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Magnete, Determinanten und Fourier-Summen

Durch Verbindung verschiedener Teilgebiete der Mathematik gelingt es, das Verhalten eines Magneten unterhalb wie oberhalb einer Phasensprungtemperatur zu beschreiben.


"Die Natur macht keine Sprünge", sagt ein vielzitiertes Wort von Gottfried Wilhelm von Leibniz. Wenn sie es dennoch tut, ist das meist etwas schwerer zu erklären. Paradebeispiele sind die Phasenübergänge, etwa von fest nach flüssig oder von magnetisch nach nichtmagnetisch. Die Kräfte zwischen den einzelnen Molekülen kann man mit Fug als stetig annehmen: Kleine Ursachen haben kleine Folgen. Gleichwohl kann auf der makroskopischen Ebene eine winzige Erwärmung oder Abkühlung eine radikale Änderung der Struktur zur Folge haben.

Wird beispielsweise ein Eisenmagnet erhitzt, dann geht sein Magnetismus zurück. Das ist zunächst nicht weiter verwunderlich: Man stellt sich den Magneten aus vielen kleinen Elementarmagneten bestehend vor, die bei wachsender Temperatur durch ihre Bewegung mehr und mehr in Unordnung geraten und so ein immer geringeres summarisches Magnetfeld erzeugen (Bild 1). Erstaunlicherweise verschwindet jedoch bei einer Temperatur von 1317 Grad Celsius, dem sogenannten Curie-Punkt, der Magnetismus völlig und bleibt oberhalb dieses Punktes identisch null. Dagegen kehrt er beim Abkühlen wieder, beginnend am Curie-Punkt.

Es geht darum, diese makroskopische Eigenschaft des Eisens über mikroskopische Wechselwirkungen zu erklären. Eine Möglichkeit dafür bietet zumindest im Prinzip das nach dem deutschen Physiker Ernst Ising benannte Modell (siehe "Die Renormierungsgruppe" von Kenneth G. Wilson, Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1979, Seite 66): Man denkt sich in jedem Kreuzungspunkt eines riesigen Gitters einen Elementarmagneten und berechnet die Korrelation zwischen zwei exemplarischen, weit voneinander entfernten dieser Magnete, das heißt den Einfluß, den sie durch Vermittlung der dazwischenliegenden Magnete aufeinander ausüben. Dann und nur dann, wenn diese Korrelation von null verschieden ist, wird sich ein globales Magnetfeld einstellen.

Die Wirkung der beiden Magnete aufeinander nimmt also einen Weg über sehr viele Zwischenstationen, und nicht nur das: Es gibt eine astronomische Anzahl möglicher Wege, deren Beiträge sämtlich berechnet und aufsummiert werden müssen. Es war darum eine große Überraschung für die Fachwelt, als es 1948 Lars Onsager ( 1903 bis 1976, Nobelpreis für Chemie 1968) gelang, das Ising-Modell für ein zweidimensionales Gitter bis zum Ende durchzurechnen. Es ergab sich, daß der Magnetismus M, wenn sich die Temperatur T dem Curie-Punkt Tc nähert, wie die achte Wurzel aus Tc – T abfällt (Bild 2).

Onsager selbst hat keinen Beweis seiner Formel veröffentlicht. Heute sind mehrere Beweise bekannt, und wohl jeder erforderte die Entwicklung einer eigenen Theorie. Eine dieser Theorien knüpft nun eine Verbindung zu dem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Auflösung linearer Gleichungssysteme, Matrizen und insbesondere Determinanten befaßt: der linearen Algebra.

Zu einem linearen Gleichungssystem gehört eine Matrix, ein quadratisches Schema aus n x n Zahlen. Aus diesen n2 Koeffizienten kann man eine weitere Zahl ausrechnen, die darüber Auskunft gibt, ob das Gleichungssystem lösbar ist: die Determinante. Bei einer 2 x 2-Matrix

A  =  a   b
c   d


ist die Determinante gegeben durch det A = ad – bc; für eine 3 x 3-Matrix

A  =  a   b   c
d   e   f
g   h   k


muß man bereits

det A = aek + bfg + cdhgechfakdb

berechnen. lm allgemeinen Fall schließlich ist die Determinante eine Summe von n! = 1 x 2 x 3 x ... xn Termen, die abwechselnd mit Plus- und Minuszeichen zu versehen sind. Das ist für große n eine gigantische Anzahl.

Die Korrelation zwischen zwei Elementarmagneten ist ebenfalls eine nach bestimmten Gesetzen gebildete Summe. Und wahrhaftig gelang es, eine Matrix zu finden, deren Determinante gerade der für die Korrelation auszurechnenden Summe entsprach.

Damit allein war noch nicht viel gewonnen, denn die Berechnung von Determinanten ist alles andere als einfach und für n in der hier interessanten Größenordnung von 1023 im allgemeinen hoffnungslos. Glücklicherweise hat jedoch die Matrix eine spezielle Struktur: Sämtliche Koeffizienten in der Hauptdiagonalen (der Diagonalen von links oben nach rechts unten) stimmen überein, und Entsprechendes gilt für die Parallelen zur Hauptdiagonalen. Das erklärt sich dadurch, daß die Elementarmagnete alle gleichartig sind und deshalb ihre Wirkung aufeinander nicht von ihren individuellen Eigenschaften, sondern nur von ihrer Lage zueinander abhängt. Matrizen dieser Art und ihre Determinanten tragen den Namen ihres Ersterforschers Otto Toeplitz (1881 bis 1940), der in Göttingen, Kiel und Bonn wirkte, bis er aufgrund der nationalsozialistischen Rassengesetze 1933 entlassen wurde.

Angeregt durch die Onsagersche Formel haben sich in den fünfziger und sechziger Jahren zahlreiche Mathematiker, darunter Gabor Szegö (1895 bis 1985), Mark Kac (1914 bis 1984) und Isidore I. Hirschman (1922 bis 1990), mit großen Toeplitz-Determinanten beschäftigt. Es zeigte sich, daß ein Brückenschlag zu einem weiteren Teilgebiet der Mathematik, der Theorie der Fourier-Reihen, hilfreich ist ( vergleiche "Die Fourier-Transformation" von Ronald N. Bracewell, Spektrum der Wissenschaft, August 1989, Seite 90).

Eine Toeplitz-Matrix ist bereits eindeutig bestimmt durch Angabe des Koeffizienten a0 in der Hauptdiagonalen sowie der Koeffizienten a1, a2, ... und a–1, a–2, ... in den unteren beziehungsweise oberen Parallelen zur Hauptdiagonale. Man bilde nun eine Fourier-Summe mit diesen Koeffizienten, das heißt eine periodische Funktion, zusammengesetzt aus einer Konstanten der Größe a0, einer Grundschwingung der Intensität a1 beziehungsweise a–1, einer ersten Oberschwingung der Intensität a2 beziehungsweise a–2 und so weiter. Diese Funktion heißt das Symbol der Toeplitz-Matrix.

Es gelang, Toeplitz-Determinanten für große Werte von n zu bestimmen, unter der Voraussetzung, daß das Symbol eine glatte (zum Beispiel differenzierbare) Funktion ist – das heißt, ihr Graph darf weder Sprünge noch Knicke haben – und keine Nullstelle aufweist (Bild 3). Für die zum Ising-Modell gehörigen Matrizen war diese Bedingung glücklicherweise erfüllt, und somit konnte die Onsager-Formel bewiesen werden.

Damit war der Magnetismus des zweidimensionalen Ising-Modells zwar für Temperaturen unterhalb, nicht aber oberhalb von Tc beschrieben. Insbesondere fehlte ein Modell, das beiderseits des Phasensprungs gültig war. Ein Schritt in diese Richtung gelang in den sechziger Jahren dem Physiker Michael R. Fisher von der Universität von Maryland in College Park und dem Mathematiker Robert E. Hartwig von der Staatsuniversität von North Carolina in Raleigh. Sie zeigten, daß zu Ising-Modellen mit einer Temperatur am Curie-Punkt oder darüber Toeplitz-Matrizen gehören, deren Symbole Sprünge oder Nullstellen aufweisen, und formulierten eine Hypothese über das Verhalten der entsprechenden Determinanten.

Eine saubere Formulierung der Hypothese würde den Rahmen dieses Beitrags sprengen; es müssen darum hier einige Andeutungen genügen. Falls das Symbol glatt und nullstellenfrei ist, nähert sich die Determinante – von einer geeigneten Normierung abgesehen – einer Konstanten, wenn die Matrizengröße n gegen unendlich strebt. Sofern Sprünge oder Nullstellen vorliegen, läßt sich die Determinante – wieder bis auf Normierung – durch die Formel Cnq beschreiben, die abermals um so besser zutrifft, je größer n ist. Der Exponent q, der angibt, wie schnell die Determinante mit zunehmendem n gegen unendlich (für q > O) beziehungsweise 0 (für q < O) strebt, läßt sich aus Eigenschaften der Sprünge und der Nullstellen ausrechnen.

Die Formel, die Fisher und Hartwig dafür angaben, war zunächst nichts weiter als eine kühne Vermutung. In den siebziger Jahren bewiesen Harold Widom von der Universität von Kalifornien in Santa Cruz und Estelle Basor von der California Polytechnic State University in San Luis Obispo wichtige Spezialfälle; erst in den achtziger Jahren gelang Steffen Roch, Bernd Silbermann und mir an der Technischen Universität Chemnitz ein allgemeiner Beweis. Damit ist heute mathematisch streng bewiesen, daß für das zweidimensionale Ising-Modell sowohl am Curie-Punkt als auch darüber die Gleichung M(T) = 0 gilt.

Damit ist das Ziel einer Beschreibung realer Magneten noch nicht gänzlich erreicht, denn die sind dreidimensional. Aber das ist bereits ein anderes Thema.

Es war wohl der französische Mathematiker Pierre Simon de Laplace (1749 bis 1827), der einmal gesagt hat, man solle ohne Scheu auf die Lösung eines großen Problems zusteuern – selbst wenn die Lösung nicht gelinge, würden sich auf dem Wege dorthin genügend viele Nebenprodukte von eigenem Wert ergeben. Wir in Chemnitz haben Glück gehabt, denn wir konnten unser Ziel, einen Beweis der Hypothese von Fisher und Hartwig, erreichen. Als wesentlich wichtiger erscheint mir aber der Umstand, daß wir bei der Arbeit am Beweis eine ganze Reihe von Ideen und Methoden entwickelt haben, die mittlerweile in die Operatorentheorie und die numerische Analysis eingegangen sind und für die es viele weitere Anwendungen außerhalb der Theorie der Toeplitz-Determinanten gibt, zum Beispiel in der Strukturtheorie von Operatoralgebren und bei der Untersuchung verschiedener Näherungsverfahren zur Lösung von Integralgleichungen.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 3 / 1994, Seite 25
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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