Die Beziehung zwischen einem Problem und seinen Lösungen ist – nun ja – eben problematisch. Das gilt insbesondere für die Lieblingsprobleme der Algebraiker, die Polynomgleichungen.

Es geht darum, für welche Zahlen z ein Polynom, das heißt eine Funktion der Form p(z) = zⁿ + a_n-1z^n-1 + … + a₂z² + a₁z + a₀, den Wert null annimmt. Diese Lösungen der Gleichung p(z) = 0 heißen die Nullstellen des Polynoms p und die Konstanten a₀, a₁, …, a_n-1 seine Koeffizienten. Die höchste vorkommende Potenz von z, die oben mit n bezeichnet ist, nennt man die Ordnung des Polynoms, und wenn es nur auf die Nullstellen ankommt, darf man sich auf den Fall beschränken, dass der höchste Koeffizient a_n gleich eins ist. (Wäre er ungleich eins, könnte man das ganze Polynom durch a_n dividieren, ohne dass sich an den Nullstellen etwas ändert: Wenn p(z) = 0 ist, dann ist offensichtlich auch p(z)/a_n = 0.)

Die gute Nachricht lautet: Auf die Frage, ob eine Polynomgleichung überhaupt Lösungen hat, gibt es eine erschöpfende Antwort. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass ein Polynom der Ordnung n stets genau n Nullstellen hat. Man muss allerdings damit rechnen, dass es sich um komplexe Zahlen handelt, also zusammengesetzt aus einer reellen Zahl und einem Vielfachen der berüchtigten imaginären Einheit i, die man sich als Wurzel aus –1 vorzustellen hat. Komplexe Zahlen pflegt man darzustellen, indem man den Realteil entlang der x-Achse und den Imaginärteil entlang der y-Achse aufträgt. Irgendwo in dieser komplexen Zahlenebene liegen also die Nullstellen eines Polynoms.

Die schlechte Nachricht: Darüber, wo die Nullstellen in der Ebene liegen, sagt einem das Polynom herzlich wenig …