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Mathematik: Mathematik der Knoten

Wie eine Theorie entsteht Aus dem Französischen von Hainer Kober. Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek 2000. 160 Seiten, DM 16,90


Die Knotentheorie, heute ein Teilgebiet der Topologie, beschäftigt sich zwar mit abstrakten Objekten, aber deren Realisierungen sind genau die Knoten, die jedem von uns aus dem Alltag bekannt sind. Häufig kann man daher Argumente der Theorie am konkreten Knoten nachvollziehen, ohne auf den mathematischen Formalismus zurückgreifen zu müssen.

Der in Frankreich geborene russische Knotentheoretiker Alexei Sossinsky, Mitglied der russischen Akademie der Wissenschaften und Autor zahlreicher Bücher, hat sich viel vorgenommen: Vom Leser mit gründlicher wissenschaftlicher Vorbildung bis zum neugierigen mathematischen Analphabeten soll jeder von der Lektüre profitieren können. Das ist so unmöglich wie die Quadratur des Kreises; aber wie gut ist seine Näherungslösung?

Ein mathematisch geschulter Leser, auch wenn er kein Spezialist in Knotentheorie ist, wird exzellent bedient; für den interessierten Laien sieht es nicht ganz so rosig aus. Zwar gibt es immer wieder Perlen der Darstellungskunst, aber sie sind nicht leicht zu finden. Man halte sich auf keinen Fall an die Zusage des Autors, die einzelnen Kapitel seien voneinander unabhängig und in beliebiger Reihenfolge zu lesen!

Besser, man beginnt ganz konservativ mit Kapitel 1 und lernt dort sehr schnell das zentrale, noch immer nicht vollständig gelöste Problem der Knotentheorie kennen, das Klassifikationsproblem. Wie kann man einen vorgelegten Knoten durch mathematische Eigenschaften so beschreiben, dass man ihn in beliebig deformierter Gestalt wiedererkennt? Gleichzeitig erfährt man etwas über die enge Verbindung von Mathematik und Physik im 19. Jahrhundert: Was hatten Lord Kelvins Wirbelatome, die damals im Zusammenhang mit einer Materietheorie diskutiert wurden, mit der Klassifikation von Knoten zu tun? Ein hervorragender Exkurs handelt von Wahrnehmung und Mathematik; leider macht der Autor häufig den Fehler, die aufschlussreichen Stellungnahmen über Arbeitsweisen und Motivationen von Mathematikern in Exkurse zu verbannen und damit dem Leser das Überspringen nahe zu legen.

Mit den Zöpfen ist es so ähnlich wie mit den Knoten: Die geometrische Realisierung mancher abstrakten mathematischen Zöpfe ergibt genau die wohl bekannte Mädchenfrisur – auch wenn ich mir so manchen mathematischen Zopf sicher niemals hätte flechten lassen. In Kapitel 2 geht es um den Satz von Alexander (1923), der besagt, dass man jeden Knoten durch Schließung eines bestimmten Zopfes erhält. Wer sich nicht von ungeklärten Begriffen abschrecken lässt und das Ziel, die Lösung des Klassifikationsproblems, im Auge behält, kann aus den guten und anschaulichen Beschreibungen zu diesem Satz viel über Beweismethoden und den Umgang mit Zöpfen und Knoten lernen.

Die nachfolgenden Kapitel schildern in chronologischer Reihenfolge zum einen verschiedene Ansätze, um das Klassifikationsproblem zu vereinfachen, vor allem die Ergebnisse von Kurt Reidemeister 1928, und zum anderen die besonders seit den siebziger Jahren mit viel Einsatz geführte und durch Erfolg gekrönte Suche nach so genannten Invarianten, die das Endziel der Klassifikation in greifbare Nähe gerückt haben (vergleiche Spektrum der Wissenschaft 1/1991, S. 66). Invarianten sind algebraische Objekte (zum Beispiel das Jones-Polynom), die einer ebenen Darstellung eines Knotens zugeordnet werden, mit der Eigenschaft, dass sie sich bei bestimmten "zugelassenen" Manipulationen des Knotens nicht verändern. Sie dienen dazu, das so genannte Vergleichsproblem zu lösen: Stellen zwei ebene Darstellungen eines Knotens den gleichen oder unterschiedliche Knoten dar?

Mit zunehmender Komplexität der mathematischen Theorie wird unweigerlich auch die nach wie vor hervorragende, nahezu ohne Formeln geführte Argumentation des Autors immer schwieriger. Die Zahl der nicht definierten Termini und der Rückgriffe auf vorhergehende Kapitel wird immer größer, und der Leser ohne mathematische Vorbildung muss sehr viel Durchhaltevermögen aufbringen. Dies gilt besonders für die im letzten Kapitel geschilderten, bis heute ungeklärten Beziehungen zwischen Knotentheorie und einer der wichtigsten Disziplinen der modernen Physik, der Quantenfeldtheorie.

Was das Buch auf keinen Fall liefert, ist die im Vorspann versprochene Geschichte der Knotentheorie. Sossinsky bemüht sich weder um verlässliche Angaben von Daten und Fakten noch um die Klärung der Hintergründe, ist auch nicht besonders daran interessiert, wie aus seinem Vorwort zu entnehmen ist, und nicht sehr belesen, wie aus den wenigen im Text verstreuten historischen Bemerkungen hervorgeht.

Dieses Buch bietet nicht in erster Linie tief gehende Informationen zu einer mathematischen Theorie und deren historischer Entwicklung, sondern etwas anderes, nicht minder Spannendes. Sossinsky gelingt es besonders in den letzten Kapiteln, die eigene Begeisterung für seinen Forschungsgegenstand überzeugend zu vermitteln und dabei auch seine Auffassungen von wissenschaftlichem Arbeiten, von Zielsetzungen, Lösungsversuchen, von Erfolgen und auch vom Scheitern plastisch darzustellen.

Diese Einblicke in den individuellen Forschungsalltag eines Mathematikers, die viel über sein Selbstverständnis als Wissenschaftler und seine Einschätzungen von der eigenen Disziplin und deren Bezügen zu Natur und Geisteswissenschaft aussagen, machen das Buch trotz mancher struktureller Mängel lesenswert.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 6 / 2001, Seite 106
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
6 / 2001

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 6 / 2001

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