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Kartographen-Alpträume

Als der Kurator Jean-Jacques LeMaire letzten Herbst in einem Lagerraum des Louvre herumstöberte, entdeckte er einen Karton mit unveröffentlichten Manuskripten von Jules Verne. In mühsamer Kleinarbeit gelang es ihm, aus den von Mäusen angefressenen Blättern ein bisher unbekanntes Kapitel aus Vernes klassischem, 1865 erschienenem Roman "Von der Erde zum Mond" zu rekonstruieren, das mit seiner freundlichen Genehmigung hier abgedruckt wird.

Major Elphiston schritt unruhig unter der Kuppel des Observatoriums von Baltimore umher, während sein Mitarbeiter J. T. Maston durch das Okular des Teleskops blickte. „Ich sehe sie noch nicht“, sagte Maston nervös.

„Darf ich mal durchschauen?“ fragte Elphiston.

„Natürlich“, erwiderte Maston und griff nach einer dicken Kladde mit mathematischen Berechnungen. „Wenn die Menge an Schießbaumwolle auch nur um ein Prozent falsch berechnet wurde, könnte das eine Verzögerung von mehreren Stunden bewirken. Ich meine, wir sollten noch nicht schließen, daß Barbicane und seine zwei Begleiter Nicholl und Ardan ein schreckliches Schicksal ereilt hat.“

„Ganz richtig“, seufzte Elphistone. „Man muß immer optimistisch bleiben.“

Der Major schlotterte. „Es ist teuflisch kalt hier draußen auf Long’s Peak! Ich schlage vor, wir gehen für eine Stunde ins Hauptgebäude und suchen dann hier weiter.“

„Und wenn derweil eine Nachricht auf dem Morseschreiber eingeht?“ Sie starrten auf die kleine, in einer Ecke un-ter der Kuppel installiere Maschine.

„Alle Nachrichten werden auf dem Papierstreifen aufgezeichnet, Maston. Wir können sie lesen, wenn wir zurückkommen.“

Nicht ohne einen gewissen Widerwillen folgte Maston dem Major in den warmen Aufenthaltsraum.

Während man auf Kaffee und Sandwiches wartete, stierte der Major auf eine Weltkarte an der Wand. Die Gebiete unter preußischer Herrschaft waren blau dargestellt, die französischen grün, die amerikanischen violett und die britischen rosarot.

Bei Elphiston regte sich mit Macht der amerikanische Nationalstolz. „Bald wird die Karte neu gezeichnet werden müssen“, prahlte er.

„Wie bitte?“

„Wir werden eine Karte des Mondes anfügen – in violett. Es kann ja sein, daß über dem britischen Weltreich die Sonne nicht untergeht, aber das amerikanische Mondreich wird über jeder Nation der Erde aufgehen!“

„Aha“, bemerkte Maston, dem an einem Weltreich wenig gelegen war. „Aber ein bißchen Grün wird vielleicht auch nötig sein.“

„Wieso das?“

„Auf der Mondkarte“, erklärte Maston. „Vergessen Sie nicht, daß Michel Ardan Franzose ist.“ Er versuchte das Thema zu wechseln und begab sich zur Karte an der Wand. „Ich habe nie recht verstanden, warum die Kartographen so viele Farben verwenden. Hier sind es mindestens ein Dutzend.“

„Ach ja? Wird wohl notwendig sein, damit man aneinandergrenzende Länder an der Farbe unterscheiden kann.“

„Nein, nein. Ich habe einen Verwandten, einen Mathematiker von der Harvard-Universität…“

„Wo ist denn die Klippschule?“

„Cambridge.“

„Sie haben Verwandte in England?“

Maston wehrte heftig ab. „Ach was. Cambridge, Massachusetts.“

„Das muß aber ein merkwürdiges Kuhdorf sein.“

Maston ließ sich nicht beirren. „Er hat mir erzählt, ein anderer Mathmatiker namens Percival Heawood habe bewiesen, daß man jede Landkarte von der Oberfläche des Globus mit höchstens fünf Farben färben kann. Soweit ich mich entsinne, wurde das Problem zuerst von dem Engländer Francis Guthrie 1852 gestellt.“

Anmerkung des Herausgebers: Arthur Kempe, ein Rechtsanwalt und Mitglied der Londoner Mathematischen Gesellschaft, behauptete 1879, er habe einen Beweis dafür gefunden, daß bereits vier Farben genügen. Aber elf Jahre später fand Heawood einen versteckten Fehler darin. Fast ein Jahrhundert lang wußte niemand, ob man wirklich jede Landkarte mit vier Farben färben kann. Das bewiesen erst 1976 Kenneth Appel und Wolfgang Haken von der Universität von Illinois in Urbana unter massiver Verwendung des Computers (vergleiche ihren Artikel in der Erstedition von Spektrum der Wissenschaft, Seite 82).

Elphiston dachte einen Augenblick nach. „Was ist, wenn 100 Länder einen gemeinsamen Grenzpunkt haben, wie Tortenstücke, die sich alle im Mittelpunkt treffen?“

„Das stört nicht besonders. Gefordert sind verschiedene Farben nur dann, wenn zwei Länder ein Stück Grenze gemeinsam haben, das länger als null ist. Anscheinend wurden auf dieser Karte viel mehr Farben als nötig verwendet. Aber vermutlich spielen noch andere Gesichtspunkte als nur die Nachbarschaft eine Rolle.“

Elphiston bestellte sich einen Brandy. Plötzlich sprang Maston auf. „Da gab es doch eine Verallgemeinerung des Problems“, sagte er. „Anstelle von Ländern betrachten wir Reiche, Britannien mit all seinen Kolonien zum Beispiel. Länder, die zum selben Reich gehören, sollen gleich gefärbt werden. Es dürfen auch verschiedene Reiche die gleiche Farbe bekommen – solange aneinandergrenzende Länder verschieden gefärbt sind.“

„Logisch.“

„Insbesondere müssen zwei Reiche, die irgendwo auf der Welt aneinandergrenzende Territorien besitzen, verschiedene Farben erhalten.“

„Dann dürfte das Färbeproblem um so schwieriger sein, je zerstückelter das Territorium eines Reiches ist“, entgegnete der Major. „Ich habe die Europäer und ihre Kleinstaaterei noch nie verstanden.“

Maston dozierte weiter. „Wenn es auf der Erde nur 2-Reiche gäbe…“

„Zwei Reiche?“

„2-Reiche. Ein 2-Reich besteht aus zwei getrennten, aber in sich zusammenhängenden Territorien.“

„Ach so.“

„…Dann braucht man möglicherweise zwölf Farben“ (Bild 1 links oben).

„Wenn es aber mehr als zwölf 2-Reiche gibt?“

„Dann vermute ich, daß man immer noch mit zwölf Farben auskommt.“

Anmerkung des Herausgebers: Diese Vermutung hat Heawood 1890 bewiesen. Er konnte sogar zeigen, daß man jede Karte, die nur m-Reiche (das heißt Reiche, die aus m Territorien bestehen) enthält, mit 6m Farben färben kann. Daß man im allgemeinen nicht mit weniger auskommt, haben erst 1984 Brad Jackson von der kalifornischen Staatsuniversität San José und Gerhard Ringel von der Universität von Kalifornien in Santa Cruz bewiesen. Bild 1 zeigt eine Karte mit achtzehn paarweise benachbarten 3-Reichen, entdeckt von Herbert Taylor von der Universität von Süd-Kalifornien in Los Angeles, und eine mit dreißig 5-Reichen.

Der Major bestellte sich einen zweiten Brandy. „Würde es einen Unterschied machen, wenn einige der Länder auf dem Mond liegen würden?“

Maston dachte einen Augenblick nach. „Wahrscheinlich“, erwiderte er dann. „Das Färbeproblem wird einfacher. Schließlich betrachten wir dann Landkarten auf zwei Kugeln statt auf einer. Da gibt es auf jeder Kugel weniger Länder, die aneinandergrenzen könnten. Der einfachste Fall dürfte sein, daß jedes Land auf der Erde zu einem 2-Reich gehört, dessen zweites Land eine Mondkolonie ist. Dann wird die maximale Anzahl der benötigten Farben irgendwo zwischen acht und zwölf liegen.“

Anmerkung des Herausgebers: Rolf Sulanke vom Institut für Reine Mathematik der Humboldt-Universität in Berlin hat gezeigt, daß für einige solcher Karten neun Farben erforderlich sind, aber es ist immer noch nicht bekannt, ob die richtige Antwort 9, 10, 11 oder 12 ist. Ein weiteres interessantes Problem sind 3-Reiche, von denen jedes ein Territorium auf der Erde, dem Mond und dem Mars hat. In diesem Falle ist die minimale Farbenzahl 16, 17 oder 18, allgemein 6m–2, 6m–1 oder 6m; dabei ist m*3 die Anzahl der Kugeln, auf denen jedes Reich je ein Territorrium hat.

Elphistone und Maston gingen zurück ins Observatorium.

„Immer noch nichts“, stellte Elphiston fest, nachdem er den Papierstreifen des Schreibers überprüft hatte. Maston drehte an einer großen Kurbel und bewegte das Teleskop. Dann beugte er sich nieder und blickte durch das Okular.

„Schon was zu sehen?“

„Immer noch nichts.“ Maston drehte an den Stellschrauben. „Ah! Da ist es!“

Der Major schaute durch und konnte den kleinen Fleck vor dem Hintergrund der Mondlandschaft kaum erkennen. „Sie haben es also geschafft. Bald werden wir eine neue Karte mit einem violetten Mond haben.“

„Und einem Streifen grün darin.“

„Ja, natürlich“, konzedierte Elphiston und blickte wieder durch das Teleskop. „Aber was sind das für merkwürdige Flecken neben unserem Raumschiff?“

Der Ticker begann plötzlich zu klappern. Maston rannte hinüber und las: INTERNATIONALE NACHRICHTENAGENTUR MELDET, DASS BEMANNTE RAUMFAHRZEUGE FOLGENDER NATIONEN HEUTE AUF DEM MOND GELANDET SIND: ARGENTINIEN, BAYERN, BELGIEN, BRASILIEN, BRITANNIEN, CHINA, HOLLAND, JAPAN, PORTUGAL, PREUSSEN, SPANIEN, RUSSLAND UND VEREINIGTE STAATEN.“

Der Major starrte Maston an. „Wie sagten Sie soeben? Violett, grün und sieben bis zehn weitere Farben?“



Aus: Spektrum der Wissenschaft 9 / 1993, Seite 9
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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