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Ljapunow-Diagramme

Es begann mit dem Versuch, das Verhalten der Bierhefe zu verstehen. Und es endete mit Graphiken, die nicht nur unter Wissenschaftlern, sondern auch in Künstlerkreisen Anerkennung fanden.

Er arbeitete jede Nacht bis vier oder fünf Uhr. Es kam sogar vor, daß er Vorlesungen hielt, nachdem er überhaupt nicht geschlafen hatte... Nur ein bis zwei Mal im Jahr ging er aus: wenn sein Bruder Sergei, der Komponist, ein Konzert gab... Es schien, als schaute er, ohne zu sehen, als lauschte er, ohne zu hören... Doch dahinter verbarg sich eine, man könnte sagen, kindliche Seelenreinheit. So beschreibt der Mathematiker Wladimir Andrejewitsch Steklow seinen Lehrer Alexander Michailowitsch Ljapunow (1857 bis 1918), den er dreißig Jahre lang begleitete. Ljapunow arbeitete von 1902 bis zu seinem Tode an der Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg. Wir wissen von ihm, daß er bieder und exzentrisch, weltfremd und herzlich gewesen sein soll und sich drei Tage nach dem Tod seiner Frau, einer Cousine, das Leben nahm. Auf seinem Grabstein stand: "Begründer der Theorie der Bewegungsstabilität". Als das Erscheinen seiner Habilitationsschrift zu diesem Thema sich 1992 zum hundertsten Mal jährte, gab es eine kommentierte englische Neuauflage des folgenreichen Werks und ein Sonderheft des "International Journal of Control" zu seinen Ehren. Der Begriff des Ljapunow-Exponenten ist für die mittlerweile weit ausgebaute Theorie der dynamischen Systeme zentral geworden. Seit nunmehr acht Jahren befasse ich mich in allerlei Variationen mit dem LjapunowExponenten. Was ist das, und wozu dient er? Grob gesprochen beschreibt er, wie schnell sich eine Störung in einem dynamischen System vergrößert oder verkleinert. Dadurch dient er zugleich als Indikator für den Unterschied zwischen Ordnung und Chaos. Das dynamische System, das mich zunächst vorrangig interessierte, produziert etwas sehr Geläufiges: Bier zum Beispiel. Die Aktivität der Hefezellen – genauer: ihrer Enzyme, die Traubenzucker in Alkohol umwandeln – ist allerdings so komplex (und teilweise unbekannt), daß ich mich bei dem Versuch, sie auf dem Computer zu simulieren, sehr schwer tat. Hefezellen arbeiten nicht gleichmäßig; ihre Aktivität schwankt mit Perioden von mehreren Sekunden bis zu einigen Minuten. Sie haben also eine innere Uhr, einen Biorhythmus. Mich interessierte, was passiert, wenn man ihnen Nahrung mit unterschiedlichen Perioden zuführt – mit ihrer eigenen oder einer abweichenden. Fügen sie sich den periodischen Störungen ihrer Umwelt, beharren sie auf ihrem Rhythmus, oder machen sie etwas ganz anderes? Dazu führten wir der Bierhefe mit einem Schläuchlein Zuckerlösung mit periodisch schwankender Geschwindigkeit zu. Die Frage ist vergleichbar mit folgender: Was würde mit unserem Wach SchlafRhythmus geschehen, wenn wir uns auf einem Planeten aufhielten, dessen Umdrehungszeit 32 oder 13 statt 24 Stunden beträgt (Spektrum der Wissenschaft, Februar 1994, Seite 74)? Die Hefe reagierte unter gewissen Bedingungen mit Anpassung. Unter anderen addierten sich einfach die eigene und die externe Schwingung; es stellte sich also Quasiperiodizität ein. Unter noch anderen Bedingungen gab es Chaos. Darüber sprach ich mit Jaime Rössler während eines Kantinenessens in der Universidad de Chile in Santiago. Dieser Physiker arbeitet jede Nacht bis vier oder fünf Uhr; es kommt sogar vor, daß er Vorlesungen hält, nachdem er überhaupt nicht geschlafen hat – und auch sonst werde ich den Gedanken nicht los, es könnte sich um einen wiedergeborenen Ljapunow handeln. Er sagte: "Ich weiß nicht, warum du dich so sehr mit diesen Hefe-Gleichungen abplagst, wenn es doch einfachere Formalismen gibt, die sich ähnlich verhalten; nimm doch die logistische Gleichung , laß den Parameter r periodisch variieren und schau, was passiert!" In der Tat: Die logistische Gleichung hat wie die Hefe für manche Werte von r ihren eigenen Rhythmus, und das periodische Variieren von r entspricht der periodischen Zuckerzufuhr.

Eine Schnapsidee zur alkoholischen Gärung

Auf den ersten Blick mag die Vorstellung, die Hefe würde in ihrem Verhalten der logistischen Gleichung folgen, etwas abwegig wirken. Denn das setzt voraus, daß es nur auf den Zustand der Hefe zu gewissen diskreten (voneinander abgesetzten) Zeitpunkten ankommt und in der Zwischenzeit nichts von Bedeutung passiert. Ein solches Modell scheint eher für Lebewesen wie gewisse Käfer angemessen, die einmal im Jahr auftauchen, durch Eiablage und – möglicherweise – Kahlfraß ihrer Nahrungspflanzen die bestimmenden Größen für die Anzahl ihrer Nachkommen im nächsten Jahr festlegen und dann sterben. Am Anfang gibt es Individuen. Die Zahl der Individuen der Generation n+1 ist proportional der Zahl in der vorhergehenden Generation n und der zur Verfügung stehenden Nahrung; die wiederum ist proportional zu dem, was die Vorgänger übriggelassen haben, also zu . Daraus ergibt sich die Gleichung , wobei r alle Umweltparameter enthält. Dagegen ist Hefe ein typischer Fall für ein kontinuierliches System: Der gegenwärtige Zustand bestimmt nicht direkt den Zustand zu einem künftigen Zeitpunkt, sondern nur die Geschwindigkeit, mit der sich der gegenwärtige Zustand in diesem Moment ändert. Das ist nicht, wie im Falle der logistischen Gleichung, durch eine Iterationsfunktion, sondern durch ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen darzustellen. Aber dennoch: Die Theorie der dynamischen Systeme lebt geradezu davon, Gemeinsamkeiten zwischen kontinuierlichen und diskreten Systemen ausfindig zu machen. Wir konnten sogar experimentell bestätigen, daß die Hefe sich wie ein diskretes System verhält. Wir maßen in gleichen Zeitabständen die Konzentration von NADH (einem Zwischenprodukt bei der Umwandlung von Zucker in Alkohol) und trugen in einem Diagramm jeden neu gemessenen Wert gegen den vorherigen auf ( gegen ). Die Punkte fügten sich zu einer Kurve, die der kopfstehenden Parabel der logistischen Gleichung ähnlich sah. Im allgemeinen darf man sich den Zustand eines dynamischen Systems als Punkt in einem abstrakten Raum vorstellen. Dieser Raum kann im Prinzip viele Dimensionen haben; oft findet sich jedoch das Wesentliche des Systems in der Reduktion (meist durch einen sogenannten Poincaré-Schnitt) auf ein ein- oder zweidimensionales diskretes System wieder. Das Gesetz eines solchen Systems ist eine Iterationsvorschrift; sie verweist zu jedem Punkt auf den Zustand (Punkt), den das System im nächsten diskreten Zeitpunkt annimmt. Der Vorschrift folgend, hüpft ein Punkt wie ein Floh durch den verfügbaren Raum (Spektrum der Wissenschaft, Juli 1991, Seite 12). Viele der Bilder von Fraktalen sind Darstellungen solchen Systemverhaltens über lange Zeiträume. Bei der Mandelbrot-Menge geht man noch einen Schritt weiter und faßt eine Schar von Systemen, die sich nur durch den Zahlenwert eines Parameters (meist r oder c genannt) unterscheiden, in einer einheitlichen Darstellung zusammen. Für unsere Untersuchungen wählte ich zwei Parameter A und B, welche die externen Einflüsse der Umwelt ausdrücken. Ein Teilbereich der (A,B)-Ebene repräsentiert also eine reichhaltige Menge denkbarer Umwelten. Die Parameter-Paare, die den Punkten dieses Bereichs entsprechen, haben unmittelbar eine physikalische Bedeutung wie Temperatur, Nahrungszufuhr oder andere externe Einflußgrößen. Die Farbe eines solchen Punktes in den hier gezeigten Diagrammen gibt an, wie sich das System in der zugehörigen Umwelt verhält: chaotisch – und wenn ja, wie chaotisch – oder periodisch – und wenn es so ist, wie schnell es sich von einer Störung erholt. Das Ausmaß des Chaos ist unter einigermaßen günstigen Umständen durch eine einzige Zahl beschreibbar, eben den Ljapunow-Exponenten (Kasten Seite 71). Periodizität ist nur eine Form nicht-chaotischen Verhaltens – allerdings für die hier betrachteten Systeme und Parameterbereiche die einzige, die vorkommt. Im allgemeinen gibt es auch noch Quasiperiodizität (Spektrum der Wissenschaft, Dezember 1994, Seite 86).

Forschung und Kunst: Pflicht und Kür

Zurück in Deutschland hatte ich den Einfall, die Rösslersche Idee graphisch darzustellen. Der Parameter r sollte dabei, der periodischen Zuckerzufuhr entsprechend, zwischen zwei Werten A und B hin- und herpendeln – aber nicht unbedingt durch schlichtes Abwechseln (ABABAB...), sondern auch nach komplizierteren Vorgaben, etwa AABAABAAB... Ich war überrascht: Die Veränderung der rSequenzen und der Bildausschnitte ergab immer wieder neue, faszinierende Graphiken. Die hier publizierten Bilder zeigen eine Auswahl. Ein Jahr nach der KantinenIdee kehrte ich mit einigen Graphiken nach Chile zurück. Mit Unterstützung von IBM Chile und dem Goethe-Institut organisierten wir dort eine Ausstellung. Es gab Berichte in den Medien und einen unerwarteten Preis: "Beste Photoausstellung" jenes Jahres, verliehen nicht etwa von Naturwissenschaftlern, sondern vom Verein der Kunstkritiker. Weitere Ausstellungen fanden in den USA, Deutschland und anderen Ländern statt (Spektrum der Wissenschaft, März 1988, Seite 40). Es folgte ein Bildband des BirkhäuserVerlages mit Gedichten und künstlerischen Photographien, die von solchen Graphiken inspiriert waren. Auf diese Weise geriet ich zunehmend in ein Doppelleben als Wissenschaftler und Graphiker. Durch Wahl der Iterationsfunktion, der ParameterSequenzen, der festen Parameter, des Ausschnittes in der (A,B)Ebene und der Farben lassen sich die Bilder ästhetisch gestalten, ähnlich wie ein Photograph seine Bilder komponiert; andererseits behalten sie ihre wissenschaftliche Aussage, denn es bleiben stets landkartenähnliche Gebilde, in denen man Regionen mit Chaos (Ljapunow-Exponent ) und solche mit Periodizität in Abhängigkeit von den Kontrollparametern A und B ausfindig machen kann. Diese Regionen zeichnen sich am besten ab, wenn man positive und negative Werte von durch einen starken Farbkontrast unterscheidet. Auf diese Weise erscheinen Figuren im Bildvordergrund, denen Periodizität entspricht, und ein Bildhintergrund, in dem Chaos herrscht. Für die Iterationsfunktion muß man sich nicht auf die logistische Gleichung beschränken; es steht einem ein unerschöpflicher Vorrat zur Verfügung. Zusammen mit den Studenten Andreas Gasper, Martin Allin und Thomas Dütemeyer (unterstützt von der Engel-Stiftung in Marl) untersuchte ich eine Auswahl von Funktionen, insbesondere solche, die im Zusammenhang mit realen physikalischen, chemischen oder biologischen Systemen stehen (Kasten auf Seite 72). Eine Frage drängt sich auf: Sind diese Figuren Fraktale? Die Antwort hängt davon ab, was man unter einem Fraktal versteht. Definiert man es, wie meist üblich, als ein Gebilde mit nicht-ganzzahliger Dimension, dann sind es keine (sie sind nicht so filigran, sondern konventionell zweidimensional). Andererseits finden sich an den Rändern der Figuren immer wieder dieselben Gebilde in allen Größenmaßstäben; das ist die sogenannte Selbstähnlichkeit – eine Eigenschaft von Fraktalen. Gebilde dieses Typs haben den Namen fat fractals ("dicke Fraktale") erhalten. Es gibt sogar ein Maß dafür, wie dick ein Fraktal ist. Ähnlich wie die fraktale Dimension selbst ist es über ein Kästchenzählverfahren (box-counting) definiert (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, September 1989, Seite 52). Vereinfacht kann man sagen, daß von einem dicken Fraktal nach Abzug eines zweidimensionalen Inneren noch ein Gebilde nicht-ganzzahliger Dimension übrigbleibt. Diese Restdimension beträgt zwischen 1,1 und 1,7 für die Bilder dieses Beitrags. Die in jeder noch so kleinen Größenordnung auftretenden einander ähnlichen Inseln von Periodizität im chaotischen Bildhintergrund vermitteln eine haarsträubende Botschaft: Chaos und Ordnung können beliebig nahe beieinander liegen. Dies ist besonders gut sichtbar in dem nebenstehenden Bild sowie auf Seite 71 links oben und rechts unten. Kleinste Störungen der Kontrollparameter A und B können das Verhalten völlig umschlagen lassen. Mehr noch: Jede noch so kleine Insel enthält Linien mit , sogenannte superstabile Kurven. Auf ihnen erholt sich das System unendlich schnell von einer Störung, während gleich nebenan – im Meer des chaotischen Bildhintergrundes – Störungen exponentiell anwachsen, bis sie das ganze Geschehen vollständig überschatten. Die LjapunowDiagramme erlauben, Chaos und Ordnung wie auf einer Landkarte zu orten. Nicht nur das: Es kommen außerdem verschiedene Ausmaße dieser Verhaltensmuster zum Vorschein, gleichsam Gräben maximaler Ordnung oder Gipfel des Chaos. Es gibt aber einen Unterschied zu den geographischen Karten: Nicht immer ist ein Punkt einem bestimmten Ljapunow-Exponenten eindeutig zuzuordnen; vielmehr liegen häufig zwei oder mehr Äste übereinander (siehe beispielsweise Seite 67 unten). Es kommt sogar vor, daß bei gleichen Werten von A und B, je nach Anfangswert , sich Ordnung oder Chaos ergibt. Dieses typische Merkmal nichtlinearer Prozesse besagt, daß gleiche Umweltbedingungen nicht immer gleiche Folgen haben: Auch die Vorgeschichte kann mitspielen. Ferner scheinen manche Äste (siehe etwa Seite 70 oben) durchsichtig zu sein. Als Ursache dafür hat sich herausgestellt, daß die , die zu dem einen oder dem anderen Ast gehören, in fraktaler Weise ineinandergeschachtelt sind; hier bewirken also kleinste Änderungen in einen drastischen Wechsel des dynamischen Verhaltens. Die Ljapunow-Diagramme zeigen also nicht nur Regionen, in denen Chaos herrscht, das heißt, in denen das schnelle Anwachsen kleiner Störungen der Systemvariablen (zum Beispiel Insektenzahlen oder biochemische Konzentrationen) Voraussagen erschwert bis unmöglich macht. Sie zeigen uns auch Regionen, in denen eine kleine Änderung der Umweltparameter (A und B) oder der Anfangswerte die Art des Verhaltens radikal verändert: von Chaos zu Periodizität oder umgekehrt. Ungewiß ist also nicht nur der spätere Wert einer Meßgröße, sondern ob das Verhalten im ganzen vorhersagbar ist oder nicht.

Literaturhinweise

- Properties of Strange Attractors in Yeast Glycolysis. Von Mario Markus, Dietrich Kuschmitz und Benno Hess in: Biophysical Chemistry, Band 22, Seiten 95 bis 105, 1985.

– Modulated Nonlinear Processes and a Novel Mechanism to Induce Chaos. Von J. Rössler, M. Kiwi, B. Hess und M. Markus in: The Physical Review, Band 39, Seiten 5954 bis 5960, 1989.

– Verknüpfungen. Chaos und Ordnung inspirieren künstlerische Fotografie und Literatur. Herausgegeben von Horst-Joachim Hoffmann. Birkhäuser, Basel 1992.

– Fraktale Geometrie. Von Kenneth J. Falconer. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1993.

– Postmoderne und Naturwissenschaften. Von Mario Markus in: Quanten, Chaos und Dämonen. Herausgegeben von Klaus Mainzer und Walter Schirrmacher. BI, Mannheim 1994.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 4 / 1995, Seite 66
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
4 / 1995

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 4 / 1995

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