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Martin Gardner:: Geometrie mit Taxis, die Köpfe der Hydra und andere mathematische Spielereien.

Aus dem Amerikanischen von Anita Ehlers.
Birkhäuser, Basel 1997. 300 Seiten, DM 39,80.

Zum Teufel mit Martin Gardner! Da sitzt man bei der Arbeit und denkt an nichts Böses, und dann kommt wie ein Virus der Scientific American daher. Alles andere wird zur Nebensache, man ist infiziert und muß sich mit einem seiner faszinierenden Probleme herumschlagen."
So beginnt ein Artikel von Ethan Akin und Morton Davis in der Fachzeitschrift "American Mathematical Monthly" über die Bulgarische Patience. Und die beiden Mathematiker sind keineswegs die einzigen, die den Verlockungen und intellektuellen Herausforderungen von Gardners Kolumne anheimfielen. Von Dezember 1956 bis Dezember 1980 erschienen seine "Mathematical Games" Monat für Monat im Mutterblatt von Spektrum der Wissenschaft (und in der deutschen Ausgabe seit deren Gründung im Herbst 1978); drei letzte Artikel folgten noch 1983 und 1986.
Gardner schrieb in einer für Laien verständlichen Weise über alle Bereiche der Mathematik. Er spickte seine Artikel mit Denksportaufgaben, Kuriositäten, Spielen, Zahlenmystik, Mathematikeranekdoten, Zaubertricks, optischen Illusionen, ungelösten Problemen und noch vielen anderen Zutaten. Diese Mischung wurde zum Standard der Unterhaltungsmathematik schlechthin. Gardners Artikel wurden von geistig interessierten Menschen jeden Alters und aller Berufe begeistert gelesen, von Laien ebenso wie von Experten. Dadurch wurden sie zu einer der wenigen Brücken über die tiefe Schlucht, die beide Seiten trennt.
Mit seiner Kolumne hat Martin Gardner (Jahrgang 1914), der eigentlich Journalist ist und niemals Mathematik studiert hat, mehr für das Fach getan als mancher Professor. Er wurde deshalb sogar auf Lebenszeit zum Ehrenmitglied der Mathematical Association of America ernannt.
Seine "Mathematical Games" hat er zu Büchern zusammengefaßt. Die ersten vierzehn Bände erschienen zwischen 1959 und 1992 und liegen zum größten Teil auch auf deutsch vor. Sie sind sämtlich zu Klassikern der Unterhaltungsmathematik geworden, und man findet sie in beinahe jeder Schul-, Stadt- und Universitätsbibliothek. Der vorliegende fünfzehnte Band ist nun auch der letzte, wie der amerikanische Originaltitel "The Last Recreations" schon besagt. Er enthält Artikel, die erstmals zwischen 1976 und 1986 im Scientific American und – bis auf eine Ausnahme – auch in dessen deutscher Edition erschienen sind.
In dem Kapitel "Taxi-Geometrie" (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, Januar 1981, Seite 6) beschreibt Gardner eine besonders simple nichteuklidische Geometrie. Man kann sie sich am einfachsten anhand einer idealisierten Stadt vorstellen, in der alle Straßen entweder in Nord-Süd- oder in Ost-West-Richtung verlaufen und benachbarte parallele Straßen stets den gleichen Abstand haben. Der Stadtplan sieht also aus wie kariertes Papier. Die Punkte in dieser Geometrie sind die Kreuzungen der Straßen.
In der gewöhnlichen euklidischen Geometrie ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte die Gerade, die durch beide verläuft. Analog wird auch in der Taxi-Geometrie eine kürzeste Verbindung zwischen zwei Kreuzungen Gerade genannt. Es gibt im allgemeinen mehrere solcher Geraden zwischen zwei Punkten. Die Entfernung, die ein Taxi auf dieser Verbindung zurücklegen muß, heißt Abstand der beiden Punkte. Da aber ein Taxi nicht einfach der Luftlinie folgen kann, sondern auf der Straße bleiben muß, ist eine Gerade der Taxi-Geometrie selten eine Gerade im herkömmlichen Sinne, sondern im allgemeinen eine Zickzacklinie.
Mit Hilfe dieser Definitionen für Punkt, Gerade und Abstand entwickelt Gardner für die Taxi-Geometrie analog zur euklidischen Figuren wie Dreiecke, Quadrate, Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln. So ist ein Kreis definiert als der geometrische Ort aller Punkte, die von einem vorgegebenen Punkt gleich weit entfernt sind – formal wie üblich, aber im Ergebnis verblüffend: Ein Taxikreis ist – mit euklidischen Augen betrachtet – ein auf einer Ecke stehendes Quadrat.
Im Kapitel "Schubfächer für Probleme mit Pillen, Punkten und Musikern" (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1980, Seite 18) stellt Gardner eine Reihe mathematischer Denksportaufgaben vor, die sich mit dem einfachen, aber sehr nützlichen Schubfachprinzip des Göttinger Mathematikers Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 bis 1859) lösen lassen: Wenn mehr als n Dinge auf n Schubfächer verteilt werden sollen, dann muß in mindestens einem Fach mehr als ein Ding liegen.
So stellt Gardner seinen Lesern die Aufgabe zu zeigen, daß bei einem Polyeder immer mindestens zwei Seitenflächen gleich viele Kanten haben, und gibt folgende Lösung: "Um zu beweisen, daß das immer der Fall ist, müssen wir uns nur vorstellen, was passiert, wenn wir die Flächen auf eine Reihe von Kästen verteilen, die mit den Zahlen 3, 4, ..., n bezeichnet sind, so daß eine Fläche mit r Kanten in den Kasten mit der Zahl r kommt. Da die Kanten jeweils zwischen zwei Flächen liegen, ist eine Fläche, die die Maximalzahl n von Kanten hat, selbst von n Flächen umgeben, also hat das Polyeder mindestens n+1 Flächen. Nach dem Schubfachprinzip muß es einen Kasten geben, in dem mindestens zwei Flächen sind, womit bewiesen ist, daß es mindestens zwei Flächen mit gleicher Kantenzahl gibt."
Gardner lehrte in seinen Artikeln niemals die Mathematik; er spielte mit ihr und forderte seine Leser zum Mitspielen auf. Sie folgten dieser Aufforderung begeistert und entwickelten seine Probleme weiter, lösten bislang ungelöste oder erfanden neue. So kommen in diesem Buch Dutzende von Lesern zu Wort, wodurch die urprünglichen Artikel deutlich erweitert wurden.
Wer sich für die Physik eines zweidimensionalen Universums, für die geometrische Form eines Hühnereis und für die Mathematik von Knoten interessiert, wer wissen will, wie man mit Hilfe von Digraphen oder Modul-Arithmetik Denksportaufgaben löst und was Steinersche Dreiersysteme mit den Spaziergängen von Schulmädchen zu tun haben, wer etwas über Gruppentheorie, Damespiel oder Bulgarische Patience lernen möchte, wer sich für Kuriositäten über Primzahlen und Parabeln begeistern kann, dem sei Martin Gardners Buch wärmstens empfohlen.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 4 / 1998, Seite 120
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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