Der Mann auf der Photographie macht einen peniblen, reservierten und leicht unterernährten Eindruck. Sein Gesicht ist wie seine Werke nur einigen Philosophen und Logikern vertraut: Kurt Gödel, berühmt für die nach ihm benannten Unvollständigkeitssätze mit ihren weitreichenden Konsequenzen für die Grundlagen der Mathematik. Sein Leben lang rang er in allen Dingen um umfassende Rationalität – und mit der Angst, in geistiger Umnachtung zu versinken.

Gödel bewies, daß die seit Euklid üblichen mathematischen Beweismethoden nicht ausreichen, um alle wahren Aussagen über natürliche Zahlen zu finden. Seine Entdeckung untergrub die Fundamente, auf denen die Mathematik bis ins 20. Jahrhundert scheinbar sicher geruht hatte, regte zur Suche nach Alternativen an und initiierte eine lebhafte philosophische Debatte über das Wesen der Wahrheit. Gödels originelle Methoden, die sich ohne weiteres auf Computer-Algorithmen anwenden ließen, bildeten zudem einen Ausgangspunkt für die moderne Informatik.

Geboren wurde Kurt Gödel am 28. April 1906 in Brünn (heute tschechisch Brno), der Hauptstadt Mährens, damals Teil der österreichisch-ungarischen Monarchie; er war das zweite und jüngste Kind von Rudolf und Marianne Gödel, die beide aus Deutschland stammten. Unter Gödels Vorfahren gab es keine Gelehrten; der Vater besuchte lediglich die Handelsschule, brachte es aber durch Ehrgeiz und Fleiß zum Direktor und Miteigentümer einer großen Brünner Textilfabrik. Rudolf Gödel erwarb schließlich eine Villa in einem noblen Vorort und schickte seine Söhne an deutschsprachige Privatschulen, wo beide ausgezeichnete Zeugnisse erhielten.

Zwar verfehlte Kurt in seiner gesamten Schulzeit nur ein einziges Mal in einem Fach – ausgerechnet in Mathematik – die Bestnote, aber er fiel nicht als Wunderkind auf. Seine Neugier brachte ihm den Spitznamen "der Herr Warum" ein; ansonsten war er introvertiert, empfindlich und etwas kränklich. Mit acht Jahren bekam er rheumatisches Fieber, und obgleich er dadurch anscheinend keine dauerhaften körperlichen Schäden erlitt, zwang es ihn zu einer längeren Unterbrechung seines Schulbesuchs. Vielleicht begann damals seine übertriebene und mit den Jahren wachsende Sorge um Gesundheit und Diät.

Im Jahre 1924, nach Abschluß des Brünner Realgymnasiums, schrieb Gödel sich an der Universität Wien ein, wo sein älterer Bruder bereits seit vier Jahren Medizin studierte. Nach dem Ersten Weltkrieg lag das kleine Rest-Österreich wirtschaftlich danieder. Dennoch erlebte Wien eine spektakuläre Ära wissenschaftlicher und künstlerischer Kreativität; auch die Universität büßte kaum etwas von ihrer früheren Geltung ein.

Eigentlich wollte Kurt Gödel Physik studieren, aber unter dem Eindruck der Vorlesungen von Philipp Furtwängler und Hans Hahn wechselte er bald zur Mathematik. Rasch fiel sein bemerkenswertes Talent auf, und schon nach zwei Jahren durfte er an einer Diskussionsgruppe teilnehmen, die Hahn und der Philosoph Moritz Schlick zwei Jahre zuvor ins Leben gerufen hatten. Diese Gruppe – später als "Wiener Kreis" weltberühmt – berief sich auf die Schriften des Positivisten Ernst Mach: Jede sinnvolle Frage lasse sich allein durch empirische Beobachtung des "positiv Gegebenen" entscheiden; alles Übrige sei Metaphysik, das heißt wissenschaftlich sinnlos.

In diesem Kreis lernte Gödel Gelehrte wie den Wissenschaftsphilosophen Rudolf Carnap und den Mathematiker Karl Menger kennen, und er begann, sich mit mathematischer Logik und Philosophie zu befassen. Der Wiener Kreis stand insbesondere unter dem Einfluß der Thesen Ludwig Wittgensteins über Struktur und Grenzen formaler Sprachen; dies mag Gödel angeregt haben, später selbst ähnliche Fragen zur Mathematik zu erforschen. Einige Mitglieder des Kreises – unter anderem Carnap, Hahn und der Physiker Hans Thirring – untersuchten auch parapsychologische Phänomene; dieses Thema faszinierte Gödel ganz besonders. Jahre später bemerkte er einmal zu seinem engen Freund, dem Wirtschaftswissenschaftler Oskar Morgenstern, künftige Generationen würden es wohl höchst merkwürdig finden, daß die Wissenschaft des 20. Jahrhunderts zwar Elementarteilchen entdeckt, aber die Möglichkeit von elementaren psychischen Faktoren nicht einmal in Betracht gezogen habe.

Gödel teilte allerdings nicht den "logischen Positivismus" des Kreises. Diese Philosophie erweiterte Machs empiristischen Ansatz um eine formal-logische Dimension, ohne freilich der Sphäre der logisch-mathematischen Begriffe einen eigenen Seinsbereich zuzugestehen; das wäre nach Ansicht des Wiener Kreises ein Rückfall in die "Metaphysik" gewesen. Gödel hingegen war Platonist: Außer physikalischen Objekten, so glaubte er, gebe es eine Welt abstrakter Begriffe, die dem Menschen durch intuitive Anschauung zugänglich sei. Jede Aussage hatte für ihn einen bestimmten Wahrheitswert – entweder wahr oder falsch – unabhängig davon, ob dies bewiesen oder überhaupt einer empirischen Bestätigung oder Widerlegung zugänglich war. Nach Gödels Überzeugung half ihm diese Philosophie, seine revolutionären mathematischen Erkenntnisse zu gewinnen.

Obwohl der junge Gödel aufmerksam zuhörte und offensichtlich ein brillanter Kopf war, beteiligte er sich selten an den Diskussionen des Wiener Kreises – es sei denn, diese drehten sich um Mathematik. Er blieb schüchtern und verschlossen und hatte nur wenige enge Freunde. Allerdings schätzte er die Gesellschaft von Frauen, die ihn offenbar recht attraktiv fanden. Nach 1928 blieb er dem Kreis meist fern; er nahm dafür aktiv an einem von Karl Menger organisierten mathematischen Kolloquium teil, wirkte an der Herausgabe von dessen Mitschriften in Form mehrerer Jahrbücher mit und steuerte später selbst dazu mehr als ein Dutzend Artikel bei.

Zu dieser Zeit erlangte Gödel plötzlich internationale Geltung als mathematischer Logiker. Vor allem zwei Veröffentlichungen machten ihn in der Fachwelt berühmt: seine an der Universität Wien 1929 eingereichte und ein Jahr später veröffentlichte Doktorarbeit sowie insbesondere die 1931 publizierte Abhandlung "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme", die er im folgenden Jahr als Habilitationsschrift einreichte.

In seiner Doktorarbeit mit dem Titel "Die Vollständigkeit des logischen Funktionenkalküls (erster Ordnung)" löste er ein Problem, das David Hilbert und Wilhelm Ackermann 1928 in ihrem Lehrbuch "Grundzüge der theoretischen Logik" aufgeworfen hatten; dieses Buch faßte die gängigen Regeln zur Manipulation von logischen Ausdrücke zusammen, die aus logischen Verbindungen wie "und", "oder" nebst Quantifikatoren wie "Für alle", "Es gibt" sowie aus Variablen bestehen, die Zahlen oder Mengen sein können. Die Frage war folgende: Lassen sich aus einem Axiomensystem mit Hilfe der im Lehrbuch aufgeführten Regeln tatsächlich alle und nur solche Aussagen herleiten, die für jedes mathematische Theoriegebäude wahr sind, das den Axiomen genügt? Einfacher gesagt: Kann man alle Aussagen beweisen, die unter sämtlichen Interpretationen der Symbole wahr sind?

Gödel wies nach, daß dies tatsächlich der Fall ist. In seiner Dissertation zeigte er, daß die Prinzipien der Logik seiner Zeit ihren Zweck erfüllten: Mit ihnen ließen sich alle Aussagen beweisen, die auf der Grundlage eines gegebenen Axiomensystems wahr waren. Damit war aber noch nicht gezeigt, daß auch jede wahre Aussage über natürliche Zahlen auf der Basis der allgemein akzeptierten Axiome der Zahlentheorie beweisbar ist. Diese Axiome, die der italienische Mathematiker Giuseppe Peano 1889 formuliert hatte, enthalten nämlich das Prinzip der vollständigen Induktion. Es besagt folgendes: Angenommen, eine bestimmte Eigenschaft kommt der Zahl Null zu, und angenommen, diese Eigenschaft gilt, wenn sie der natürlichen Zahl n zukommt, auch für n + 1, dann müssen alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen. So plausibel dieses Axiom wirkt, stieß es unter Mathematikern auf Bedenken, denn es bezieht sich nicht bloß auf Zahlen selbst, sondern auch auf Eigenschaften von Zahlen. Eine solche Aussage "zweiter Ordnung" galt als allzu vage und schlecht definiert, um die Grundlage einer Theorie der natürlichen Zahlen zu bilden.

Darum wurde das Induktionsprinzip zu einem unendlichen System gleichartiger Axiome umformuliert, die sich auf bestimmte Formeln beziehen statt auf allgemeine Eigenschaften von Zahlen. Doch leider erfüllen nicht nur die natürlichen Zahlen dieses neue Axiomensystem, sondern auch andere Strukturen; dies bewies der norwegische Mathematiker Thoralf Skolem wenige Jahre vor Gödels Arbeit.

Gödels Vollständigkeitssatz besagt nun zwar, daß man alle Sätze, die aus den Axiomen folgen, auch beweisen kann. Doch die Sache hat einen Haken: Ist eine Aussage wahr für die natürlichen Zahlen, aber nicht wahr für ein anderes System von Dingen, das dieselben Axiome erfüllt, so läßt die Aussage sich nicht beweisen. Die Mathematiker nahmen dieses Problem freilich zunächst auf die leichte Schulter: Sie hofften, es gebe keine Wesenheiten, die sich einerseits genau wie Zahlen benehmen und andrerseits von ihnen gänzlich verschieden sind. Gödels nächstes Theorem – sein legendärer Unvollständigkeitssatz – bedeutete darum eine böse Überraschung.

Gödel zeigte in seiner Arbeit von 1931, daß es wahre Aussagen über natürliche Zahlen gibt, die unbeweisbar sind. Mit anderen Worten: Es gibt tatsächlich Objekte, welche zwar die Peano-Axiome erfüllen, sich aber nicht unter allen Umständen wie natürliche Zahlen verhalten. Man könnte diesen Unvollständigkeitssatz nun zu überlisten suchen, indem man alle wahren Aussagen zu Axiomen erklärt; doch dann stünde man vor dem Problem, von vornherein entscheiden zu müssen, ob gewisse Aussagen wahr oder falsch sind. Wie Gödel 1931 zeigte, macht es für formale Theorien – das heißt Systeme aus Axiomen und Ableitungsregeln – keinen Unterschied, welche Aussagen als Axiome gelten: Wie viele wahre Aussagen über natürliche Zahlen man dem Axiomensystem auch immer hinzufügt – es wird immer noch weitere wahre Aussagen geben, die unbeweisbar sind.

Insbesondere gilt, daß ein Axiomensystem mitsamt allen Umformungsregeln für sich genommen nicht ausreicht, um formal seine eigene Widerspruchsfreiheit entscheiden zu können. Jeder Vollständigkeitsbeweis muß sich daher stärkerer Mittel bedienen als derjenigen, die das System selbst bietet.

Über dieses Resultat war David Hilbert bestürzt. Ihm hatte ein Programm zur Grundlegung der Mathematik vorgeschwebt, das die Vollständigkeit komplexer Theorien aus der Vollständigkeit einfacherer, besser überschaubarer Theorien herleiten sollte. Gödel hingegen sah in seinen Unvollständigkeitssätzen keineswegs einen Beweis für die Unzulänglichkeit der axiomatischen Methode, sondern lediglich ein Indiz dafür, daß die Ableitung von mathematischen Sätzen nicht völlig automatisiert werden kann. Er fand, seine Resultate rechtfertigten die Rolle, welche die Intuition in der mathematischen Forschung zu spielen habe.

Die Begriffe und Verfahren, die Gödel in seiner berühmten Arbeit entwickelte, bilden eine Grundlage der sogenannten Rekursionstheorie und somit ein Fundament der modernen Informatik. Erweiterungen seiner Ideen führten zu wichtigen Resultaten über die prinzipiellen Grenzen von Computerberechnungen. Ein solches Ergebnis ist die Unlösbarkeit des sogenannten Halteproblems – der Frage, ob ein beliebiger Computer mit beliebigem Input jemals anhalten und einen Output liefern oder in einer unendlichen Schleife stecken bleiben wird. Ein weiteres ist der Nachweis, daß ein Programm, welches nicht selbst das Betriebssystem eines Computers aktiv verändert, niemals alle Programme zu erkennen vermag, die dies tun – das heißt sämtliche Viren.

Gödel verbrachte das akademische Jahr 1933/34 in Princeton (US-Bundesstaat New Jersey) am kürzlich gegründeten Institute for Advanced Study, wo er Vorlesungen über seine Unvollständigkeitssätze hielt. Er sollte dort auch im folgenden Jahr lehren, erlitt jedoch unterdessen in Wien einen seelischen Zusammenbruch. Zwar erholte er sich bald und kehrte im Herbst 1935 nach Princeton zurück. Doch schon nach einem Monat machte ihn ein Rückfall erneut arbeitsunfähig; erst im Frühjahr 1937 hielt er wieder Vorlesungen in Wien.

In Princeton begab sich Gödel in psychiatrische Behandlung, aber mangels Zugang zu seiner vertraulichen Patientenakte bleibt die Diagnose reine Spekulation. Anscheinend begannen seine Probleme mit Hypochondrie: Zwanghaft beschäftigte er sich mit seiner Ernährung und Verdauung; mehr als zwanzig Jahre lang führte er täglich Buch über seine Körpertemperatur und die Einnahme eines Mittels gegen Übersäuerung des Magens. Er fürchtete, zufällig oder – in späteren Jahren – absichtlich vergiftet zu werden. Aufgrund dieser Phobie aß er möglichst wenig und war chronisch unterernährt. Gleichzeitig nahm er unterschiedliche Pillen gegen eingebildete Herzschwäche ein.

Abgesehen von den Phasen schwerer Krisen beeinträchtigten Gödels seelische Probleme seine Arbeit überraschend wenig. Sein Schutzengel war Adele Porkert, die er während seiner Studentenzeit in einem Wiener Nachtlokal kennengelernt hatte. Sie war Katholikin und geschieden, sechs Jahre älter als Gödel und arbeitete als Tänzerin; ihr Gesicht war von Geburt an durch ein Feuermal entstellt. Für Gödels Eltern war die Liaison mit Adele Porkert ein Skandal. Aber die beiden hielten treu zueinander, und mehr als einmal spielte sie für ihn den Vorkoster und besänftigte so seine wachsende Angst, jemand wolle ihn vergiften. Nach einer langen Verlobungszeit heirateten sie schließlich im September 1938; kurz danach ging Gödel erneut in die USA, um in Princeton und an der Universität Notre Dame (US-Bundesstaat Indiana) Vorlesungen über seine spektakulären neuen Forschungsergebnisse zu halten.

Gödels neuerliche Leistung bestand in der Aufklärung einiger umstrittener Aspekte der Mengenlehre. Ende des 19. Jahrhunderts hatte der deutsche Mathematiker Georg Cantor einen Größenbegriff für unendliche Mengen eingeführt. Demnach ist die Menge A kleiner als die Menge B, wenn bei jeder paarweisen Zuordnung von Elementen aus A und aus B immer noch Elemente von B übrigbleiben. Auf diese Weise vermochte Cantor unter anderem zu beweisen, daß die Menge der natürlichen Zahlen kleiner ist als die Menge der reellen. Außerdem vermutete er, daß keine Menge existiert, deren Größe zwischen diesen beiden liegt; an dieser "Kontinuumshypothese" bissen sich seither die Mathematiker die Zähne aus.

Im Jahre 1908 formulierte Cantors Landsmann Ernst Zermelo ein Axiomensystem für die Mengenlehre. Es enthielt das sogenannte Auswahlaxiom, das (in einer Version) besagt: Zu jeder unendlichen Ansammlung von Mengen, die einander nicht überschneiden und wenigstens je ein Element enthalten, gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jeder dieser Mengen enthält. Obwohl das Auswahlaxiom auf den ersten Blick einleuchtet – warum sollte man nicht ein Element aus jeder Menge auswählen können? –, hat es viele höchst paradox anmutende Konsequenzen. Zum Beispiel folgt daraus, daß man eine Kugelfläche in endlich viele Teilstücke zerlegen und aus ihnen, ohne die Stücke zu deformieren, eine neue Kugel mit doppeltem Volumen zusammensetzen kann.

Darum galt das Auswahlaxiom als äußerst suspekt. Die Mathematiker vermuteten – wie sich herausstellte, zurecht –, daß weder das Auswahlaxiom noch die Kontinuumshypothese von den anderen Axiomen der Mengenlehre ableitbar sind. Man mußte befürchten, daß der Gebrauch dieser Sätze in Beweisen zu Widersprüchen führt. Doch Gödel wies nach, daß beide Prinzipien mit den anderen Axiomen vereinbar sind.

Gödels mengentheoretische Ergebnisse lösten ein Problem, das Hilbert schon 1900 in einem Vortrag auf dem internationalen Mathematikerkongreß in Paris gestellt hatte; doch selbst diese enorme Leistung verschaffte Gödel noch immer keine akademische Position. Während seines Jahres in Princeton und an der Notre-Dame-Universität verfiel seine Lehrberechtigung für österreichische Universitäten, und als er im Sommer 1939 zu seiner Frau nach Wien zurückkehrte – unterdessen war Österreich von Hitler-Deutschland annektiert worden –, erhielt er einen Musterungsbescheid und wurde für tauglich zum Waffendienst in der deutschen Wehrmacht erklärt.

Anscheinend hatte Gödel sich zuvor nicht um die bedrohliche Entwicklung in Europa gekümmert. Zwar interessierte er sich für Politik und hielt sich auf dem laufenden, blieb aber davon seltsam unberührt. Sein Mangel an emotionalem Engagement für Mitmenschen mag ihn daran gehindert haben, die Bedeutung der Ereignisse zu erkennen. Er schien das Schicksal seiner Kollegen und früheren Lehrer – unter ihnen viele Juden – zu ignorieren und vergrub sich, während rundum die Welt zusammenbrach, unbeirrt in seine Arbeit. Endlich ging ihm auf, daß auch er unterzugehen drohte.

In dieser verzweifelten Situation, arbeitslos und von sofortiger Einberufung bedroht, verschaffte ihm das Institute for Advanced Study die rettenden Ausreisevisa für sich und seine Frau. Im Januar 1940 begann die lange Reise ostwärts: mit der transsibirischen Eisenbahn quer durch Asien, von Yokohama per Schiff nach San Francisco und von dort mit dem Zug nach Princeton, wo das Paar Mitte März endlich ankam.

Gödel verließ die USA nie wieder. Nach mehrfach verlängerten Jahresverträgen wurde er 1946 endlich fest angestelltes Fakultätsmitglied des Instituts. Zwei Jahre später erhielt er die amerikanische Staatsbürgerschaft. Der Richter, der Gödel den Eid auf die Verfassung abnahm, beging den Fehler, ihn nach seiner Meinung über den Text zu fragen, und mußte sich einen wortreichen Vortrag über dessen Widersprüchlichkeit anhören.

Professor wurde Gödel erst 1953, zeitgleich mit seiner Ernennung zum Mitglied der National Academy of Sciences. Diese Verzögerung hatte zum Teil mit Zweifeln an seiner geistigen Gesundheit zu tun. Unter anderem hatte Gödel sich öffentlich beklagt, daß seinem Kühlschrank giftige Gase entwichen. In dieser Zeit kümmerte sich sein Freund Albert Einstein, der schon seit 1933 in Princeton lehrte, sehr um ihn: Jeden Tag holte er ihn zum Spazierengehen ab, und ihre Gespräche wirkten auf Gödel offenbar beruhigend.

In der Emigration gab Gödel die Mengenlehre auf und wandte sich der Philosophie und Relativitätstheorie zu. Im Jahre 1949 bewies er, daß die Einsteinschen Gleichungen ein rotierendes Universum zulassen, in dem Reisen in die Vergangenheit theoretisch möglich sind. Dieses Resultat präsentierte er 1950 auf dem internationalen Mathematikerkongreß, und im Jahr darauf hielt er die renommierte Gibbs-Vorlesung vor der Jahrestagung der American Mathematical Society. Doch dazwischen starb er fast an einem offenen Magengeschwür, das er wegen seines Mißtrauens gegen die Ärzte bis zuletzt ignoriert hatte. Gödels letzte Veröffentlichung erschien 1958. Danach zog er sich immer mehr zurück: Er war nur noch Haut und Knochen, litt heftig unter Verfolgungswahn und Hypochondrie. In der Öffentlichkeit trat er zuletzt 1972 auf, als die Rockefeller-Universität ihm die Ehrendoktorwürde verlieh. Drei Jahre später erhielt er die National Medal of Science, nahm sie aber aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr persönlich in Empfang.

Am 1. Juli 1976 wurde Gödel im Alter von 70 Jahren emeritiert. Doch zugleich kamen neue Verpflichtungen auf ihn zu: Seine Frau, die ihm so viele Jahre lang Lebenshilfe und Schutz geboten hatte, erlitt einen schweren Schlaganfall; nun war es an ihm, für sie zu sorgen. Das tat er auch hingebungsvoll, bis sie im Juli 1977 nach einer Notoperation fast sechs Monate lang im Krankenhaus behandelt werden mußte. Ungefähr zu dieser Zeit starb Oskar Morgenstern an Krebs; er hatte sich, nachdem Einstein 1955 gestorben war, um Gödel gekümmert. Nun mußte Gödel allein mit seinem wachsenden Verfolgungswahn fertig werden. Rasch verfiel er und hungerte sich aus Furcht vor Vergiftung buchstäblich zu Tode; am 14. Januar 1978 starb er.

Adele Gödel überlebte ihren Gatten um drei Jahre. Mit ihrem Tod am 4. Februar 1981 hinterließ sie die Rechte an Gödels Arbeiten dem Institute for Advanced Study. Gewiß war sie in Princetons snobistischer Gesellschaft eine Außenseiterin geblieben; doch sie war stolz auf das Werk ihres Mannes und wußte wahrscheinlich, daß er es ohne sie nicht hätte schaffen können.

Gödel publizierte zu Lebzeiten auffalend wenig – von allen großen Mathematikern hat nur Bernhard Riemann noch weniger veröffentlicht –, aber seine Wirkung auf die moderne Logik war enorm. In den vergangenen zehn Jahren sind weitere Aufsätze – in längst nicht mehr gebräuchlicher deutscher Kurzschrift notiert – entziffert, übersetzt und postum im dritten Band der Gesammelten Werke herausgegeben worden. Dieser Nachlaß, der unter anderem Gödels Formalisierung des sogenannten ontologischen Gottesbeweises enthält, findet ebenfalls Beachtung. Endlich lernt man nun auch außerhalb der mathematischen Fachwelt die Vielfalt von Gödels Lebenswerk kennen.

Literaturhinweise


Kurt Gödel: Leben und Werk. Von John W. Dawson jr. Springer, Berlin 1999.

Collected Works of Kurt Gödel, Band 1-3. Von Solomon Feferman et al. (Hg.). Oxford University Press, 1986, 1990, 1995.

Kurt Gödel: ein mathematischer Mythos. Von Werner DePauli-Schimanovich und Peter Weibel. Hölder-Pichler-Temspsky, Wien 1997.

Gödel, Escher, Bach. Ein Endloses Geflochtenes Band. Von Douglas R. Hofstadter. Klett-Cotta, Stuttgart 1994.

Grundprobleme der großen Philosophen/Philosophie der Neuzeit VI. Tarski, Reichenbach, Kraft, Gödel, Neurath. Von Josef Speck. Uni-TB, Stuttgart 1992.

Gödel’s Proof. Von Ernest Nagel und James R. Newman. New York University Press, 1958


Aus: Spektrum der Wissenschaft 9 / 1999, Seite 74
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