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Zahlentheorie: Ein Fundament für Polynome

Nach mehr als 100 Jahren harter Arbeit ist es Mathematikern nun gelungen, die Grundbausteine spezieller Zahlensysteme zu finden - aber sie sind völlig anders als erwartet.
legobausteine

Der Bau mittelalterlicher Kathedralen erforderte einen langen Atem: Über mehrere Generationen hinweg errichteten Handwerker verschiedene Strukturen, an denen ihre Nachfolger weiter anknüpften, bis das architektonische Meisterwerk irgendwann vollendet war. Ähnlich verhält es sich bei den interessantesten Fragestellungen der Mathematik. Hier kommt ebenfalls die jahrzehntelange Arbeit zahlreicher Fachleute zum Tragen, die nach und nach die wesentlichen Konzepte entwickeln, aus denen sich schließlich eine Lösung zusammensetzt.

Aufgaben dieser Art stellte der renommierte Mathematiker David Hilbert (1862-1943) in seiner berühmten Jahrhundertrede im Jahr 1900 vor dem internationalen Mathematikerkongress in Paris vor. Dort präsentierte er eine Liste mit 23 ungelösten bedeutenden Problemen, von denen er hoffte, sie würden die Forschung des 20. Jahrhunderts inspirieren. Tatsächlich haben es einige seiner Fragen bis in unsere Zeit geschafft: Sie treiben auch heute noch die mathematische Arbeit voran – unter anderem, weil Hilbert manche Zusammenhänge absichtlich vage formulierte. »Es war eine Art Geniestreich, die Fragen offen zu lassen«, sagt Henri Darmon von der McGill University in Montreal. »Diese wirklich schwierigen Aufgaben stellen eine Art Leitlinie für das Fach dar.«

Kurz bevor Hilbert seine Auswahl bekannt gab, entdeckten seine Kollegen die Bausteine für eine bestimmte Sammlung von Zahlen. Das bildete die Grundlage für das zwölfte Problem auf der berühmten Liste: Gibt es auch ein Fundament für Zahlensysteme jenseits der bereits untersuchten? …

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  • Quellen

Dasgupta, S., Kakde, M.: Brumer-Stark Units and Hilbert's 12th Problem. ArXiv: 2103.02516, 2021

Dasgupta, S. et al.: Hilbert modular forms and the Gross-Stark conjecture. Annals of Mathematics 174, 2011

Dasgupta, S. et al.: On the Gross–Stark Conjecture. Annals of Mathematics 188, 2018