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Sand und Gele: Mit Zufall und Statistik zum Ziel

Physikalische Forschung schreitet nicht immer geradlinig voran. Das beste Beispiel bieten Systeme, deren Eigenschaften sich schlagartig ändern, wenn man winzige Störungen verursacht. Für ihre Beschreibung sind neuartige Modelle vonnöten, die auf statistische Konzepte zurückgreifen.


Kritische Phänomene sind in der Physik allgegenwärtig – auch im Alltag. Man braucht beispielsweise nur Sand auf einen Haufen rieseln zu lassen oder Wasser zum Kochen zu bringen: Beim Erreichen des kritischen Punktes kann bereits ein zusätzliches Sandkorn eine Lawine auslösen; im kochenden Wasser existieren an der kritischen Temperatur die flüssige und die gasförmige Phase nebeneinander; sie stimmen in all ihren Eigenschaften überein und sind nicht zu unterscheiden.

Für den Theoretiker stellen solche Phänomene eine große Herausforderung dar. Erste Arbeiten hierzu stammen von dem niederländischen Physiker Johannes van der Waals, der in den 1870er Jahren den kritischen Punkt einer Flüssigkeit untersuchte, sowie von seinem französischen Kollegen Pierre Curie, der 1894 die Temperaturabhängigkeit des Diamagnetismus entdeckte. Als Kenneth G. Wilson 1971 ein mathematisches Rezept fand, mit dem sich derart unterschiedliche kritische Phänomene wie kochendes Wasser, die Magnetisierung oder die Kräfte zwischen den fundamentalen Bausteinen der Materie, den Quarks, beschreiben lassen, löste dies in der Wissenschaft eine kleine Revolution aus (wofür Wilson 1982 mit dem Nobelpreis ausgezeichnet wurde). Sich auf diese Universalität berufend, fassen Physiker nun die unterschiedlichsten Vorgänge, die in der Nähe eines kritischen Punktes zu beobachten sind, in einer einheitlichen Beschreibung zusammen. Mit einer Erweiterung dieses neuartigen Ansatzes gelang es dem französischen Physiker Pierre-Gilles de Gennes, in flüssigen Kristallen und Polymerlösungen Phasenübergänge zu beschreiben. Der Bedeutung seiner Arbeit gemäß wurde auch er – 1991 – mit dem Physik-Nobelpreis ausgezeichnet.

Vor rund 25 Jahren begann eine Gruppe von Festkörperphysikern um de Gennes, die Methoden der statistischen Physik, die für atomare Systeme entwickelt worden waren, auch auf solche Systeme anzuwenden, deren Teilchen deutlich größer als einzelne Atome sind – so genannte Cluster. Diese Gebilde können aus Hunderten bis Zehntausenden von Atomen zusammengesetzt sein. Bei solchen makroskopischen stochastischen Systemen kann es sich beispielsweise um ein Gemisch von leitenden und isolierenden Körnern handeln, das oberhalb einer kritischen Metallkonzentration elektrisch leitend wird. Ein weiteres Beispiel ist das Verhalten eines porösen Mediums, das oberhalb eines kritischen Druckes von einer Flüssigkeit durchdrungen, aber nicht durchnässt wird. Oder eine Lösung aus Polymeren, die oberhalb einer kritischen Konzentration von Molekülen, welche die Polymere miteinander vernetzen, zu einem deutlich festeren Stoff wird, einem so genannten Gel.

Wenngleich diesen Beispielen unterschiedliche Phänomene zu Grunde liegen, können sie mithilfe ein und desselben Modells – nämlich dem der Perkolation – zu einer Typenklasse zusammengefasst werden.

Die Perkolationstheorie bezeichnet eine Klasse von Modellen, bei denen das Zusammenspiel von Geometrie, Topologie und Zufall untersucht werden kann. Der Begriff ist dem lateinischen percolare (durchsickern) entlehnt. Das erste Perkolationsmodell führte 1957 der Mathematiker John M. Hammersley ein, und zwar für den Fall eines verstopften Luftfilters, dessen Kanäle nach dem Zufallsprinzip blockiert sind.

Johannisbeergelee und Clusterphysik

Ein solches Phänomen lässt sich auf dem Computer simulieren. Ausgangspunkt ist ein regelmäßiges Gitter (etwa ein zwischen zwei Elektroden platziertes Gitter aus elektrischen Leitern), bei dem man zufällig Verbindungen durchschneidet. Der noch nicht unterbrochene Gitteranteil (also der perkolierende Cluster) wird zusehends kleiner, bis schließlich eine kritische Konzentration unterbrochener Verbindungen erreicht wird, oberhalb derer nichts mehr "durchsickern" kann. Intakte Verbindungen sind dann nur noch innerhalb kleiner, voneinander getrennter Cluster vorhanden. Wenn man umgekehrt Verbindungen sukzessive aufbaut, versteht man unter der kritischen Konzentration diejenige, ab der das Gitter etwas durchlässt – im genannten Beispiel also Strom zwischen den beiden Elektroden fließt.

Dieses Modell lässt sich auch auf die Bildung von Gelen übertragen (siehe "Gele", Spektrum der Wissenschaft 3/1981, S. 78). Die einzelnen Molekülketten in einem Polymer werden durch Brücken vernetzt. Steigt deren Anzahl, werden die einzelnen Cluster in der Lösung immer größer. Die Viskosität der Flüssigkeit, des so genannten Sols, nimmt zu, bis die Perkolationsschwelle erreicht ist – hier der Augenblick der Gelierung, bei der sich zum ersten Mal ein großer zusammenhängender Cluster bildet. Hiermit entsteht ein Gel, eine weiche, elastische Masse gerade oberhalb des kritischen Wertes. Aus dem Alltag ist ein einfaches Beispiel vertraut: der Johannisbeergelee, der durch das fruchteigene Pektin geliert.

Ob nun elastische Eigenschaften eines Gels, die elektrische Leitfähigkeit eines Gitters oder die Durchlässigkeit eines Filters: Stets folgt die Abhängigkeit von dem Anteil der Verbindungsbrücken oder Durchgangskanäle den gleichen Regeln. Wie die Arbeit von de Gennes zeigt, hilft das Perkolationsmodell auch zu verstehen, wie eine Flüssigkeit unter Druck ein poröses Medium durchdringen kann. Dieser Ansatz ist insbesondere für die Erdölindustrie von Interesse: Im Zuge der Sekundärförderung wird Wasser in die Lagerstätte eingepresst, um das in porösem Gestein gespeicherte Rohöl unter hohem Druck auszuspülen.

Für alle zitierten Beispiele gilt, dass sich die Eigenschaften des gesamten Phänomens nicht durch die Untersuchung lokaler Eigenschaften bestimmen lassen. Nimmt man beispielsweise ein numerisches Modell einer Gitterverbindung, so ist es für die Bestimmung des kritischen Verhaltens unwesentlich, ob das Gitter periodisch ist oder nicht.

Die Allgemeingültigkeit oder Universalität ergibt sich aus dem Umstand, dass das System am kritischen Punkt "selbstähnlich" ist. Das bedeutet, dass sich die Untereinheiten des perkolierenden Clusters nicht von diesem selbst unterscheiden lassen. Das Verhalten an der Perkolationsschwelle (etwa das Elastizitätsverhalten eines Gels) macht deutlich, dass es sich bei dem Perkolationsmodell um ein Fraktal handelt, wie es auch bei anderen kritischen Phänomenen der Thermodynamik – beispielsweise bei der Magnetisierung eines Materials bei Erreichen der Curie-Temperatur – zu beobachten ist.

Perkolationsmodell erweitert Mechanik

Die Physik der Perkolation beziehungsweise die der Fraktale lässt sich auf solche Systeme anwenden, die in der Regel selbstähnlich sind. Diese Bedingung ist in der Praxis natürlich nicht für beliebig viele Größenordnungen erfüllt, sondern vielleicht nur für drei oder vier Zehnerpotenzen der Größenskala. Die Pionierarbeiten von Roland Lenormand in Toulouse über die so genannte Invasionsperkolation eines porösen Mediums waren für die Erdölindustrie besonders interessant. Lenormand, der heute am Französischen Institut für Erdöl arbeitet, hält eine solche Beschreibung inzwischen allerdings selbst für unzureichend, um sämtliche Vorgänge in einem Erdölfeld zu erfassen, da dort die geologischen Bedingungen (wie etwa Erdspalten) über mehrere Größenordnungen doch recht heterogen sind.

Die Theoretiker unterscheiden die zu behandelnden Systeme nach dem Grad ihrer Unordnung. Eine gewöhnliche Legierung beispielsweise weist eine "geringe Unordnung" auf. Das bedeutet, dass sich die Eigenschaften des Gesamtsystems aus einer Mittelung von lokal gemessenen Werten ergeben. Man spricht hier von einer Homogenisierung. Das Konzept der "starken Unordnung" dient hingegen dazu, Systeme in der Umgebung einer Perkolationsschwelle zu beschreiben, wenn gleichzeitig mehrere Größenskalen eine Rolle spielen (wie in einem Bohrkern bei einer Invasionsperkolation). In der Praxis stellt sich allerdings auch das Problem einer "sehr starken Unordnung", für das außer einer empirischen Beschreibung bislang noch keine befriedigende Lösung gefunden werden konnte. Die geschilderten Schwierigkeiten scheinen den beträchtlichen numerischen Aufwand in Frage zu stellen, der bislang zur Lösung solcher – nennen wir sie der Einfachheit halber fraktaler – Probleme betrieben wurde. Denn es wurden zwar viele beeindruckende Bilder, aber kaum Lösungsansätze für die existierenden Problemfälle hervorgebracht.

Dennoch sind wir der Ansicht, dass die Anstrengungen der Physiker zu diesem Thema in den letzten 25 Jahren nicht fruchtlos wa-ren. Immerhin wurden klassische Fragestellungen der Physik und der Mechanik neu diskutiert und in ein neues Licht gerückt. Dabei spielt das Konzept der nichtlokalen geometrischen Auswirkungen der Unordnung eine zentrale Rolle.

Diese Aussage können wir am Beispiel eines körnigen Mediums veranschaulichen. Als wir damals mit unserer Forschungsgruppe die Arbeit zu diesem Thema aufnahmen, wollten wir anhand eines Gemisches aus leitenden und isolierenden Körnern eine Perkolation simulieren. Wir sahen uns aber schon bald gezwungen, uns erst mit grundlegenden Problemen des mechanischen Verhaltens solcher Medien auseinander zu setzen. Es wurde klar, dass auch bei solchen Systemen das lokale Verhalten sehr unterschiedlich ist. Die Pionierarbeiten von P. Dantu vom Zentrallaboratorium der Straßenbaubehörde in Paris hatten gezeigt, dass mechanische Spannungen zusammenhängenden Wegen folgen, die jedoch äußerst ungleich über das Granulat verteilt sind. (Ähnliches gilt auch für den Verlauf von Rissen, siehe Grafik links unten.) Da sich seine mechanischen Eigenschaften offensichtlich nicht aus der Kenntnis eines einzelnen durchschnittlichen Kontakts zwischen zwei Körnern herleiten ließen, verallgemeinerten wir die Perkolationstheorie für das mechanische Verhalten des gesamten Granulats.

Warum Dünen wandern

Als Nächstes nahmen sich die Mitglieder unserer Arbeitsgruppe in Paris, Rennes und Marseilles das dynamische Verhalten von Körnern vor. Hier interessierte insbesondere die Dynamik von Lawinen (vergleiche "Selbstorganisierte Kritizität", Spektrum der Wissenschaft 3/1991, S. 62). Eine Teilgruppe spezialisierte sich dann allmählich auf die Interaktion zwischen Körnern, durch die ein Fluid – eine Flüssigkeit oder ein Gas – strömt, sowie auf die Form von Furchen beziehungsweise Dünen, die bei einer ausreichend starken Strömung entstehen (wieder ein Schwellwertproblem).

Diese Überlegungen haben einen speziellen praktischen Bezug. Denn wir beginnen eigentlich erst heute die Mechanismen zu verstehen, durch die sich Wanderdünen bilden und bewegen. Solche bogenförmigen Sandhügel – Sicheldünen oder Barchans genannt – treten hauptsächlich im Maghreb und in Mauretanien auf. Die Frage, wie man derartige Dünen stabilisieren kann, wird allein dadurch ein Stück weit gelöst, dass man die Abläufe bei der Entstehung, beim Nachrutschen und bei der Verschiebung der Sandhügel untersucht.

Durch diese physikalischen Grundlagenforschungen konnte ein Dialog zwischen zwei Disziplinen entstehen, die sich zuvor eher gegenseitig ignoriert hatten. Noch vor 25 Jahren wusste der durchschnittliche Physiker nichts mit dem Young’schen Modul in der Elastizitätslehre anzufangen. Der Ingenieur wiederum hatte kaum Ahnung von statistischer Mechanik. Eine solche Isolierung der Disziplinen führt zwangsläufig zu einer Entfremdung von der Realität. Schon der Gelehrte Jules Henri Poincaré bedauerte vor rund hundert Jahren, dass die von Mathematikern gelehrte Mechanik keinerlei Gemeinsamkeiten mit dem Wissen der Ingenieure habe. Diese Ignoranz bestimmte damals das Verhältnis zwischen den Vertretern der beiden Fachrichtungen.

Das änderte sich zum Glück – in Frankreich beispielsweise, als vor etwa 25 Jahren zahlreiche Physiker Mechanikkurse an der ehrwürdigen École des Houches bei Grenoble belegten. Diese Annäherung zwischen Ingenieuren und Physikern sowie die Entwicklung neuartiger Untersuchungsmethoden wie etwa des Rastertunnelmikroskops, mit dem Oberflächen auf atomarer Skala vermessen werden können, ermöglichten es, die bisherigen physikalischen Vorstellungen mit der Realität zu vergleichen.

Unreinheit kann vorteilhaft sein

Der nach wie vor aktuelle Forschungszweig der Oberflächenphysik untersucht so zum Beispiel Phänomene der Haftung, der Feuchtung oder der Reibung auf allen Größenskalen. Dabei hat man auch festgestellt, dass es gar nicht unbedingt darauf ankommt, ultrareine Oberflächen herstellen zu können – "unreine" Grenzflächen sind nämlich besser reproduzierbar und zudem realitätsnäher. In den 1980er Jahren waren unsere Forschungsarbeiten über Supraleiter, die wir in einer Arbeitsgruppe um de Gennes in Orsay zwanzig Jahre zuvor begonnen hatten, in den Hintergrund gerückt. Als dann 1986 Georg Bednorz und Alexander Müller vom IBM-Forschungslaboratorium in Rüschlikon bei Zürich überraschend einen Supraleiter schufen, der bei weit höheren Temperaturen supraleitend wurde als die bisher genutzten intermetallischen Verbindungen, war das wie ein Lichtzeichen am trüben Himmel der klassischen Supraleitungsforschung, wo man um jedes zehntel Grad mehr gerungen hatte. Bednorz und Müller hatten die kritische Temperatur auf einen Schlag um mehrere dutzend Kelvin erhöht. Die beiden Physiker hatten auf ausreichend "unreine" keramische Kupferoxide gesetzt. Dieses Experiment wurde alsbald reproduziert und von allen Seiten bestätigt. Es zeigte sich mal wieder, dass alles gut funktioniert, außer der Theorie. Müller befand sich schon in Altersteilzeit, als er die Supraleitfähigkeit von Kupferoxiden beobachtete. Sein Experiment widersprach allen theoretischen Voraussagen und Annahmen, und er hatte zuvor bei niemandem Unterstützung für seine Idee gefunden, nicht einmal bei den Wissenschaftlern, die sich damals mit den physikalischen Eigenschaften solcher Metalloxide befassten. Vielleicht werden wir eines Tages widerstandsfreie Normaltemperaturleiter haben, und vielleicht werden wir dann im Baumarkt gefragt: "Standard oder supraleitend?"

Andere nennenswerte Überraschungen der letzten 25 Jahre stammen zum Teil aus Forschungsarbeiten, die nur unter dem Deckmantel der Effizienz nicht im Papierkorb gelandet sind. Aus diesem für die Physik fruchtbaren letzten Vierteljahrhundert möchte ich drei allgemeine Erkenntnisse betonen: Erstens wurden die Resultate zu den Materialeigenschaften von Cluster- und Vielteilchensystemen aus der statistischen Physik abgeleitet. Zweitens darf man nicht den Nutzen großer und kleiner technischer Hilfsmittel vergessen, welche die Beobachtungen auf nanoskopischer Ebene erst ermöglichen. Und drittens ist die interdisziplinäre Zusammenarbeit von Wissenschaftlern wichtig, beispielsweise wenn es – wie in unserer Gruppe – um die Kontrolle der physikalisch-chemischen Eigenschaften von Oberflächen geht.

Literaturhinweise


- Percolation. Von Geoffrey Grimmet. Springer-Verlag, Berlin 1999.

- Vectorial cellular automaton for the stress in granular media. Von J. Hemmingsson, H.J. Herrmann und S. Roux in: Journal de Physique, Bd. 7, S. 291 (1997).


Der "Kohärer" von Branly


Das Funktionsprinzip des von Edouard Branly entwickelten "Kohärers" (hier abgebildet; ursprünglich auch Fritter genannt), mit dem der Durchgang einer elektromagnetischen Welle nachgewiesen werden kann, beruht auf der Perkolation. Bei dem Kohärer handelt es sich um eine mit oxidierten und daher nichtleitenden Metallspänen gefüllte Glasröhre. Durchläuft jedoch eine Funkwelle die Röhre, verbinden sich die Metallspäne – es kommt zu einer "Kohäsion" – und werden leitend. Der Durchgang der elektromagnetischen Welle bewirkt, wie bei einer Perkolation, einen Strom führenden Pfad in dem Metallpulver, so als hätte man entlang einer Körnerreihe eine Schweißnaht hergestellt. Nach dem Empfang der Welle wird durch einen leichten Schlag mit einem Klöppel der Widerstand des Metallpulvers wieder heraufgesetzt. Mit einem solchen Kohärer wurde im Jahr 1898 eine vom Eiffelturm ausgesandte elektromagnetische Welle am Panthéon empfangen. Aber auch heute noch sind einige Fragen zum Funktionsprinzip des Kohärers ungeklärt.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 10 / 2003, Seite 26
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
10 / 2003

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 10 / 2003

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