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Mathematik: Brückenbau für Einzelgänger

Neue Forschungen offenbaren eine überraschende Verbindung zwischen einer rätselhaften Gruppe und einer bekannten Funktion – womöglich könnte die Stringtheorie diesen Zusammenhang erklären.
Durch die Modulsymmetrie ist die j-Funktion insbesondere translationsinvariant, das heißt, ihr Muster wiederholt sich in waagerechter Richtung in einem Abstand von eins: j (z) = j (z + 1). Außerdem ist sie symmetrisch bezüglich Spiegelungen von z am Einheitskreis: j (z) = j (1 / z).

Zwei Gebiete der Mathematik haben auf den ersten Blick nichts miteinander zu tun: Auf der einen, der "diskreten" Seite, ist das Reich der endlichen Gruppen. Hier bewegt man einen Gegenstand ruckweise, dreht ihn ein Stück und stellt fest, dass er genauso aussieht wie zuvor. Auf der anderen Seite gibt es die differenzierbaren Funktionen, bei denen alles darauf ankommt, dass beliebig kleine Bewegungen möglich sind und ihr Verlauf glatt ist.

In der diskreten Welt haust das so genannte Monster: eine komplizierte endliche Gruppe, mit der Mathematiker lange Zeit nichts anzufangen wussten. Auf dem kontinuierlichen Ufer gibt es dagegen besonders schöne Funktionen, deren prominentester Vertreter, die "j-Funktion", bereits vielfältige Anwendungen fand.

Dass zwischen der diskreten und der kontinuierlichen Seite ein Zusammenhang bestehen könnte, ist zunächst nicht wirklich naheliegend. Aber es gibt Brücken, die beide so fern scheinenden Bereiche verbinden. Die erste hat der britisch-kanadische Mathematiker John McKay bereits 1979 entdeckt: Er identifizierte die j-Funktion als Partnerin des Monsters. Dieser Zusammenhang verblüffte Wissenschaftler so sehr, dass sie ihn "Mondschein-Verbindung" nannten. Das Wort "moonshine" bezeichnet neben illegal hergestellten Spirituosen auch etwas Verrücktes ...

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  • Quellen

Gannon, T.: A Pariah Finds a Home. In: Nature 550, S. 191-192, 2017

Klarreich, E.: Moonshine Link Discovered for Pariah Symmetries. In: Quantamagazine 2017

Kachru, S.: Elementary Introduction to Moonshine. In: arXiv: 1605.00697, 2016

Ono, K. et al.: Pariah Moonshine. In: Nature Communications 8, 670, 2017