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Kategorientheorie: Die Mathematik der Mathematik

Kommt man bei einem Problem nicht weiter, hilft es manchmal, Abstand zu nehmen und einen frischen Blick darauf zu werfen. So auch in der Mathematik: Die Vogelperspektive liefert neue Erkenntnisse, bringt aber Schwierigkeiten mit sich.
Mädchen mit Freude an Mathematik und Technik unter Hirn-Taschenrechner-Interface

An einem kühlen Herbsttag während meines Grundstudiums in Neuengland lief ich an einer U-Bahn-Station vorbei, als mir etwas ins Auge fiel. Da stand ein Mann neben einigen mathematischen Rätseln, die er an eine Wand gekritzelt hatte, und forderte die Passanten auf, sie zu lösen. Eines davon verlangte – mit nichts weiter als einem imaginären Lineal und Zirkel ausgestattet –, aus einem vorgegebenen Würfel einen mit doppelt so großem Volumen zu machen.

Das ließ mich innehalten, denn ich hatte diese Aufgabe schon einmal gesehen. Tatsächlich ist sie mehr als 2000 Jahre alt und wird Platon zugeschrieben. Mit Hilfe des Lineals kann man ein Liniensegment in jede beliebige Richtung verlängern, und der Zirkel ermöglicht es, einen Kreis von einem gewählten Mittelpunkt aus zu zeichnen. Der Knackpunkt des Rätsels: Alle gezeichneten Punkte und Geraden, die im Ergebnis auftauchen, müssen entweder schon im Ausgangswürfel enthalten sein oder sich daraus konstruieren lassen.

Wenn die Seitenlänge des zu verdoppelten Würfels eins beträgt, muss man die Seiten um den passenden Faktor verlängern. Dieser entspricht dem Wert ∛2. Das klingt zunächst vielleicht nicht besonders kompliziert, aber die Länge darf nur mit Hilfe eines Lineals und eines Zirkels abgemessen werden. Und das gestaltet sich extrem schwierig. Mehr als 2000 Jahre lang gelang es niemandem, das Rätsel zu lösen. 1837 lieferte der Mathematiker Pierre Laurent Wantzel schließlich die Erklärung dafür, indem er bewies, dass das Problem nicht zu knacken ist …

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  • Quellen

Baez, J.: An introduction to n-categories. In: Moggi, E., Rosolini, G. (Hg.): Category Theory and Computer Science, Springer, 1997

Cheng, E.: How to Bake Pi: Easy Recipes for Understanding Complex Maths, Profile Books 2019

Riehl, E., Verity, D.: Infinity category theory from scratch. ArXiv 1608.05314, 2016