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Mathematische Unterhaltungen: Nichtperiodische Parkettkunst

Was Physikern als Modellstruktur für Quasi­kristalle dient, machen sich Künstler zu Nutze, um aus der Mischung von Regelhaftigkeit und Undurchschaubarkeit besondere Effekte zu erzielen.
Ein Penrose-Cartwheel

Einige Mathematiker haben sich doch tatsächlich in die fünfte Dimension begeben, um von diesem – sagen wir herausgehobenen – Standpunkt aus etwas ganz gewöhnlich Zweidimensionales zu studieren: die nichtperiodischen Pflasterungen der Ebene mit dieser seltsamen fünfzähligen Symmetrie, die unter dem Namen »Penrose-Pflasterungen« berühmt geworden sind. Der Umweg erweist sich als sehr elegant und öffnet das Tor zu einer umfassenden Theorie der nichtperiodischen Ordnung; zu allem Überfluss kann man auf diesem Weg Tapetenfunktionen konstruieren, die einer echten Pflasterung schon sehr nahekommen. Aber geht es vielleicht auch etwas bodenständiger?

Es geht. Zwei mathematische Hilfsmittel, die ohne expliziten Rückgriff auf höhere Dimensionen auskommen, liefern eine Fülle von Ergebnissen. Das eine ist unter dem Stichwort »Anlegeregeln« bekannt, das andere unter den Namen »Inflation«, »Deflation« und »Substitution«; jedes für sich beschreibt einen Teilaspekt des Werkzeugs.

Nichtperiodische Pflasterungen sind einerseits irgendwie anarchisch in dem Sinn, dass man sich nie darauf verlassen kann, was als Nächstes kommt. Andererseits sind sie überaus regelmäßig, indem dieselben Elemente und auch dieselben Zusammensetzungen aus Elementen immer wieder vorkommen. Dieses Spannungsfeld zwischen Ordnung und Chaos eröffnet auch Künstlern reizvolle Möglichkeiten …

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  • Quellen

Fang, F. et al.: Methods for calculating empires in quasicrystals. Crystals 7, 2017

Gaenshirt, U., Willsch, M.: The local controlled growth of a perfect Cartwheel-type tiling called the quasiperiodic succession. Philosophical Magazine 87, 2007

Senechal, M.: The Mysterious Mr. Ammann. The Mathematical Intelligencer 26, September 2004

Steurer, W., Arlitt, S.: Kurt Bruckner's view on the Penrose tiling. Structural Chemistry, Juni 2016

Grünbaum, B., Shephard, G. C.: Tilings and patterns. Freeman, 1987
Kapitel 10 »Aperiodic Tilings« gibt die erste vollständige Theorie der Penrose-Pflasterungen.