Direkt zum Inhalt

Differenzialgeometrie: Glatte Fraktale

Man kann einen Teil der Ebene so auf eine autoschlauchförmige Fläche abbilden, dass dabei alle Längen erhalten bleiben. Das erstmals visualisierte Resultat ist das erste bekannte Exemplar einer Familie neuartiger geometrischer Objekte.
Torusförmige Fläche

Eigentlich kennt man den amerikanischen Mathematiker John Nash als Pionier der Spieltheorie und Schöpfer des nach ihm benannten Gleichgewichtsbegriffs. Über dieser Leistung, die ihm 1994 den Wirtschaftsnobelpreis einbrachte, ist ein anderer Geniestreich von ihm fast in Vergessenheit geraten. In den 1950er Jahren entdeckte Nash, dass ein als unlösbar geltendes geometrisches Problem Lösungen im Überfluss hat. Es geht darum, eine "isometrische Einbettung" zu finden, eine Abbildung von der Ebene auf eine gekrümmte Fläche mit der Eigenschaft, dass alle Längen erhalten bleiben.

Ein paar Seiten mathematischer Argumentation genügten Nash, um aus der Unmöglichkeit eine Möglichkeit zu machen und dabei einige vermeintliche Gewissheiten über den Haufen zu werfen. Es gab nur eine ärgerliche Kleinigkeit: Obwohl niemand ernsthaft bezweifelte, dass eine isometrische Einbettung existiert, konnte niemand sie sich vorstellen, und deswegen verstand auch niemand sie richtig. Dank einer Kombination von Mathematik und Informatik ist es uns gelungen, diese Lücke zu schließen. Das Resultat ist eine Fläche von ganz neuem Typ; wir haben sie als glattes Fraktal bezeichnet, weil sie über gewisse Eigenschaften eines Fraktals verfügt.

Unsere Arbeit stützt sich auf eine Theorie namens "konvexe Integration", die der russisch-französische Mathematiker Mikhail Gromov entwickelt hat. Unter anderem von Nashs Arbeiten inspiriert, liefert sie ein mächtiges Werkzeug zur Lösung zahlreicher Probleme aus dem Grenzbereich von Geometrie und Analysis. Sie ist so abstrakt formuliert, dass irgendwelche Anwendungen undenkbar schienen; dem ist jedoch nicht so, wie wir zeigen konnten. Gromovs Theorie erlaubt es, sehr konkret gewisse Klassen von partiellen Differenzialgleichungen zu lösen – das sind solche, deren Unbekannte Funktionen mehrerer Veränderlicher sind. ...

Kennen Sie schon …

Spektrum Kompakt – Pi ist überall - Die fabelhafte Welt der Mathematik

Häufiger als man denkt, schleicht sie sich in unseren Alltag ein: Die Kreiszahl Pi spielt nicht nur eine Rolle bei runden Flächeninhalten, sondern auch bei Lebenssimulationen, Streichhölzern oder Billardspielen - und obwohl sie seit jeher fasziniert, wirft ihr Vorkommen noch immer Fragen auf.

Spektrum Kompakt – Topologie - Wie abstrakte Mathematik unsere Welt prägt

Was unterscheidet eine Tasse von einem Donut? Nichts - aus Sicht der Topologie. Denn die beiden Formen lassen sich ohne Zerreißen ineinander umwandeln. Nur ein abstraktes Konzept? Nein: Die mathematische Disziplin dient Physikern dazu, die exotische Welt der topologischen Materialien zu beschreiben.

Schreiben Sie uns!

1 Beitrag anzeigen

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Zuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Zuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmende sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Zuschriften können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.