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Fraktale Geometrie

Mandelbrot dreidimensional

Es war unerwartet schwierig, den unglaublichen Formenreichtum der zweidimensionalen Mandelbrot-Menge in einem räumlichen Gebilde zu realisieren. Vor wenigen Monaten ist es gelungen - und wieder eröffnen sich atemberaubende Ansichten.
Mandelbrot dreidimensional
Sie ist wohl das populärste Objekt der fraktalen Geometrie: die Mandelbrot- Menge. Nachdem Benoît Mandelbrot 1978 die Menge, die heute seinen Namen trägt, ans Licht der Welt geholt hatte, investierten Amateure wie Profis Millionen von Rechenzeitstunden, um das stachlige "Apfelmännchen" mit den unzähligen haarigen Auswüchsen immer noch schöner auf den Bildschirm oder zu Papier zu bringen.

Dabei ist das Gebilde nach den strengeren Definitionen gar kein Fraktal, weil ihm die wesentliche Eigenschaft der Selbstähnlichkeit fehlt. Schaut man sich den Rand der Mandelbrot- Menge unter immer stärkerer Vergrößerung an, so entdeckt man eben nicht immer wieder dieselben Strukturen – das wäre Selbstähnlichkeit –, sondern etwas viel Besseres: immer wieder neue Strukturen (Spektrum der Wissenschaft 9/1989, S. 52). Selbst wenn die Mandelbrot-Euphorie inzwischen etwas abgeklungen ist: Ein Zoom in das Tal der Seepferdchen hat von seiner Faszination nichts verloren.

Auch über mangelnde Zuwendung aus der Fachwelt kann sich diese sehr spezielle Teilmenge der Ebene nicht beklagen. Aber die Mathematiker, die sonst nichts Eiligeres zu tun haben, als jedes Ergebnis von zwei auf drei, vier, ganz viele oder sogar unendlich viele Dimensionen zu verallgemeinern, hatten just in diesem Fall wenig Erfolg.

Das liegt nicht daran, dass Fraktale im Allgemeinen auf zwei Dimensionen beschränkt wären. Im Gegenteil, Mandelbrot selbst hat dreidimensionale Fraktale überall in der belebten wie unbelebten Natur – im Brokkoligemüse wie in Küstenlinien – ausfindig gemacht und damit ihre Popularität enorm gefördert. Vielmehr stießen die Freunde der schönen bunten Computerbilder – zumindest damals – auf technische Hindernisse…
April 2010

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft April 2010

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