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Heidi oder der merkwürdige Attraktor

Die Beziehungen zwischen Mathematik und Biologie sind kompliziert. Sie verlaufen meistens nicht über hübsch Anzusehendes, das auf den ersten Blick zusammenzupassen scheint, sondern sind abstrakt und nicht immer einfach herzustellen.

Heidi stieg an der Hand des Türmers viele, viele Treppen hinauf; dann wurden diese immer schmaler, und endlich ging es noch ein ganz enges Treppchen hinauf, und nun waren sie oben. Der Türmer hob Heidi vom Boden auf und hielt es an das offene Fenster. "Da, jetzt guck' hinunter", sagte er.

Heidi sah in ein Meer von Dächern, Türmen und Schornsteinen nieder; es zog bald seinen Kopf zurück und sagte niedergeschlagen: "Es ist gar nicht, wie ich gemeint habe."

Johanna Spyri

"Heidi"

Noch etwas knieweich stieg ich im Inneren des Pariser Triumphbogens aufwärts. Meine Gastgeberin hatte mich mit ihrem kleinen Auto so temperamentvoll über diese riesengroße Place Charles de Gaulle befördert, daß ich um mein Leben gefürchtet hatte. Wie kam man nur heile durch dieses Chaos (Bild 1)? "C'est tout simple", hatte sie gesagt, "il faut viser – et alors tirer!" ("Zielen – und dann zustoßen!")

Nach diesem Erlebnis konnte ich der langweiligen Regelmäßigkeit einer Treppe etwas abgewinnen. Fast hätte man meine Bewegung periodisch nennen können, wenn ihr nicht eine – annähernd – lineare Aufwärtsbewegung überlagert gewesen wäre.

Ich war noch in Gedanken mit dem Lobpreis des Vorhersagbaren beschäftigt – da geschah das Unvorhersagbare! Kaum trat ich auf der oberen Plattform des Triumphbogens ins Sonnenlicht, erblickte ich eine Unbekannte – und konnte meine Augen nicht von ihr lassen.

Wenn es einem auf eine Unbekannte ankommt, gibt man ihr zunächst einen Namen ("Sei x die gesuchte reelle Zahl..."). Ich nannte sie im stillen Heidi, weil sie mit so kindlich großen, zugleich ängstlichen und mißbilligenden Augen auf das Gewühl da unten blickte. Offensichtlich hatte sie soeben Ähnliches erlebt wie ich, und das half mir, meine Schüchternheit zu überwinden und sie anzusprechen.

Straßenverkehr ist nicht gerade ein naheliegendes Thema, wenn es darum geht, eine neue Bekanntschaft zu knüpfen; aber ehe wir es uns versahen, waren wir in ein intensives Weltverbesserungsgespräch vertieft. Sie fand das Chaos noch viel schrecklicher als ich und meinte, es müßte sich doch Ordnung in die Sache bringen lassen. Ob man denn nicht einfach Fahrspuren und Richtungspfeile auf den Asphalt pinseln könne?

"Das hilft nicht viel", entgegnete ich und beeilte mich, das Problem ebenso grundsätzlich zu sehen wie sie. "Du denkst doch an Pfeile, die dem Autofahrer an jedem Punkt des Platzes vorschreiben, welche Richtung er einhalten soll?"

"Ja."

"Und zwar so, daß nie zwei Pfeile aus verschiedenen Richtungen auf denselben Punkt weisen oder von einem Punkt in verschiedene Richtungen ausgehen?"

"Ja sicher. Es geht doch darum, Zusammenstöße zu vermeiden."

"Dann hätten die Autofahrer aber keine Wahl mehr, auf welcher Straße sie den Platz verlassen wollen."

"Wieso?"

"Na ja, der Weg eines Autos ist eine Kurve auf dem Platz, und ein Richtungspfeil schreibt eine Tangente an eine solche Kurve vor. Wenn es an jedem Punkt des Platzes eine solche Vorschrift gibt, und du kommst mit dem Auto an irgendeiner Stelle auf den Platz, dann gibt es höchstens eine Kurve, der das Auto unter Einhaltung der Vorschrift folgen kann."

Sie schaute mich auf einmal so merkwürdig von der Seite an. Leicht verunsichert fuhr ich fort: "Man könnte natürlich schon auf den Zufahrtsstraßen Einordnungsspuren festlegen und Richtungspfeile über den ganzen Platz ziehen, so daß sich die Fahrzeuge je nach Einfahrtsspur auf die verschiedenen Ausfahrtsstraßen verteilen. Aber wenn man das für jede Zufahrtsstraße macht, sind Überkreuzungen von Fahrwegen nicht vermeidbar, und das widerspricht der Eindeutigkeit des Vektorfeldes."

"Was ist denn ein Vektorfeld?"

"An jedem Punkt eine Richtungsvorgabe – eigentlich auch eine Geschwindigkeitsvorgabe, aber darauf kommt es hier nicht so an. Autos, die so einem Vektorfeld folgen und sich nicht beliebig weit entfernen, fahren entweder auf ewig im Kreis herum, oder sie nähern sich einem Punkt und bleiben dort stehen."

Heidi runzelte irritiert die Stirn. "Was soll das? Stoßen die zusammen, oder was meinst du?"

"Nein, das Vektorfeld ist ja stetig. Wenn die Autos sich also einem stationären Punkt nähern, werden sie vorher beliebig langsam. Und außerdem sind sie punktförmig..."

Ein gequälter Blick brachte mich zum Schweigen. Ich wollte schon fragen, ob ihr schlecht sei, aber sie kam mir zuvor: "Bist du Mathematiker?"

"Ja."

"Ach so."

Was sollte man dazu – und zu dem resignierten Gesichtsausdruck – noch sagen? Verlegenes Schweigen.


Populationsdynamik und Kreisverkehr

Heidis Züge entspannten sich wieder; sie schloß die Augen, ließ sich die Sonne aufs Gesicht scheinen und strahlte, als dächte sie an etwas sehr Schönes.

"Wovon träumst du?" fragte ich.

"Von einer einsamen Insel..."

Meine Phantasie schlug Purzelbäume. Südsee, Palmen, Sonne, Heidi und ich...

"Neufundland vor der Ostküste Kanadas", fuhr sie fort. "Sehr einsam. Über die Hälfte der Insel besteht aus Tundra, Mooren und Sümpfen. Ungefähr drei Monate im Jahr sind frostfrei."

"Ah ja."

"Sehr interessant."

"Meinst du?"

"Ja. Es gibt nämlich nur sehr wenige Säugetierarten dort."

Sie ließ sich durch meinen fragenden Gesichtsausdruck nicht beirren und fuhr fort: "Den Arktischen Schneehasen, den Schneeschuhhasen, das Karibu – eine Rentierart –, den Luchs und ein paar andere, auf die es nicht so ankommt. Über die Jahre hinweg findet man sehr regelmäßige Schwankungen in der Anzahl der Tiere. Jedesmal, wenn die Schneeschuhhasen sehr zahlreich sind, gibt es im Jahr darauf sehr viele Luchse, und die Schneeschuhhasen werden weniger. Daraufhin nimmt auch die Anzahl der Luchse wieder ab, und so weiter. Ungefähr alle zehn Jahre wiederholt sich die ganze Geschichte ziemlich genau, und die Karibus und die Arktischen Schneehasen folgen der Schwankung mit leichter Verzögerung. Und das Interessanteste: Wenn man im Frühjahr die toten Karibukälber untersucht, findet man, daß die meisten vom Luchs gebissen wurden" (siehe "Die Populationsdynamik von Räuber und Beute" von Arthur T. Bergerud, Spektrum der Wissenschaft, Februar 1984, Seite 46).

"Und du begeisterst dich also dafür, im eiskalten Neufundland tote Karibukälber zu sezieren?"

"Ja sicher. Wir wissen inzwischen, daß gewisse eiternde Abszesse..."

"Bist du Biologin?"

"Ja."

"Ach so."

Wieder verlegenes Schweigen. Ich suchte verzweifelt nach einem gemeinsamen Thema.

Plötzlich fiel mir ein naheliegender Anknüpfungspunkt ein. "Aber das ist doch genau dasselbe wie mit den Autos im Kreisverkehr!"

Das konnte sich Heidi nun gar nicht vorstellen.

"Du hast doch selber gesagt", fuhr ich fort, "daß es im wesentlichen nur auf die Luchse und diese Häschen ankommt."

"Den Schneeschuhhasen Lepus americanus bitte – wohl zu unterscheiden vom Arktischen Schneehasen Lepus arcticus. Aber ansonsten stimmt das."

"Na schön. Dann nennst du die Anzahl der Luchse x und die Anzahl der Hasen y und zeichnest den Punkt (x,y) in ein Koordinatensystem."

"Ach so." Wieder dieser gequälte Blick.

"Der Zustand deines Systems ist also ein Punkt in der Ebene – oder zwei reelle Zahlen, was auf dasselbe hinausläuft. Die Änderung dieses Zustandes ist auch nicht schwer. Ich denke, Luchse fressen Hasen, aber Hasen keine Luchse."

"Wie scharfsinnig."

"Und wenn die Hasen nicht gefressen werden, vermehren sie sich wie die Karnickel."

"Nein. Da gibt es entscheidende Unterschiede im Balzverhalten."

"Ich meine doch bloß, daß ihr Zuwachs ihrer Anzahl proportional ist. Zu jedem Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung der Anzahl proportional dieser Anzahl selbst."

"Zeitliche Ableitung?"

"Ja. Die übliche Sache. y(t+h) minus y(t), geteilt durch h. Und dann den Grenzwert für h gegen null."

"Meinst du Hasen heute weniger Hasen gestern, geteilt durch einen Tag, das sind dann soundsoviel neugeborene Hasen pro Tag?"

"Genau. Und außerdem hängt y stetig von t ab, also strebt y(t+h) gegen y(t), wenn h gegen null strebt, also werden Zähler und Nenner des Bruches beliebig klein, und dann kommt es darauf an, ob der Grenzwert des Quotienten..."

"Beliebig klein? Wie stellst du dir das vor? Millihasen pro Sekunde?"

"So ungefähr."

Vernichtender Blick. "Ich wußte es doch. Mathematik ist doof. Ein Hase wird entweder geboren oder nicht. Ein bißchen schwanger gibt es nicht!"

"Ach, das darfst du alles nicht so wörtlich nehmen. Stell dir einfach vor, es gebe sehr viele Hasen, dann kommt es auf das einzelne Tier nicht mehr so an. Man sieht nicht so genau, ob sich y kontinuierlich oder stufenweise ändert."

"Na schön. Aber wozu macht man sich so abwegige Gedanken?"

"Weil man dann alle Einflüsse durch mathematische Terme beschreiben kann: Vermehrung, Tod durch Verhungern oder durch Gefressenwerden, erhöhte Vermehrung durch Fressen..."

"Aber vom Fressen kriegt ein Hase normalerweise keine Jungen."

"Nein, nein, indirekt. Wenn die Nahrung reichlich ist, werden mehr Kinder ausgetragen."

"Na gut. Das stimmt ja. Aber es hängt doch auch vom Zufall ab, ob ein Luchs einen Hasen erwischt oder nicht. Wie kannst du dann so genau sagen, wie viele tausendstel Luchse pro Sekunde durch Hasenfressen mehr geboren werden?"

"Kann ich eigentlich nicht. Aber meistens gleichen sich solche Zufallseffekte bei großen Anzahlen wieder aus. Deswegen kann man mit großer Genauigkeit sagen, daß man nur den gegenwärtigen Zustand kennen muß, um zu wissen, wie es weitergeht. Das nennt man eine Differentialgleichung: zu jedem Zustand eine Angabe, wie dieser Zustand sich in der nächsten kurzen Zeit verändern wird. Oder geometrisch: zu jedem Punkt in der Ebene ein Richtungspfeil."

Man konnte deutlich sehen, wie Heidi innerlich schwankte. Sollte sie meine Sprüche wirklich für voll nehmen? Immerhin schien sie bereit, vorläufig mitzudenken. "Wenn jetzt wenig Luchse und viele Hasen da sind, dann ist x klein und y groß, also ist der Zustand ein Punkt links oben im Koordinatensystem. In diesem Falle haben die Luchse reichlich zu fressen und werden mehr, und die Hasen entsprechend weniger. Also hängt an diesem Punkt ein Pfeil, der nach rechts unten zeigt."

"Genau. Statt Pfeil sagt man meistens Vektor, und die Gesamtheit aller Pfeile heißt Vektorfeld. Aber das ist nur ein anderer Name."

"Und was habe ich jetzt davon?"

"Vielleicht eine Lösung der Differentialgleichung. Das wäre dann eine Voraussage über das Verhalten der Populationen. Oder zumindest eine allgemeine Vorstellung davon."

"Ja, wie denn? Gibt es nicht immer eine Lösung der Gleichung?"

"Doch. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für das Anfangswertproblem bei autonomen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit lipschitzstetiger rechter Seite..."

Wieder dieser gequälte Blick. Ich verschluckte schnell den Rest des Satzes und sagte: "Es gibt so ziemlich immer eine Lösung, aber meistens kann man sie nicht in Formeln ausrechnen. Es geht darum, von einem gegebenen Ausgangspunkt eine Kurve so in die Ebene zu legen, daß ihre Tangente in jedem Punkt mit dem Richtungspfeil in diesem Punkt übereinstimmt."

"Ach so. Wie wenn man mit dem Auto den Richtungspfeilen folgen müßte. Das ist doch nicht so schwer."

"Etwas schwerer ist es schon. Du mußt dir einen solchen Pfeil an jedem Punkt vorstellen. Das heißt, wenn du einer Vorschrift ein beliebig kurzes Stück gefolgt bist, gilt schon wieder eine andere. Aber wenn die Vorschriften sich von einem Punkt zum anderen nicht abrupt ändern, dann geht es."

"Und was für Kurven gibt es dann?"

"Das kommt darauf an. Stell dir vor, alle Pfeile zeigten auf einen bestimmten Punkt. Dann würden alle Kurven ebenfalls auf diesen Punkt zulaufen, so als würde das Auto – oder was auch immer – durch eine Kraft von dem Punkt angezogen. Wenn man die Kurven zeichnet, ergibt sich ein Stern von Linien, ähnlich den Kraftlinien eines Magneten. Der Punkt heißt dann ein Attraktor" (Bild 2 unten).

"Aber es geht doch keine Kraft von dem Punkt aus."

"Muß nicht sein", antwortete ich und versuchte eine vielsagende Bemerkung anzufügen: "Man kann sich ja auch zu irgend jemandem hingezogen fühlen, ohne daß dieser Jemand zieht."


Attraktoren und Stoppschilder

"Na klar", ertönte es auf einmal von der anderen Seite. "Mücken zu einer Stra-ßenlaterne. Oder die Rotseitige Strumpfbandnatter. Kaum schlüpft eine weibliche Schlange aus der Höhle, verströmt sie ein Pheromon, und die Männchen stürzen sich zu Hunderten auf sie, um sich mit ihr zu paaren" (Spektrum der Wissenschaft, Januar 1983, Seite 86).

Anscheinend war Heidi zusammen mit einer Kollegin in Urlaub. Irgendwie war mir das Thema gerade nicht so recht, und ich suchte nach einem anderen Beispiel. "Stell dir vor, du bist soeben aus der Metro gestiegen und suchst nach einem Ausgang. Dann wirst du dem nächsten Schild Sortie folgen, das du siehst. Das Schild kannst du als Attraktor auffassen – nicht ganz, denn du bleibst nicht bei dem Schild stehen, aber vorläufig."

"Es gibt aber meistens mehrere Ausgänge."

"Dann hat das Vektorfeld, das deine Bewegung beschreibt, mehrere Attraktoren. Oder denk dir eine Hügellandschaft und an jedem Punkt einen Pfeil, der in die Richtung weist, wo es am steilsten abwärts geht. Das gibt auch ein Vektorfeld. Eine Kugel, die diese Landschaft bergab rollt, folgt einer Lösungskurve der Differentialgleichung. Und jeder Punkt, wo sie liegenbleiben könnte, weil es in seiner Umgebung nirgends weiter abwärts geht, ist ein Attraktor."

"Und wenn man sie ganz vorsichtig auf einen Gipfel legt?"

"Dann bleibt sie theoretisch auch liegen. Der Gipfel ist ein stationärer Punkt, aber kein Attraktor. Denn wenn man sie ein wenig anstößt, läuft sie davon."

"Na schön. Aber wenn die Kurve auf den Attraktor zuläuft, tut sie das auf dem kürzesten Wege?"

"Nicht unbedingt. Es ist durchaus denkbar, daß die Pfeile nicht direkt auf den Attraktor weisen, sondern mit einer gewissen Winkelabweichung. Dann läuft die Kurve spiralförmig auf ihn zu. Wenn man den Winkel bis auf 90 Grad vergrößert, werden aus den Spiralen konzentrische Kreise."

"Was du nicht sagst."

"Ja. Kreis ist, wenn du immer senkrecht zu der Richtung auf einen bestimmten Punkt läufst."

"Aha."

"Oder auswärts durchlaufene Spiralen, nach außen laufende Strahlen – all diese Kurvenscharen gewinnt man aus einer einzigen Formel, indem man nur den Winkel variiert" (Bild 2).

"Sag mal – was für ein Pfeil hängt eigentlich an diesem attraktiven Mittelpunkt?"

"Ein Pfeil der Länge null. Ein Stoppschild sozusagen."

"Und wenn alle Pfeile von ihm wegweisen?"

"Auch ein Stoppschild."

"Also gibt es anziehende und abstoßende Stoppschilder?"

"Sozusagen. Es gibt auch solche, die sind von der Seite anziehend, aber von vorne und hinten abstoßend, wie ein Paß im Gebirge. Oder es wechseln sich ringsum viele anziehende und abstoßende Bereiche ab."

Heidi schaute mich von der Seite an, als zweifele sie an meiner geistigen Gesundheit. Dabei wäre es gar nicht so schwer gewesen, den Winkel beispielsweise zwischen z und u(z)=z3 in der Umgebung des Nullpunkts auszurechnen und festzustellen, daß er tatsächlich abwechselnd kleiner und größer als 90 Grad ist.

"Das ist aber komisch", sagte Heidi. "Was machen denn dann die Lösungskurven?"

"Sie entspringen aus dem kritischen Punkt..."

"Aus dem was?"

"...aus dem vielseitigen Stoppschild, und zwar in einer abstoßenden Richtung, machen irgendwo draußen wieder kehrt und kommen in einer anziehenden Richtung wieder zum selben Punkt zurück – wenn es nicht noch andere Stoppschilder gibt. Das sieht am Ende aus wie eine Blüte mit entsprechend vielen Blütenblättern" (Bild 5 rechts unten).

Da horchten die Biologinnen auf einmal auf. Ich ergriff die Gelegenheit und brachte noch ein Beispiel: "Es gibt auch Kurvenscharen, die sehen aus wie Schneckenhäuser oder wie das Muster der Samen in einer Sonnenblume" (Bilder 3 und 5).

"Ja – wachsen denn die Blätter und die Schneckenhäuser nach solchen Bildungsgesetzen?"

So ein Ärger. Das war genau die Frage, die nicht kommen durfte.

Es gibt mathematische Formeln, aus denen eine Fülle schön anzusehender Figuren entsteht, darunter auch solche, die an biologische Gestalten erinnern. Nur gibt es keinen direkten Zusammenhang zwischen der mathematischen und der ebenso aussehenden biologischen Form. Nicht daß man zur Gestalt eines Schneckenhauses keine Mathematik treiben könnte – aber die ist dann nicht von so einfacher Art wie ein Vektorfeld in der Ebene.

Gewöhnliche Differentialgleichungen sind andererseits ein zentrales Thema der Mathematik, und man kann gerade aus der Gestalt der zweidimensionalen Vektorfelder und ihrer Lösungskurven viel lernen. Sie taugen als Beispiele für viel kompliziertere und unübersichtlichere Systeme – aber eben nicht, weil sie hübsch anzusehen wären. Deshalb ist mit schönen Bildern innerhalb der Mathematik auch nicht viel Ruhm zu ernten.

So ist es bezeichnend, daß die reichhaltigsten Sammlungen solcher Bilder nicht von Fachmathematikern stammen, sondern von Wilhelm Scharnowell (1922 bis 1991), der Ingenieur in Dortmund war, sowie von Friedrich Zauner, Oberstudienrat im Ruhestand in Villach (Österreich), und seinem Sohn Erhard Zauner. Aus der großen Menge der Bilder, die sie in jahrzehntelanger Handarbeit hergestellt haben, kann hier nur eine sehr kleine Auswahl gezeigt werden.

Genau die Beziehung zwischen der Mathematik und dem Lebendigen, die man so gerne sehen möchte, die es aber auf der Basis der beiden Wissenschaften nicht gibt, knüpfen Zauner und Scharnowell, interpretierend und Analogien ziehend, mit Hilfe einer Weltanschauung, die in vielerlei Hinsicht quer zum naturwissenschaftlichen Denken liegt: der Anthroposophie des Philosophen Rudolf Steiner (1861 bis 1925). Scharnowell hat eine Übersicht seiner Zeichnungen (Bild 3) so kommentiert:

Das Geschehen links und rechts der Mittelsenkrechten wird von der Rechts- und Links-Drehung, also von einer Rechts-Links-Polarität bestimmt... [Auch] in der menschlichen Gestalt finden wir Links-Rechts-Polarität, nämlich als die Links-Rechts-Spiegelsymmetrie... Ober- und unterhalb der "Stern-Linie" wird das Bildgeschehen von der Auswärts-Einwärts-Polarität bestimmt. Ausdruck dafür sind die auswärts- und einwärtswölbenden Formen. Beim Menschen kommt diese Polarität ober- und unterhalb der Herzlinie zum Ausdruck in dem Sinnes-Nerven-Menschen (mit seinem Mittelpunkt im Kopfe) und dem Stoffwechsel-Gliedmaßen-Menschen (mit seinem Zentrum im Unterleib). Im oberen Teil finden wir die Tendenz der auswölbenden Formen im Schädel mit seiner umhüllenden Knochenbildung repräsentativ dargestellt, im unteren Teil die Kelch-Geste des sich nach außen Öffnens in der Form der Leibeshöhle mit dem Organ der Nahrungsaufnahme, sowie den nach außen offenen Ausscheidungs- und Reproduktionsorganen.

Ich versuchte vorsichtig, Heidi einiges davon schmackhaft zu machen, bemerkte dazu, daß es bei mir zu Hause wirklich viele hübsche solcher Bilder zu besichtigen gebe, und fragte, ob sie mich nicht einmal besuchen wolle.

Sie wollte noch nicht einmal meine Adresse wissen. Statt dessen kam sie auf das Tierleben von Neufundland zurück, und ich versuchte darauf einzugehen.

"Stell dir vor, eine der Kurven zu dem Vektorfeld in der Luchse-Hasen-Ebene ist in sich geschlossen."

"Wieso?"

"Stell es dir doch erst einmal vor. Der Beweis kommt hinterher."

"Na gut. Aber laß mich mit so etwas Ekligem wie einem Beweis zufrieden."

"Na gut. Eine geschlossene Kurve zerlegt die Ebene in ein Inneres und ein Äußeres, und keine Kurve, die zu dem Vektorfeld gehört, kann vom Inneren ins Äußere wechseln oder umgekehrt."

"Wieso?"

"Kurvenscharen zum selben Vektorfeld können sich nie überkreuzen, sonst gäbe es ja im Kreuzungspunkt zwei verschiedene Tangenten. Wer also außerhalb einer geschlossenen Kurve ist und dem Vektorfeld folgt, kommt nie ins Innere."

"Und wenn da ein Attraktor sitzt?"

"Bekommt ein Punkt im Äußeren nichts davon mit. Attraktivität ist eine Eigenschaft, die nur in unmittelbarer Nähe des Attraktors spürbar sein muß."

Heidi rückte ein Stück von mir ab.

"Aber möglicherweise ist die ganze geschlossene Kurve ein Attraktor."

"Wie soll das gehen?"

"Die Lösungskurve schlingt sich in einer immer enger werdenden Spirale um den Attraktor, bis sie schließlich nicht mehr von ihm zu unterscheiden ist. So wie eine Kugel, die in eine kreisförmige Rinne gerät. Wenn die Reibung nicht wäre, würde sie auch ewig umlaufen."

"Das ist doch wie beim australischen Kurzschnabeligel", ließ sich wieder Heidis Kollegin vernehmen (siehe "Fortpflanzung des australischen Ameisenigels" von Peggy D. Rismiller und Roger S. Seymour, Spektrum der Wissenschaft, April 1991, Seite 96). "Die Männchen umrunden ein paarungsbereites Weibchen und graben auf die Dauer eine kreisförmige Furche. Dort laufen sie um, bis eines von ihnen im Gerangel die Oberhand gewinnt und..."

Ich versuchte das Thema zu wechseln. "Das sieht zwar so ähnlich aus, nur fürchte ich, daß man da mit Vektorfeldern nichts erklären kann. Aber wenn es in einem Gebiet der Ebene keinen kritischen Punkt gibt und am Rande des Gebiets kein Pfeil nach außen zeigt, dann muß jede Lösung gegen eine in sich geschlossene Kurve streben."

"Ja und?"

"Das könnte interessant sein. Wenn alle Pfeile gegen einen Punkt streben, nimmt das System auf die Dauer diesen Zustand an, einerlei in welchem Zustand es vorher war oder durch welche Eingriffe es gestört wurde. Die Anzahl der Tiere bleibt dann auf die Dauer unverändert. Wenn die Kurve aber keinen solchen stabilen Gleichgewichtszustand erreichen und auch nicht ins Unendliche verschwinden kann, muß sie sich irgendwie über die Luchse-Hasen-Ebene winden."

"Aber das gibt ja wildes Gekritzel."

"Eben nicht. Die Kurve darf sich ja nicht selbst überkreuzen. Sie kann sich auch nicht an sich selbst anschmiegen, obgleich dann die Tangenten gleich wären. Aber das ist kompliziert. Es stellt sich heraus, daß es eine in sich geschlossene Kurve geben muß. Und das ist eine periodische Lösung, denn der Zustand durchläuft diese Kurve immer wieder."

"Ach, deswegen wiederholt sich alle zehn Jahre das Wechselspiel von Luchs und Hase?"

"Sozusagen."

"Das ist aber sonderbar. Du erzählst mir die absurdesten Geschichten über beliebig kleine Hasenbruchteile pro Sekunde, unterstellst, der Zufall spiele keine Rolle, langweilst mich bei der schönsten Pariser Sommersonne mit Richtungspfeilen, die man nicht sehen kann, und Punkten, die nur von der Seite attraktiv sind, und am Ende des ganzen Unfugs kommt etwas heraus, das stimmt?"

"Das ist gar nicht so verwunderlich. Die Natur stimmt zwar nur ungefähr mit der mathematischen Theorie überein..."

"Andersrum..."

"...aber in diesem Falle ist die periodische Lösung auch noch stabil, das heißt, nach einer nicht zu großen Störung kehrt das System zum periodischen Verhalten zurück. Wenn also ein Hase außerplanmäßig dem Luchs entwischt, hat das auf die Dauer keine dramatischen Wirkungen."

"Und wenn man viele Hasen zusätzlich aussetzt in dem Moment, wo es mit den Hasen gerade aufwärts geht?"

"Dann ist das nächste Hasenmaximum etwas ausgeprägter, und der ganze nächste Zyklus hat heftigere Ausschläge, aber auf die Dauer pendelt das System sich wieder ein."

"Und wenn man dasselbe etwas später macht, wenn die Luchse gerade besonders stark sind?"

"Dann geht es den Hasen verschärft an den Kragen. ,Wer zu spät kommt, den bestraft das Leben.' Aber im Prinzip gilt das gleiche wie im ersten Falle."

"Heißt das, man kann ausrechnen, ob ein Ökosystem stabil ist?"

"Im Prinzip ja – vorausgesetzt, die Wirklichkeit kommt dem mathematischen Modell hinreichend nahe."

"Könnt ihr Mathematiker denn nicht einfach von der Wirklichkeit ausgehen?"

"Ungern. Sie ist so kompliziert. Es ist einfacher, sich erst eine Theorie zurechtzubasteln und sie dann der Realität anzupassen."

"Und wenn mehr als zwei Tierarten beteiligt sind?"

"Dann wird es wieder schwierig. Der Satz von der stabilen periodischen Lösung gilt nur in zwei Dimensionen. Es ist wie mit dem n-Körper-Problem in der Himmelsmechanik: Eine Sonne und ein Planet bewegen sich auf stabilen Bahnen; aber sowie ein dritter Körper hinzukommt, droht das Chaos."

Heidis Kollegin kam hinzu und erzählte uns in allen Einzelheiten, wie zwei männliche Kurzschnabeligel sich um ein Weibchen zu balgen pflegen. Na ja, Heidi hätte sich wahrscheinlich ohnehin nicht dafür interessiert, wie merkwürdig ein Attraktor in drei Dimensionen aussehen kann – weder flächenhaft noch körperlich, sondern irgendwie dazwischen, wie der populär gewordene, schmetterlingsförmige Lorenz-Attraktor. Immerhin werden solche Mengen auch im Fachjargon als strange (fremdartig, merkwürdig) bezeichnet.

Aber während ich mich noch über den Kurzschnabeligel belehren ließ, war Heidi plötzlich verschwunden. Vielleicht hatte sie gefürchtet, sich noch mehr Mathematik anhören zu müssen. Ich lief treppab und weiter unter die Erde bis zur Metrostation – da sah ich, wie sie gerade in eine Untergrundbahn einstieg und sich die Türen schlossen...

Die Pariser Metro ist ein typischer Fall von periodischer Lösung des Nahverkehrs-Transportproblems. Damit die Lösung stabil bleibt und nicht eilige Leute im letzten Moment die Abfahrt aufhalten, gibt es diese automatischen Sperren an den Bahnsteigen. So verhindert man, daß eine Störung das System allzusehr beeinflußt.

Also stand ich auf dem Bahnsteig herum und überlegte mir, daß ich eine Störung eines periodischen Systems war, die zur Unzeit eintraf. Wer zu spät kommt...

Literaturhinweise

- Theory of Ordinary Differential Equations. Von Earl A. Coddington und Norman Levinson. McGraw-Hill, 1955.

– Differentialgleichungen und ihre Anwendungen. Von Martin Braun. 2. Auflage. Springer, Heidelberg 1991.

– Von Krebsen und Kriminellen. Von Edward Beltrami. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1993.

– Schaubilder komplexer Funktionen. Von Wilhelm Scharnowell. Selbstverlag, Dortmund 1983; über Fernleihe erhältlich.

– Schaubilder komplexer Funktionen. Quell- und Formkräfte, Teil 1. Von Friedrich und Erhard Zauner. Quell- und Formkräfte, Teile 2 und 3. Von Erhard Zauner. Selbstverlag, Villach 1992 beziehungsweise 1975, zu beziehen bei den Verfassern (Süduferstraße 27, A-9523 Villach/St. Andrä).




Aus: Spektrum der Wissenschaft 11 / 1994, Seite 14
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
11 / 1994

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 11 / 1994

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