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Gesetz und Ordnung im Universum: die KAM-Theorie

Unter bestimmten Bedingungen ist die Bewegung mehrerer Körper, die einander nach dem Gravitationsgesetz anziehen, fast periodisch. Daraus folgt möglicherweise, daß das Sonnensystem stabil ist.

Vor etwa dreißig Jahren nahm ein aus Rumänien geflohener und nun an der Harvard-Universität in Cambridge (Massachusetts) lehrender Mathematiker Fahrstunden, um sich auf das Leben im Kapitalismus vorzubereiten. Dabei mißachtete er eines Tages seelenruhig eine rote Ampel. Der Fahrlehrer schnappte fast über. "Was ist denn los?" fragte der Verkehrssünder unschuldig. "Ich habe genau aufgepaßt – es war kein Polizist in der Nähe!"

Der Immigrant hat dann doch noch begriffen, daß Vorschriften auch in Abwesenheit eines Polizisten einzuhalten sind – keine besonders schwere Lektion, nicht einmal für einen Mathematiker: Von klein auf lernen wir, uns an Regeln zu halten.

Eine außergewöhnliche mathematische Theorie zeigt, daß etwas Analoges auch bei unbelebten Objekten vorkommt: Unter bestimmten Bedingungen bleiben Planeten oder Elementarteilchen auf stabilen Bahnen, obwohl keines der geläufigen Gesetze wie etwa Energie- oder Impulserhaltungssatz sie dazu zwingt und obwohl Planeten oder Teilchen unter anderen Umständen die Gesamtheit der Möglichkeiten ausschöpfen, die ihnen diese Gesetze lassen.

Mit dieser KAM-Theorie (benannt nach den Anfangsbuchstaben ihrer Schöpfer Andrej Kolmogorow, Wladimir Arnold und Jürgen Moser) stellt sich die Frage nach der Stabilität des Sonnensystems auf neue Weise; sie ist auch für die Konstruktion von Teilchenbeschleunigern bedeutsam. Damit ergibt sich außerdem eine recht überraschende Verbindung zwischen zwei an sich weit entfernten Bereichen der Mathematik, denn der Unterschied zwischen Stabilität und Instabilität ist mit einem schwierigen Problem der Zahlentheorie verbunden: der Approximation irrationaler Zahlen durch rationale.


Ist das Sonnensystem stabil?

Das Thema hat seine Wurzeln in der Himmelsmechanik, welche die größten Mathematiker des 18. und 19. Jahrhunderts lebhaft interessierte. Isaac Newton (1643 bis 1727) hatte die geniale Idee gehabt, daß Kräfte einfacher sind als die von ihnen verursachten Bewegungen und daß man, um das Universum zu verstehen, dessen Kräfte – insbesondere die Gravitation – durch Differentialgleichungen beschreiben muß. Theoretisch war es seitdem möglich, durch Lösen dieser Gleichungen die Bewegungen sämtlicher Körper des Sonnensystems, ja sogar des Universums, bis in alle Ewigkeit vorauszusagen.

Der französische Mathematiker und Physiker Pierre Simon de Laplace (1749 bis 1827) hat dies mit dem Optimismus seiner Epoche so ausgedrückt: "Eine Intelligenz, die zu irgendeinem Zeitpunkt alle Kräfte, welche die Natur bewegen, und die Zustände ihrer Bestandteile kennt und die außerdem hinreichend mächtig ist, diese Angaben vollständig zu analysieren, würde in einer einzigen Formel die Bewegungen der größten Körper im Universum wie der kleinsten Atome umfassen: Nichts wäre unbekannt für sie, und Zukunft wie Vergangenheit wären vor ihren Augen gegenwärtig."

Inzwischen wird der Anspruch erheblich bescheidener formuliert. In aller Regel ist zwar beweisbar, daß die Differentialgleichungen genau eine Lösung haben, daß also Laplaces Anspruch im Prinzip begründet ist; aber nur in den einfachsten Ausnahmefällen hat man die Lösung als geschlossene Formel in Händen. Es ist deshalb üblich geworden, ein Gleichungssystem – und damit das physikalische System, dessen Beschreibung es ist – bereits dann als gelöst anzusehen, wenn man Existenz und Eindeutigkeit seiner Lösung nachgewiesen hat.

Indes ist mit dieser Information allein im allgemeinen nicht vorherzusagen, wie das System sich entwickeln wird. In der Himmelsmechanik beginnen die Schwierigkeiten, sobald man versucht, das Langzeitverhalten von mehr als zwei Körpern zu bestimmen. Kann ein Planet aus dem Sonnensystem hinauskatapultiert werden oder aber sich der Sonne annähern, bis ihm, wie Moser es lakonisch ausdrückt, "ein Unheil geschieht"? Seit dem Ende des 18. Jahrhunderts haben Mathematiker und Physiker wie Laplace, Joseph Louis Lagrange (1736 bis 1813) und Siméon Denis Poisson (1781 bis 1840) versucht, die Stabilität des Sonnensystems zu beweisen. Ihre Ergebnisse gaben zwar eine gewisse Beruhigung für die unmittelbare Zukunft (vielleicht 300000 Jahre), sagten aber nichts über sein endgültiges Schicksal aus. Das n-Körper-Problem war gestellt.

Im Sonnensystem gibt das Paar Jupiter/Saturn den größten Anlaß zur Sorge, denn die Jahreslängen des größten und des zweitgrößten Planeten stehen in einem rationalen Verhältnis mit kleinen Zahlen: In der Zeit, in der Saturn zwei Umläufe um die Sonne macht, schafft Jupiter fünf. Periodisch finden sie sich also in der gleichen Position zueinander wieder. Indem das System alle fünf Jupiterjahre – beziehungsweise zwei Saturnjahre – exakt seine Bewegung wiederholt, gleicht es einer schwingenden Saite, deren Bewegung aus der zweiten und der fünften Oberschwingung – und Schwingungen mit Vielfachen dieser Frequenzen – zusammengesetzt ist.

Man könnte nun befürchten, daß die durch die Anziehung der beiden Planeten verursachten Störungen ihrer Bahnen sich aufsummieren und die Bahnveränderungen weiter vergrößern, vergleichbar der Resonanz bei einer Schaukel: Wenn man das Kind periodisch im richtigen Moment anschiebt, und sei es auch nur geringfügig, kann man auf die Dauer eine große Bewegungsänderung hervorrufen. Schlimmer noch: Anders als die Schaukel werden die Planeten nicht durch Reibung gebremst; nichts gleicht die Störung wieder aus.

Wenn die Physiker in diesem Zusammenhang von Störung reden, beschreiben sie genaugenommen nicht eine physikalische Realität, sondern ihre Interpretation derselben. Weil das Problem, das einen eigentlich interessiert, zu schwer ist, sucht man sich ein einfacheres Problem in der Nähe, beispielsweise anstelle des Dreikörperproblems mit Sonne, Jupiter und Saturn dasselbe unter Vernachlässigung der Anziehung der beiden Planeten untereinander. Die Lösung des ursprünglichen Problems wird zunächst von der – bekannten – Lösung des vereinfachten Problems nur geringfügig abweichen; diese Abweichung wird allgemein als Störung bezeichnet.

Der Physiker Jean-Baptiste Biot (1774 bis 1862) sagte voraus, daß wegen des rationalen Verhältnisses 2/5 bereits eine sehr kleine Störung der Bahn von Saturn oder Jupiter ausreichen würde, den Saturn auf lange Sicht aus dem Sonnensystem hinauszuschleudern. Karl Weierstraß (1815 bis 1897), einer der größten Mathematiker des 19. Jahrhunderts, wandte dagegen ein, daß die Stabilität nicht von der Rationalität oder Irrationalität des Verhältnisses der Umlaufszeiten abhängen könne. Immerhin befindet sich beliebig nahe jeder rationalen Zahl eine irrationale und umgekehrt. Wie könne ein Unterschied, der unterhalb jeder Meßgenauigkeit liegt, eine physikalische Bedeutung haben? Und aufgebracht über Biots Spekulation bemerkte Weierstraß ironisch, daß genausogut auch Jupiter verschwinden könnte – das wäre sogar besser, denn es würde "die Aufgabe der Astronomen erheblich vereinfachen, weil gerade dieser Planet die größten Störungen verursacht!"

Trotz allem sind die rationalen Verhältnisse in der mathematischen Beschreibung wesentlich und müssen berücksichtigt werden. Das machte Weierstraß und seinen Zeitgenossen Schwierigkeiten: Sie konnten ihre Gleichungen nicht mit dem, was am Himmel zu sehen war, in Einklang bringen.

Das große Problem der kleinen Nenner

In der Mathematik ist das Problem unter dem Stichwort "kleine Nenner" bekannt. Wenn man bei zwei Planeten nur die Wechselwirkung mit der Sonne berücksichtigt und ihre gegenseitige Anziehung vernachlässigt, so daß sie sich unabhängig voneinander bewegen, dann sind stabile Bahnen mit dem Umlaufszeitverhältnis 2/5 – ebenso wie mit jedem anderen Verhältnis – völlig im Einklang mit den Newtonschen Bewegungsgleichungen. Bleibt diese Situation bestehen, wenn man nun die Gravitationskraft zwischen den beiden Planeten mit einbezieht?

Eine Möglichkeit ist, daß die Bahnen nicht mehr genau periodisch sind, sondern quasiperiodisch. In diesem Falle läßt sich die Bewegung nach wie vor als Überlagerung unendlich vieler Schwingungen auffassen; nur sind die Frequenzen nicht mehr, wie im periodischen Falle, Vielfache einer Grundfrequenz, sondern es sind mehrere – inkommensurable – Grundfrequenzen vertreten. Quasiperiodische Bahnen sind gleichwohl stabil – in dem Sinne, daß sie auf ewig innerhalb bestimmter Grenzen bleiben. Sie wiederholen sich sogar, wenn auch nur fast: Ein beliebig herausgegriffenes Stück des Bahnverlaufs wird sich zu einem späteren Zeitpunkt bis auf eine beliebig kleine Abweichung wiederfinden.

Wenn stabile quasiperiodische Bahnen existieren, sind sie durch konvergente Fourier-Reihen beschreibbar (Kasten auf dieser Seite). Setzt man an die Stelle der unbekannten Bahn in der Bewegungsgleichung eine solche Fourier-Reihe, so kann man möglicherweise Gleichungen für die (unendlich vielen) Koeffizienten der Reihe – entsprechend den Intensitäten der verschiedenen Oberschwingungen – gewinnen und lösen. Eben das war Weierstraß 1878 gelungen. Stellten diese Reihen Lösungen des ursprünglichen Problems dar? Dazu mußte erst die Konvergenz der Reihen gezeigt werden.

Eine Fourier-Reihe ist eine Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen, deren jede mit einem Koeffizienten multipliziert ist (siehe "Die Fourier-Transformation" von Ronald N. Bracewell, Spektrum der Wissenschaft, August 1989, Seite 90). Konvergenz bedeutet, daß die Summe – geometrisch ausgedrückt: die Überlagerung aller Sinus- und Cosinuskurven – einem Grenzwert zustrebt. Dieser Grenzwert ist dann eine periodische Funktion. Damit aber überhaupt eine solche Grenzfunktion existiert, muß die Folge der Koeffizienten hinreichend schnell gegen null streben; sonst könnte beispielsweise, zumindest an gewissen Punkten, die Summe der Sinus- und Cosinusfunktionen, statt zu konvergieren, über alle Grenzen anwachsen.

Im Falle von Saturn und Jupiter, wo das Verhältnis der Umlaufszeiten nahe bei 2/5 liegt, enthalten unendlich viele Koeffizienten sehr kleine Nenner, sind also selbst relativ große Zahlen. Daran scheitert der übliche Konvergenzbeweis, der darauf beruht, daß die Koeffizienten hinreichend schnell klein werden. Wie kann man bestimmen, ob eine solche Reihe trotzdem konvergiert?

Weierstraß suchte – vergeblich – nach einem Beweis, anscheinend weil der deutsch-französische Mathematiker Gustav Lejeune Dirichlet (1805 bis 1859) kurz vor seinem Tode behauptet hatte, eine Methode zur näherungsweisen Lösung des n-Körper-Problems gefunden zu haben. Dirichlet hatte zwar kein Dokument oder auch nur einschlägige Notizen hinterlassen; weil er aber für seine Sorgfalt bekannt war, nahm Weierstraß seine Behauptung ernst. Führende Mathematiker wie der Franzose Henri Poincaré (1854 bis 1912) und der Amerikaner George Birkhoff (1884 bis 1944) waren dagegen der Überzeugung, diese Reihen könnten unter keinen Umständen konvergieren.

Als der schwedische König 1885 einen Preis für eine wichtige mathematische Erkenntnis aussetzen wollte, schlug Weierstraß die Konvergenz der Lösungen des n-Körper-Problems als Aufgabe vor. Der Preis ging an Poincaré für eine Arbeit von mehr als 200 Seiten, aus der hervorzugehen schien, daß Weierstraß sich geirrt hatte: Die Reihe könne gar nicht konvergieren und keine einzige Bahn ewig stabil bleiben.

Diese Schlußfolgerung schien zunächst logisch. Weierstraß allerdings war nicht überzeugt, und später mußte Poincaré widerwillig zugeben, daß sein Beweis "nicht vollkommen streng war"; er fügte aber stets hinzu, eine Konvergenz sei "höchst unwahrscheinlich". Erst 1942 bewies Carl Ludwig Siegel (1896 bis 1981) in einem bewundernswerten Kraftakt die Konvergenz bestimmter Reihen mit kleinen Nennern.

Die Poincaré-Abbildung

Poincaré hatte gezeigt, daß es im n-Körper-Problem außer den bekannten Erhaltungsgesetzen keine weiteren gibt. Wenn aber kein Gesetz – kein Polizist sozusagen – die Planeten oder Elementarteilchen am Abweichen von der stabilen Bahn hindert, warum verhalten sie sich dann so brav?

In der Einführung zu seiner Arbeit kündigte Poincaré dieses "negative Ergebnis" an, das er am Ende des Textes entwickelte, und fügte hinzu: "Etliche weitere Umstände lassen uns erwarten, daß eine Lösung, so man sie jemals finden kann, vollständig andere und unendlich kompliziertere analytische Methoden erfordern wird als die, welche wir besitzen. Je mehr man über die Aussagen nachdenkt, die ich im folgenden zeige, desto besser wird man verstehen, daß dieses Problem beispiellose Schwierigkeiten enthält, die das Scheitern früherer Versuche bereits hat ahnen lassen, deren Ursache und Größe ich aber noch besser beschrieben zu haben glaube."

Der Text beschränkt sich nicht auf dieses Ergebnis, sondern enthält eine Vielzahl neuer Ideen und Methoden. Fast alle modernen Techniken zur Analyse dynamischer Systeme sind dort skizziert. Eine (mit der Poincaré die Nichtexistenz weiterer Erhaltungsgesetze bewies) hilft, die zeitliche Entwicklung eines Systems zu verstehen.

Betrachten wir dazu eine einfache Variante des Dreikörperproblems: Zwei Körper gleicher Masse ("Planeten") bewegen sich in einer Ebene auf Ellipsenbahnen um einen gemeinsamen Brennpunkt; ein dritter, masseloser Körper (der "Komet") schwingt in einer Geraden, die in diesem Brennpunkt auf der Bahnebene der Planeten senkrecht steht (Bild 2). Stellen wir uns vor, der Komet würde zu einem bestimmten Zeitpunkt mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit im Brennpunkt in Bewegung versetzt.

(Masselose Körper gibt es zwar nicht, und durch die Vereinfachung wird das Modell unphysikalisch; gleichwohl ist die mathematische Formulierung des Problems widerspruchsfrei: Die Beschleunigung eines Körpers ist gleich der auf ihn wirkenden Kraft dividiert durch seine Masse m; die Kraft, mit der sich zwei Körper anziehen, ist aber proportional zum Produkt mM ihrer Massen. Die Masse m kürzt sich also heraus und hat auf die Beschleunigung keinen Einfluß. Aus diesem Grunde fallen auf der Erde alle Körper mit der gleichen Beschleunigung. Andererseits würde ein massiver Komet seinerseits einen Einfluß auf die Bahnen der Planeten ausüben, ebenso wie eine Erbse, die auf die Erde fällt, ihrerseits eine Anziehungskraft auf die Erde ausübt und sie deshalb auf sich zu beschleunigt. Dieser Effekt ist jedoch in aller Regel vernachlässigbar; indem man den entsprechenden Term aus den mathematischen Gleichungen wegläßt, vereinfacht sich das Problem erheblich.)

Poincarés Idee bestand darin, den Zustand des Systems nur zu ausgewählten Zeitpunkten zu betrachten, und zwar immer dann, wenn der Komet die Ebene der Planetenbahnen durchstößt. In diesen Zeitpunkten wird der Zustand des Systems bereits durch die Geschwindigkeit des Kometen und die Positionen der Planeten vollständig beschrieben. Letztere wiederum sind nur von der sogenannten Jahreszeit abhängig, das heißt der Zeit, die vergangen ist, seit die Planeten eine (willkürliche) Anfangsposition eingenommen haben. Weil deren Bewegung streng periodisch ist, kommt es auf die Anzahl der zwischendurch vollendeten Umläufe nicht an.

Beide Angaben – Kometengeschwindigkeit und Jahreszeit – lassen sich als Koordinaten einer Ebene darstellen, die Poincaré-Schnitt genannt wird (Spektrum der Wissenschaft, November 1993, Seite 46). In dieser Ebene markiert man zunächst den Punkt, der den Anfangsbedingungen entspricht, und dann jedesmal, wenn der Komet die Planetenebene überquert, den zugehörigen Punkt. Das System ist deterministisch; denn zu jedem markierten Punkt ist der Nachfolger eindeutig bestimmt. Die Poincaré-Abbildung ist diejenige, die zu jedem Punkt auf dem Poincaré-Schnitt den Nachfolger angibt, also Geschwindigkeit und Jahreszeit der nächsten Überquerung.

Die Poincaré-Abbildung reduziert die Anzahl der Dimensionen (in unserem Beispiel interessiert uns die Position des Kometen nicht mehr zu jedem Zeitpunkt) und erleichtert damit die Untersuchung eines dynamischen Systems. Insbesondere kann man in bequem darstellbaren zwei Dimensionen seine wesentlichen Schwierigkeiten aufzeigen. Wir werden im Poincaré-Schnitt ein Labyrinth von so erschreckender Komplexität kennenlernen, daß Poincaré (der sie im Zusammenhang mit einem geringfügig anderen Dreikörperproblem entdeckte) nicht wagte, es zu zeichnen: eine homokline Verflechtung. "Nichts ist besser geeignet, uns eine Vorstellung von der Schwierigkeit des Dreikörperproblems zu geben", schrieb er in "Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste".


Verflochtene Kurven: ein furchterregendes Labyrinth

Die homokline Verflechtung illustriert die chaotische Natur der vielen möglichen Lösungen. Sie besteht (unter anderem) aus zwei Kurven, einer stabilen und einer instabilen, von denen jeder Punkt eine Bewegungsform des Kometen repräsentiert. Wenn man einen Punkt auf der stabilen Kurve auswählt und die Poincaré-Abbildung von diesem Punkt ausgehend immer wieder anwendet (iteriert) – das heißt, den Kometen zu der Jahreszeit und mit der Geschwindigkeit starten läßt, die dem ausgewählten Punkt entsprechen, und zahlreiche Schwingungen des Kometen abwartet –, dann liegen alle so erhaltenen Punkte auf der stabilen Kurve und streben gegen einen bestimmten periodischen Punkt (Bild 2 d). Der Komet nimmt also mit der Zeit eine periodische Bewegung an.

Das gilt jedoch nicht für jede Anfangsbedingung. Startet man den Kometen an einem Punkt der instabilen Kurve, und sei es in unmittelbarer Nähe des periodischen Punktes, so weicht sein Verhalten zunehmend von dem periodischen ab. Aus diesem Grunde wird der perodische Punkt als instabil bezeichnet. Läßt man jedoch von einem Punkt der instabilen Kurve aus die Zeit rückwärts laufen, wendet man also die Umkehrung der Poincaré-Abbildung immer wieder an, dann liegen die erhaltenen Punkte alle auf der instabilen Kurve und nähern sich dem periodischen Punkt.

Diese beiden Kurven schneiden sich unendlich oft. Ihre Schnittpunkte, schrieb Poincaré, "sind ein Gebilde wie Maschendraht, wie Gewebe, wie ein Netz mit unendlich fein zusammengedrängten Fasern. Keine der beiden Kurven schneidet sich jemals selbst, aber jede muß sich auf sehr komplizierte Weise zusammenfalten, um jede Masche des Netzes unendlich oft zu schneiden". Ein solcher Schnittpunkt der stabilen und der instabilen Kurve eines periodischen Punktes heißt homoklin.

Poincaré konnte nun wie folgt argumentieren: Wenn das Dreikörperproblem außer Energie, Impuls und Drehimpuls noch weitere analytische – das heißt durch Formeln mit gewissen Eigenschaften darstellbare – Erhaltungsgrößen hätte, müßten die Punktfolgen der iterierten Poincaré-Abbildung für sämtliche Anfangsbedingungen auf glatten, wohlgeformten Kurven liegen (Kasten Seite 95). Das ist jedoch mit dem Gewirr bei der homoklinen Verflechtung offensichtlich unvereinbar. Also kann kein weiteres Erhaltungsgesetz existieren. Die Folgerung, daß es dann überhaupt keine Lösung des Problems gebe, deren Punktfolge im Poincaré-Schnitt auf einer glatten Kurve liegt, schien den Mathematikern vernünftig. Gleichwohl war sie falsch.


KAM: Ordnung ohne Gesetz

Den ersten Schritt zu einer Widerlegung machte der russische Mathematiker Andrej Kolmogorow (1903 bis 1987). Auf dem Internationalen Mathematiker-Kongreß 1954 in Amsterdam skizzierte er einen Beweis dafür, daß auch ohne weitere Erhaltungsgrößen stabile Bahnen nicht nur möglich, sondern daß unter bestimmten Bedingungen sogar die meisten Bahnen stabil sind.

Der entscheidende Satz, der heute KAM-Theorem heißt, wurde schließlich 1962 von Wladimir Arnold und Jürgen Moser bewiesen. Arnold arbeitet nach langen Jahren in Moskau seit kurzem auch an der Universität Paris-Dauphine, Moser nach ähnlich langem Aufenthalt am Courant-Institut für Mathematik der Universität New York an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich. Ihre Theorie gilt nicht nur für das n-Körper-Problem, sondern allgemein für jedes reibungsfreie ("nicht dissipative") Problem der klassischen Mechanik.

Auch hier wird das dynamische System als gestörte Version eines Hilfssystems aufgefaßt, das seinerseits besser beherrschbar ist, weil in ihm hinreichend viele Erhaltungsgesetze gelten: ein sogenanntes integrables System. Beispiele dafür sind das n-Körper-Problem, bei dem alle bis auf einen Körper masselos sind, und das Billardspiel auf einem kreisförmigen Tisch, das wir im folgenden behandeln. Eine Störung eines solchen Systems – etwa wenn man einem der zunächst masselosen Körper eine bestimmte Masse verleiht – bricht im allgemeinen bestimmte Erhaltungsgesetze. Dennoch, so die KAM-Theorie, sind für hinreichend kleine Störungen die meisten Bahnen stabil. Sie sind zwar nicht mehr periodisch, aber immerhin quasiperiodisch und entfernen sich niemals sehr von den periodischen Bahnen des ungestörten Systems. So wie brave Bürger vor der Fußgängerampel selbst nachts, wenn die Straßen leer sind, geduldig auf Grün warten, scheinen die Bahnen festen Regeln zu folgen, obgleich es solche gar nicht gibt. Andere Bahnen sind chaotisch und unvorhersehbar, und wieder andere bleiben ewig auf einer Insel der Stabilität im Meer des Chaos; durch eine solche Insel ist vermutlich die Stabilität des Jupiter-Saturn-Systems zu erklären.

Im einzelnen sind die Ergebnisse von Arnold und Moser deutlich verschieden. "Es kommt darauf an, eine Iteration zu finden, die so schnell konvergiert, daß man den Gesamteffekt der kleinen Nenner beherrschen kann", schreibt Moser. In seiner Veröffentlichung sind nur Störungen erlaubt, die 333mal differenzierbar sind. Es ist durchaus üblich, daß ein Mathematiker eine Behauptung auf Funktionen beschränken muß, die zum Beispiel zweimal differenzierbar sind, aber die Forderung nach 333facher Differenzierbarkeit ist außergewöhnlich und gibt eine Vorstellung von der Schwierigkeit des Beweises. Kürzlich wurde zwar gezeigt, daß es ausreicht, dreifache Differenzierbarkeit zu verlangen; der Beweis ist allerdings nicht entsprechend einfacher geworden.

Arnolds Beweis hingegen ist einerseits eingeschränkter: Er ist nur auf analytische Störungen anwendbar (das ist noch glatter als unendlich oft differenzierbar). Andererseits gilt er für unendlich viele Dimensionen und nicht nur, wie Mosers Version, für zwei. Weil die Bewegungsgleichungen analytisch sind und das Universum mehr als zwei Dimensionen hat, ist Arnolds Version für die Himmelsmechanik besser geeignet.


Billard auf dem runden Tisch

Die Aussage eines Computer-Experiments ist stets schwächer als ein strenges und allgemeingültiges Resultat wie das KAM-Theorem: Wenn ein Computer Bahnen für lange Zeiträume vorausberechnet, wachsen unvermeidliche Rundungsfehler exponentiell an. Gleichwohl illustriert das Programm "Billiards", das ich (John Hubbard) zusammen mit meinem Studenten Ben Hinkle geschrieben habe, wesentliche Züge des komplizierten Verhaltens, das von der KAM-Theorie erklärt wird. Eine Billardkugel – genauer: ein Massenpunkt – auf einem Tisch mit reflektierenden Rändern ist ein einfacheres dynamisches System als das Dreikörperproblem, enthält aber alle wesentlichen Schwierigkeiten. Seine Untersuchung geht auf Birkhoff und das Jahr 1927 zurück.

Der Spieler gibt einen Billardtisch beliebiger Form durch Eingabe einer Formel vor. Der Computer berechnet sodann den Weg der – reibungsfrei gedachten – Kugel und zeigt einen Poincaré-Schnitt. In diesem Falle sind die speziellen Zeitpunkte, zu denen der Zustand des Systems aufgezeichnet wird, die Momente der Reflexion an der Bande, und die Koordinaten sind die Position x des Reflexionspunktes (den Rand entlang gemessen) sowie der Winkel y zwischen Kugelbahn und Tangente an den Billardtisch an diesem Punkt (Bild 3). In Abweichung vom üblichen Sprachgebrauch sei dieser Winkel als Einfallswinkel bezeichnet. Der Spieler kann – gleichzeitig oder nacheinander – die Bahn der Kugel und deren Spur (die Punktfolge) im Poincaré-Schnitt verfolgen. Für jede Bahn der Kugel ist der durchschnittliche Abstand zweier aufeinanderfolgender Reflexionspunkte (gemessen entlang des Randes), dividiert durch die Gesamtlänge des Randes, eine Zahl zwischen 0 und 1 und heißt die Rotationszahl der Bahn.

Wenn man das Programm "Billiards" auf einem kreisförmigen Tisch spielen läßt, prallt die Kugel jedesmal wieder mit dem gleichen Einfallswinkel auf: Dieser ist eine Erhaltungsgröße. Startet sie beispielsweise im Kreismittelpunkt, bewegt sie sich fortan auf ein und demselben Kreisdurchmesser; fällt sie das erste Mal mit 39 Grad ein, tut sie das auch alle folgenden Male. Falls der Winkel – gemessen in Einheiten des Vollwinkels – eine rationale Zahl ist, trifft die Kugel stets auf die gleichen Punkte auf dem Kreis. Bei einem Einfallswinkel von 1/6 (entsprechend 60 Grad) beschreibt sie ein gleichseitiges Dreieck, so daß drei Punkte auf dem Poincaré-Schnitt immer wieder getroffen werden (Bild 3); die Rotationszahl ist 1/3.

Falls der Einfallswinkel irrational ist, wird die Kugel während ihres unendlichen Laufes jedem Randpunkt beliebig nahe kommen. Im Poincaré-Schnitt sieht man eine waagerechte Gerade entstehen; denn alle x-Koordinaten werden bis auf eine beliebig geringe Abweichung angenommen, während der Einfallswinkel y konstant ist.

Das Spiel wird unterhaltsamer, wenn man den Kreis ein wenig deformiert, also das System stört, um das Erhaltungsgesetz für den Einfallswinkel zu brechen. Wenn der Tisch stark verformt wird, werden die meisten Bahnen der Kugel und damit auch die meisten Spuren im Poincaré-Schnitt chaotisch. Unvergleichlich bizarre Phänomene ereignen sich jedoch, wenn man den Billardtisch nur ein wenig verformt – es muß nicht einmal so wenig sein, daß die Voraussetzungen der KAM-Theorie erfüllt sind; anscheinend gelten deren Resultate noch deutlich über die Grenzen des Beweisbaren hinaus.

Wenn der Spieler bei verformtem Kreis bestimmte Punkte des Poincaré-Schnittes als Startpunkte auswählt, ergibt die Punktfolge chaotisch erscheinende Spuren ohne erkennbare Struktur; dagegen produzieren dicht danebenliegende Startpunkte eine Gruppe voneinander getrennter, über die Ebene verteilter Inseln. Aus großen Gebieten im Poincaré-Schnitt – entsprechend einer Vielzahl von Anfangsbedingungen – erwachsen Schlangenlinien gleich dem Weg eines Betrunkenen, der seine Nüchternheit beweisen will: Das sind die stabilen quasiperiodischen Lösungen, die Poincaré und Weierstraß so intensiv wie vergeblich gesucht hatten.


Rationale Approximationen

Unter den Bildern dieser Poincaré-Schnitte ist keines mathematisch befriedigend erklärt: Es ist unmöglich, alle Spuren vorherzusagen, die sich bei einem Billardtisch mit gegebener Deformation ergeben. Chaotische Bahnen scheinen ganze Gebiete im Poincaré-Schnitt gleichmäßig auszufüllen (oder vielleicht den ganzen Schnitt; selbst das ist schwierig festzustellen), aber wir wissen nicht, ob sie das wirklich tun oder nicht doch irgendeine Struktur haben. In beliebiger Nähe eines Punktes, der eine stabile Spur erzeugt, können Punkte mit chaotischem Verhalten liegen (Spektrum der Wissenschaft, Mai 1994, Seite 29). Trotzdem erklärt die KAM-Theorie zumindest im Prinzip, warum stabile und instabile Bahnen existieren.

Es kommt darauf an, ob eine irrationale Zahl diophantisch, das heißt schlecht durch rationale Zahlen mit kleinen Nennern approximierbar ist (Kasten auf dieser Seite). Eine Bahn ist stabil, wird also kleine Verformungen des Tisches überstehen, wenn ihre Rotationszahl diophantisch ist. Zumindest ist das die Aussage der KAM-Theorie; sie ist durch Computer-Experimente nicht zu bestätigen, denn alle auf dem Computer darstellbaren Zahlen sind rational und deshalb gerade nicht diophantisch.

Für einen kreisförmigen Billardtisch ist die Rotationszahl einer Bahn doppelt so groß wie ihr Einfallswinkel. Jeder Rotationszahl entspricht eine bestimmte Reihenfolge der Reflexionspunkte. Die Aussage, daß Bahnen mit schlecht approximierbarer Rotationszahl Störungen des Systems (in diesem Beispiel Verformungen des Tisches) überstehen, bedeutet, daß man stabile (wenn auch verformte) Bahnen finden wird, auf denen die Reihenfolge der Reflexionspunkte die gleiche ist wie im ungestörten System. Je schlechter approximierbar die Rotationszahl ist, desto stabiler ist die Bahn. Für kleine Verformungen ist es viel wahrscheinlicher, daß man auf eine stabile als auf eine instabile Bahn trifft, denn die meisten Zahlen sind diophantisch. Je größer die Deformation ist, desto mehr stabile Bahnen verschwinden.

Dieses Ergebnis hat wichtige Konsequenzen für Teilchenbeschleuniger. Nicht selten vollführen Protonen in einem Speicherring 1011 Umläufe – schätzungsweise 20mal so viele wie die Erde seit Beginn ihrer Existenz. Die KAM-Theorie hilft den Physikern, Protonen-Speicherringe so zu konstruieren, daß die Teilchenbahnen stabil sind.


Rationale Zahlen und stabile Bahnen

Des weiteren wirft die KAM-Theorie neues Licht auf das Rätsel des Paares Saturn-Jupiter. Ein rationales Verhältnis von Umlaufszeiten – entsprechend einer rationalen Rotationszahl im Billard-Beispiel – kann nämlich seltsame Punktfolgen im Poincaré-Schnitt verursachen. Beim Billard auf einem kreisförmigen Tisch mit Rotationszahl 1/3 wird die Kugel stets an denselben drei Punkten mit demselben Einfallswinkel reflektiert. Das entspricht exakt drei Punkten im Poincaré-Schnitt.

Wenn der Kreis verformt wird, ist eines der möglichen Ergebnisse, daß die Kugel den richtigen Punkt verfehlt, aber nie allzuweit, weil in diesem Falle Abweichungen einen selbstkorrigierenden Effekt haben. Ebenso kann der Einfallswinkel variieren – aber nur in gewissen Grenzen. Im Poincaré-Schnitt zerfließen die zuvor scharf definierten Punkte zu Inseln; der Punkt springt der Reihe nach von einer Insel zur nächsten. Seltsamerweise macht die Deformation des Tisches manche rationalen Rotationszahlen stabiler: Kleine Fehler werden toleriert, so daß man nicht so genau zielen muß.

Lösungen dieser Art sind nicht die einzigen, die von der Theorie vorausgesagt werden. Anders als Bahnen mit schlecht approximierbaren (diophantischen) Rotationszahlen, die von einer kleinen Änderung der Anfangsbedingungen nur wenig betroffen werden, können Punktfolgen, die auf bestimmte Inseln eingeschränkt sind, sehr wohl unmittelbar neben chaotischen existieren, wie Poincaré sie in der homoklinen Verflechtung gesehen hat. Solche chaotischen Bahnen könnten die Kirkwoodschen Lücken im Asteroidengürtel zwischen Mars- und Jupiterbahn erklären: Es gibt keine Asteroiden, deren Bahnen in instabiler Resonanz mit Jupiter wären; wenn es je solche gab, hat ihr chaotisches Verhalten sie längst ins Abseits befördert.


Saturn und Jupiter

Das System, das aus den beiden größten Planeten und der Sonne besteht, ist schwieriger als der deformierte Billardtisch. Nehmen wir der Einfachheit halber an, die ganze Bewegung finde in einer Ebene statt (was von der Realität nicht allzuweit entfernt ist). Dann wird der Zustand des Systems durch acht reelle Zahlen (zwei Orts- und zwei Impulskoordinaten je Planet) oder, geometrisch gesprochen, durch einen Punkt in einem achtdimensionalen Raum beschrieben.

Ein solcher Raum übersteigt unsere Vorstellungskraft. Deswegen beschränken wir uns bei der Beschreibung des Systems auf zwei Koordinaten: die Winkel zwischen der Position jedes Planeten und einer willkürlich gewählten Nullrichtung. Beide Koordinaten können Werte zwischen null und 360 Grad annehmen; demnach wäre der Zustandsraum ein Quadrat, dessen Seiten mit einer entsprechenden Skala versehen sind. Nun ist aber 360 Grad dasselbe wie null Grad, woraus folgt, daß gegenüberliegende Seiten des Quadrats zu identifizieren sind. Es entsteht ein zuckerkringelartiges Gebilde: ein Torus (Spektrum der Wissenschaft, Februar 1985, Seite 6).

Betrachten wir zunächst das ungestörte System, in dem beide Planeten keine Kräfte aufeinander ausüben. Wenn fünf Jupiterjahre zwei Saturnjahren entsprechen, windet sich die zugehörige Bahn zweimal in Längs- und fünfmal in Querrichtung um den Torus und schließt sich dann: Sie ist periodisch (Bild 1 links).

Geben wir den Planeten nun eine geringe positive Masse. (Man könnte einwenden, daß die Masse des Jupiter – immerhin 318mal die der Erde – nicht gerade klein sei, aber im Vergleich zur Sonne ist sie es: Der Schwerpunkt des Sonne-Jupiter-Systems liegt noch innerhalb der Sonne.) Dann bleiben einige der periodischen Bahnen bestehen. Zusätzlich erscheinen quasiperiodische Bahnen; sie liegen auf kleinen Tori um manche der periodischen Bahnen herum (Bild 1 rechts). Diese kleinen Tori entsprechen den Inseln der Stabilität aus dem Billard-Problem. Andere periodische Bahnen werden instabil: Es entstehen Chaos und homokline Verflechtungen.

Möglicherweise befindet sich die Bahn des Saturn-Jupiter-Paares tatsächlich auf einem solchen kleinen Torus: Die Wahrscheinlichkeit dafür ist größer als null. Wenn das der Fall wäre, bliebe das Jupiter-Saturn-System – bei unveränderten sonstigen Bedingungen – auf ewig stabil. Auf einer solchen quasiperiodischen Bahn schwankt das Verhältnis der Umlaufszeiten geringfügig um den Wert 2/5. Wegen dieser Schwankungen ist die Frage sinnlos, ob das Verhältnis zu einem bestimmten Zeitpunkt einen rationalen oder irrationalen Wert habe – womit sich der zitierte Einwand von Weierstraß erledigt hat. (In der Theorie der dynamischen Systeme versteht man unter einer Bahn im allgemeinen den Weg des Punktes, der den Zustand des Systems repräsentiert, im abstrakten Phasenraum; in diesem Sinne gibt es eine Bahn des Jupiter-Saturn-Systems. Eine solche Bahn ist mit einer Bahn im landläufigen Sinn – dem Weg eines Punktes durch den anschaulichen Raum – identifizierbar, wenn nur ein Punkt im Spiel ist und seine Geschwindigkeit nicht eigens betrachtet werden muß.)


Ein Komet nach Maß

Es gibt ausgedehnte Gebiete im Poincaré-Schnitt, in denen Ungewißheit herrscht. Niemand kann voraussagen, welche Punkte in diesen Zonen zu Inseln und welche zum Reich des Chaos gehören. Eine Punktfolge, die chaotisch aussieht, muß es nicht unbedingt sein. Das beschriebene spezielle Dreikörperproblem mit den zwei Planeten und dem masselosen Kometen illustriert eindrucksvoll das chaotische Verhalten.

Wie die Moskauer Mathematiker Wladimir Michailowitsch Alexejew und Kirill Alexandrowitsch Sitnikow gezeigt haben, kann man sich in diesem System einen Kometen mit beliebigem Wiederkehrverhalten zurechtmachen. Es sei eine Folge ganzer Zahlen vorgegeben (alle größer als eine Konstante, die von den Bahndaten der Planeten abhängt), zum Beispiel die Folge 21, 215, 37, 469, 79, 724,... Dann kann man den Startzeitpunkt und die Anfangsgeschwindigkeit des Kometen so wählen, daß er nach jeweils genau so vielen Jahren wiederkehrt und die Ebene durchquert, wie in der Folge angegeben ist, und zu keinem anderen Zeitpunkt. Dabei ist ein Jahr wieder die Umlaufszeit der Planeten.

In unserem Beispiel würde also der Komet nach 21 Jahren wiederkehren, dann nach weiteren 215, und so fort. Falls man beim Start jedoch einen winzigen Fehler macht, hat man verloren: Dann kommt der Komet vielleicht das erste Mal nach 21 Jahren wieder, danach aber nach 50 oder 500 Jahren. Die Bahnen sind höchst instabil.

Sie sind zugleich in hohem Maße steuerbar. Wie Tom Körner in seinem Buch "Fourier Analysis" bemerkt, setzten die Ingenieure des 19. Jahrhunderts Steuerbarkeit mit Stabilität gleich; auch die ersten Flugzeuge waren auf Stabilität konstruiert. Mit einem solchen Flugzeug ist es jedoch schwierig, auf Windböen zu reagieren oder bizarre Manöver im Luftkampf zu vollführen. Nach dem Ersten Weltkrieg, so Körner, "wurden selbst Zivilflugzeuge so gebaut, daß sie nur gerade eben stabil waren oder sogar leicht instabil, weil sie dadurch viel leichter steuerbar wurden".

Über das Sonnensystem hinaus

Die KAM-Theorie gibt unerwartete und verblüffende Antworten auf Fragen der Himmelsmechanik, mit denen sich die Mathematiker lange beschäftigt haben; aber es bleiben Rätsel offen. Fast immer, wenn man Billard spielt, findet man Bahnen, die man nicht versteht. Man würde sie gerne alle vorhersagen können.

Die Bedeutung der Theorie geht indes auch weit über das Sonnensystem hinaus. Indem sie zeigte, daß sich die Systeme der klassischen Mechanik gänzlich anders verhalten, als es den üblichen Ideen entsprach, hat sie die Vorstellungen der Mathematiker und Physiker entscheidend verändert: Im Kampf zwischen Ordnung und Unordnung ist die Ordnung stärker, als man gedacht hatte. Es muß nicht einmal immer ein Gesetz existieren, das Ordnung erzwingt; unter bestimmten Bedingungen ist Stabilität intrinsische Eigenschaft eines Systems.

Bereits 1975 schrieb Jürgen Moser: "Die Entwicklung der statistischen Mechanik hat zu dem Glauben verführt, daß die meisten mechanischen Systeme, zumindest wenn sie aus vielen Teilen bestehen, ergodisch seien, das heißt, daß ihr Verhalten nach hinreichend langer Zeit von den Anfangsbedingungen unabhängig ist. Ein solches Verhalten ist mit Stabilität offensichtlich unvereinbar. Deswegen haben die Physiker im letzten Jahrhundert aus dieser Grundhaltung heraus zu zeigen versucht, daß fast alle mechanischen Systeme instabiles Verhalten zeigen, wenn man nur lange genug wartet. Daß dies für viele reale Systeme nicht der Fall ist, ist nun ... definitiv bewiesen."

Literaturhinweise

- Auszug aus Briefen von C. Weierstrass an Sophie Kowalevski das n-Körperproblem betreffend. Herausgegeben von Gösta Mittag-Leffler in: Acta Mathematica, Band 35, Seiten 29 bis 34, 1912 (dieselben Texte finden sich auch im Briefwechsel Karl Weierstraß – Sofja Kowalewskaja. Herausgegeben von Reinhard Bölling. Akademie Verlag, Berlin 1993).

– Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Von Henri Poincaré in: ‘uvres de Henri Poincaré, Band VII. Gauthier-Villars, 1951.

– Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Von Henri Poincaré. Dover Publications, 1957.

– Problèmes ergodiques de la mécanique classique. Von V. I. Arnold und A. Avez. Gauthier-Villars, 1967.

– Stable and Random Motions in Dynamical Systems. Von Jürgen Moser. Annals of Mathematical Studies, Band 77. Princeton University Press, 1973.

– Fourier Analysis. Von Tom Körner. Cambridge University Press, 1988.

– Hamiltonian Dynamical Systems. Von Robert S. McKay und J. Meiss. Adam Hilger, Bristol und Philadelphia 1987.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 12 / 1994, Seite 86
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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