lernens und für Informatikerinnen und Informatiker, die mit hochdimensionalen Datensätzen arbeiten, eine wichtige Rolle.

Das Problem von Bourgain hat mit dem Zerschneiden geometrischer Figuren zu tun …

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  • Quellen

Chen, Y.: An almost constant lower bound of the isoperimetric coefficient in the KLS conjecture. ArXiv 2011.13661, 2020

Eldan, R.: Thin shell implies spectral gap up to polylog via a stochastic localization scheme. Geometric and Functional Analysis 23, 2013

Klartag, B., Eldan, R.: Approximately gaussian marginals and the hyperplane conjecture. ArXiv 1001.0875, 2010

Simonovits, M. et al.: Isoperimetric problems for convex bodies and a localization lemma. Discrete & Computational Geometry 13, 1995

Vempala, S. S. et al.: Reducing isotropy and volume to KLS: An O(n3/2) volume algorithm. ArXiv 2008.02146, 2020

Vempala, S. S. et al.: Eldan's stochastic localization and the KLS conjecture: Isoperimetry, concentration and mixing. ArXiv 1612.01507, 2016