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Geometrie: Kollektive Verklemmung und das gehörnte Oktaeder

Untersuchungen von Materialforschern ergeben unversehens neue Raumfüllungen durch regelmäßige Körper.
gehörntes Oktaeder

Meine Kaffeevorratsdose fasst angeblich 250 Gramm. Aber wenn ich den Inhalt einer frisch eingekauften 250-Gramm-Vakuumpackung hineinschütte, ragt der Berg über den oberen Rand der Dose hinaus. Kein Problem: Ich stoße die Dose ein paar Mal auf die Tischplatte auf, und die Kaffeekörnchen bequemen sich zu einer etwas dichteren Lagerung, was das unmittelbare Problem löst. Aber so eng, wie der Hersteller sie in die Verpackung gepresst hat, sitzen sie nicht aufeinander. Den Behälter der Espressomaschine kann ich gehäuft füllen, ohne dass beim Einsetzen etwas überquillt. Und selbst dann ist zwischen den einzelnen Partikeln noch reichlich Platz für den Dampf, der das Koffein und andere Köstlichkeiten aus ihnen herauslöst.

Man kann sicher noch weitaus mehr Kraft zum Zusammenpressen aufwenden als die Espressomaschine. Aber irgendwann muss doch Schluss sein. Schließlich ist Kaffeemehl ja nicht beliebig kompressibel wie ein Gas. Also gibt es eine dichteste Packung der Kaffeekörnchen, in der sie ohne nennenswerte Zwischenräume den verfügbaren Raum füllen. Oder?

Das ist keineswegs selbstverständlich. Kaffeemehl ist dabei sogar noch ein vergleichsweise gutartiges Material, weil seine Körnchen zwar nicht kompressibel, aber immerhin deformierbar sind...

Bastelbogen für das gehörnte Oktaeder (1)

Drucken Sie diese drei Dateien auf steifem Papier (160 g/qm) aus. (Es geht auch schwarz-weiß; farbig wird es natürlich schöner …) Aus dem ersten Blatt "GehoerntesOktaeder" wird genau ein gehörntes Oktaeder. Die Bastelanleitung steht mit auf dem Blatt.

Es empfiehlt sich, in der Gruppe (Schulklasse ...) zahlreiche Exemplare dieses Körpers zu bauen. Man kann gehörnte Oktaeder in der im Artikel gezeigten Art zu Türmen stapeln. Mehrere Türme nebeneinander ergeben die beschriebene lückenlose Raumfüllung; allerdings müssen die Türme in der Höhe gegeneinander versetzt sein. Diesem Höhenausgleich dienen die beiden Bodenteile. Ein Turm mit Bodenteil1 als unterstem Baustein, einer mit Bodenteil2 und einer mit einem gewöhnlichen gehörnten Oktaeder passen lückenlos nebeneinander.

Rechenbeispiel: Sie bauen 36 Körper, die Sie zu sechs Türmen stapeln. Dann müssen von den 36 Bauteilen zwei Stück Bodenteil1 und zwei Stück Bodenteil2 sein, damit Sie sechs Türme zu je sechs Bauteilen lückenlos aneinandersetzen können.

Größere Mengen als im Artikel abgebildet sind noch nie gefertigt worden. Wenn Sie ein größeres Projekt dieser Art in Angriff nehmen, freue ich mich auf Rückmeldung – gerne mit Bildern (E-Mail an poeppe@spektrum.com).

Zum gehörnten doppelten Tetraederstumpf (der am Schluss des Artikels erwähnt ist) gibt es auch einen Bastelbogen, allerdings ohne ausgearbeitete Höhenausgleichsstücke. Den stelle ich auf Anfrage gern zur Verfügung.

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PDF (322.5 KB)

Bastelbogen für das gehörnte Oktaeder (2): Bodenteil1

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PDF (281.3 KB)

Bastelbogen für das gehörnte Oktaeder (3): Bodenteil2

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PDF (278.4 KB)

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