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Mord auf Schloß Ghastleigh

Es hätte ein perfekter Mord werden können. Nur hatte der heimtückische Mörder übersehen, daß man sein Alibi mit Mitteln der Topologie widerlegen konnte.

In seinem Gewächshaus im Garten

steht in grüner Schürze ein Mann,

der Gärtner rührt mehrere Arten

von Gift gegen Blattläuse an.

Der Gärtner singt, pfeift und lacht

verschmitzt,

seine Heckenschere, die funkelt und blitzt,

Sense, Spaten und Jagdgewehr stehn an

der Wand,

da würgt ihn von hinten eine meuchelnde

Hand.

Der Mörder war nämlich der Butler,

und der schlug erbarmungslos zu.

Der Mörder ist immer der Butler –

man lernt eben täglich dazu.



Reinhard Mey

„Der Mörder ist immer der Gärtner“

Sherlock Holmes spielte in der Baker Street 221 B gerade auf seiner Violine, als ich ihn unterbrechen mußte.

„Wir haben soeben einen Brief erhalten, in dem es um eine äußerst dringende Angelegenheit geht.“

„Bitte lesen Sie ihn mir vor, Watson.“

„Er kommt aus Schloß Ghastleigh in Finsterville.“



Lieber Mr. Holmes,

ein grausiges Verbrechen hat sich ereignet. Miss Melpomene Beetroot wurde mit einem Leuchter erschlagen. Die Polizei steht vor einem Rätsel. Bitte helfen Sie uns, diese schreckliche Tat aufzuklären.

Cornelian, Herzog von Ghastleigh



„Wir haben keine Zeit zu verlieren. Packen Sie unsere Sachen und rufen Sie eine Droschke, die uns zum Bahnhof bringt. Dieser Fall wird zweifellos unseren ganzen Scharfsinn erfordern.“

Das alte Schloß Ghastleigh oberhalb des Dorfes Finsterville besteht aus 46 Türmen, die in drei konzentrischen Kreisen mit dem Bergfried in der Mitte angeordnet sind. Verbunden sind sie durch schmale Stege, die mehrere Geschosse hoch über dem Erdboden verlaufen. Der einzige Zugang zum Schloß ist eine Zugbrücke vor dem westlichsten Turm (Kasten auf Seite 11).

Der Butler namens Hugh Dunnett empfing uns dort und führte uns über eine Wendeltreppe und einen Steg in einen benachbarten Turm, wo uns der Herzog von Ghastleigh begrüßte.

„Oh, Mr. Holmes! Ich kann Ihnen nicht genug danken.“

„Keine Ursache.“

„Es geschah in Miss Beetroots Zimmer. Wünschen Sie es zu inspizieren?“

„Ich bitte darum, Eure Lordschaft.“

„Bitte folgen Sie mir, Gentlemen“, sagte der Herzog. „Jeder Turm von Schloß Ghastleigh besteht aus einem einzigen großen Raum; in jedem wohnt ein Mitglied unserer weitverzweigten Familie.“

Erste Untersuchung

Wir betraten Miss Beetroots Turm. „Hier geschah die ruchlose Tat“, seufzte der Herzog. „Von der Deckenmitte hing ein großer, schwerer Kronleuchter, aber der Mörder sorgte irgendwie dafür, daß er herabfiel. Und die arme Melpomene schlief unmittelbar darunter.“

„Wer fand die Leiche?“ fragte ich.

„Ich“, sagte der Butler. „Genauer gesagt, was davon noch übrig war, Sir.“

„Sie waren der letzte, der Miss Beetroot lebend gesehen hat?“

„Abgesehen vom Mörder, ja.“

Holmes, der den Raum mit seinem Vergrößerungsglas abgesucht hatte, unterbrach seine Bemühungen. „Ich fürchte, hier werden wir keine Hinweise finden, Watson“, sagte er. „Die Polizei hat den Raum vollständig durcheinandergebracht.“ Er blickte umher. „Zu wessen Turm führt diese Tür?“

„Zum Bergfried. Dort residiert die Herzogin von Armlighter“, antwortete Dunnett.

„Könnte sie die Mörderin sein?“

„Dunnett allein besitzt die Schlüssel“, sagte der Herzog. „Sie sind extrem kompliziert und unmöglich nachzumachen, denke ich. Außerdem ist die Herzogin äußerst schwerhörig und verbringt die meiste Zeit schlafend.“

Holmes nickte. „Waren alle Bewohner in der Mordnacht in ihren Zimmern?“

„Das ist so gut wie sicher“, seufzte der Herzog. „Alle meine Verwandten werden für die Nacht in ihren Zimmern eingeschlossen. Mein Großvater, der erste Herzog von Ghastleigh, hatte panische Angst vor der Einsamkeit. Deshalb bestimmte er in seinem Testament, daß jeder seiner Nachkommen jede Nacht im Schloß verbringen muß, widrigenfalls er enterbt wird.“

„So ist es, Sir“, versetzte Dunnett. „Ich überprüfe jede Nacht alle Türme der Reihe nach und verschließe die Zwischentüren. Morgens mache ich wieder die Runde und öffne. An jenem schrecklichen Morgen klopfte ich an Miss Beetroots Tür, aber erhielt keine Antwort. Ich machte mir Sorgen und schloß auf. Da sah ich dann... nun ja...“

„Hat irgend jemand in der Nacht das Schloß betreten oder verlassen?“

„Nein, Sir. Mit Sicherheit nicht. Das kann man nur, indem man über die Stege von Turm zu Turm geht, bis zum Eingangsturm, in dem ich jede Nacht verbringe. Ich kann bestätigen, daß niemand hereinkam oder hinausging.“

„Und alle Bewohner waren wohlauf, als Sie sie einschlossen?“

„Ja, Sir. In jedem Zimmer hängt ein Seil, das mit einer Glocke im Turm des Herzogs verbunden ist. Nach der Schließrunde muß jeder Bewohner durch Läuten seine Anwesenheit bestätigen.“

„Das stimmt“, bestätigte der Herzog. „Ich überprüfe damit, ob die testamentarische Verfügung eingehalten wird. Mein Protokoll weist nach, daß an jenem Abend jede Glocke geläutet wurde.“

„Auch ein Eindringling könnte leicht eine Glocke läuten“, wandte ich ein.

„Nein, Dr. Watson“, entgegnete der Herzog. „Jeder Bewohner hat einen persönlichen Code, der nur ihm und mir bekannt ist.“

Holmes wandte sich an den Butler. „Haben Sie irgendeinen Turm mehr als einmal betreten?“

„Aber nein, Mr. Holmes“, erwiderte dieser entrüstet. „Auf meinen Runden betrete ich jeden Turm nur einmal – das ist eine geheiligte Regel. Ich würde nicht wagen, jemanden nochmals zu stören, nachdem ich ihn eingeschlossen habe.“

Holmes versuchte auf anderem Wege Klarheit zu gewinnen. „Eure Lordschaft, hat die Polizei den ungefähren Todeszeitpunkt feststellen können?“

„Das war wegen des Zustandes der Leiche nicht möglich, Mr. Holmes. Aus der Austrocknung der Blutlache schlossen sie, daß es wahrscheinlich vor Mitternacht geschah.“

Holmes runzelte die Stirn. „Kann man anders von einem Turm zu einem anderen gelangen als über die Stege?“

„Ein geschickter Alpinist könnte vielleicht die Wände von ebener Erde aus erklimmen, Mr. Holmes; aber sicherlich nicht bei Nacht. Unsere Familie ist sehr sicherheitsbewußt. Dunnetts letzte Pflicht nach der abendlichen Runde ist es, ein Rudel Bluthunde auf dem Grundstück des Schlosses loszulassen.“

Holmes wandte sich wieder an Dunnett. „In welcher Reihenfolge suchen Sie die Türme auf?“

„Das ist verschieden, Sir.“

„Können Sie sich erinnern, welchen Weg Sie am Vorabend des Mordes nahmen?“

„Nein, Sir.“

„Sehr schade.“ Holmes schüttelte traurig den Kopf. „Watson, wir werden ein Zimmer für die Nacht mieten müssen. Hier können wir nichts mehr tun.“

„Aber, Mr. Holmes, der Mord...“

„Ich habe damit nicht gesagt, Eure Lordschaft, daß ich das Verbrechen nicht aufklären kann. Ich wollte nur ausdrücken, daß unsere Untersuchungen hier abgeschlossen sind. Dr. Watson und ich haben noch etwas zu arbeiten, und ich bin sicher, daß ich Ihnen wenig später den Täter nennen kann. Dunnett, bitte rufen Sie uns eine Kutsche.“

Die Überführung des Mörders

Wir fanden eine gemütliche Gastwirtschaft im Dorf. „Holmes, meinen Sie das wirklich, was Sie dem Herzog angekündigt haben? Daß Sie bald den Mörder nennen können?“

„Watson, wann habe ich je einen Herzog beschwindelt?“

„Aber Holmes, unser Material ist sehr dürftig.“

„Unfug, Watson! Lassen Sie uns die wesentlichen Fakten zusammenfassen. Miss Beetroot wurde vor Mitternacht getötet. Wegen der Hunde kann niemand heraus- oder hineingelangt sein. Der Mörder ist folglich einer der Bewohner von Schloß Ghastleigh.

Dunnett pflegt die Bewohner in ihre jeweiligen Räume einzuschließen; danach meldet jeder seine Anwesenheit dem Herzog. Genauer gesagt, Dunnett geht vom Eingangsturm aus los und kehrt wieder dorthin zurück. Dabei betritt er jeden Raum genau einmal. Die einzigen Bewohner, die nach dem Verschließen der Zimmer Miss Beetroots Raum betreten haben könnten, ohne gesehen zu werden, sind ihre unmittelbaren Nachbarn. Aber dafür hätten sie einen Schlüssel gebraucht; Dunnett verwahrt die Schlüssel, und man kann sie nicht nachmachen. Wer könnte also den Mord begangen haben?“

„Hm – oh, Dunnett natürlich! Er könnte zu Miss Beetroots Raum zurückgekehrt sein, nachdem sie ihre Anwesenheit mit der Glocke gemeldet hatte.“

„Genau. Die Herzogin von Armlighter, die im benachbarten Bergfried wohnt, ist stocktaub und hat einen festen Schlaf. Dort konnte Dunnett warten, bis Miss Beetroot geläutet hatte, und zurückkehren, um sie zu töten.“

„Mit dem Leuchter?“

„Er tötete sie mit einer anderen Waffe – einem Stück Bleirohr vielleicht – und löste dann den Leuchter vom Haken, so daß er herunterfiel und die Spuren verwischte.“

„Eine interessante Theorie.“

Er nickte. „Aber bis jetzt nur eine Theorie, Watson. Wie können wir beweisen, daß Dunnett der Mörder war? Die Herzogin von Armlighter schlief weiter, als er zurückkam, und dann hat er seine Runde wie üblich fortgesetzt, als ob nichts geschehen wäre.“

„Der Lärm beim Aufschlag des Leuchters hätte sicherlich jemanden aufgeweckt …“

„Die Türme haben dicke Mauern und stehen weit entfernt voneinander. Nein, man hätte nichts gehört.“

„Dunnett hätte sich auf seiner Runde verspätet …“

„Nur ein paar Minuten. Nicht genug, um aufzufallen.“

Ich schlug vor Zorn mit der Faust auf den Tisch. „Dann müssen wir uns geschlagen geben, Holmes! Es kann nur Dunnett gewesen sein, aber der Lump kommt ungestraft davon.“

Holmes lachte. „Aber nicht doch, Watson. Wenn wir Glück haben, wird ihm seine eigene Aussage zum Verhängnis werden.“ Er reichte mir ein Blatt Papier, auf das er einen Grundriß von Schloß Ghastleigh gezeichnet hatte. „Ich habe eine einfache Denkaufgabe für Sie. Dunnett behauptet, daß seine abendlichen Runden ihn durch jeden Turm genau einmal führen. Er kann nur über die Stege von einem Turm zum nächsten gelangen. Vielleicht finden Sie für mich eine solche Route.“

„Bestimmt, Holmes. Es muß Hunderte geben.“

„Um ehrlich zu sein, ich vermute, daß es nicht eine einzige gibt. Was ich Sie zu finden bat, ist ein Hamiltonscher Kreis: ein geschlossener Weg in einem Netzwerk, der jeden Knoten genau einmal aufsucht. Der irische Mathematiker und Astronom Sir William Rowan Hamilton hat – neben vielen anderen Dingen – ein Puzzle ersonnen und auf den Markt gebracht, bei dem genau nach solch einem Weg entlang den Kanten eines Ikosaeders gefragt wird. Außer systematischem Probieren kennt man keine sichere Methode, um festzustellen, ob es in einem gegebenen Netzwerk einen Hamiltonschen Kreis gibt.“

„Dann kann Dunnett seinen Kopf aus der Schlinge ziehen, denn dieses Netzwerk ist zu groß, um alle denkbaren Wege durchzuprobieren.“

Die Grinbergsche Formel

„Nicht unbedingt, Watson. Vielleicht haben wir Glück. Ich hatte da kürzlich eine Idee, die erst in hundert Jahren ein lettischer Mathematikers namens E. J. Grinberg auf Russisch zu Papier bringen wird. Jedes ebene Netzwerk muß eine gewisse Bedingung erfüllen, wenn es einen Hamiltonschen Kreis haben soll. Wir werden feststellen, ob die Türme des Schlosses diese Bedingung erfüllen. Überprüfen Sie bitte meine Analyse.“ „Ich werde mein Bestes tun, Holmes.“ „Stellen Sie sich ein Netzwerk vor, das in einer Ebene gezeichnet werden kann. Das ist höchst wichtig. Obwohl die Stege von Schloß Ghastleigh nicht ebenerdig liegen, kreuzen sie einander nicht. Nehmen wir irgendein Netzwerk mit n Knoten und einer Anzahl von Kanten, die diese Knoten miteinander verbinden (siehe Kasten). Angenommen, es gebe einen Hamiltonschen Kreis...“ „Das heißt“, unterbrach ich ihn, „da es nur auf die gegenseitige Lage der Punkte, aber nicht auf Längen und Winkel ankommt, kümmert es uns nicht, ob dieser Rundweg durch das Netzwerk einem gewöhnlichen Kreis ähnelt.“ „Richtig. Aus dieser Annahme können wir gewisse Eigenschaften des Netzwerks ableiten. Erstens hat der Hamiltonsche Kreis genau n Kanten, denn er durchläuft jede Ecke genau einmal. Zweitens ist er ein Polygon, das sich nicht selbst überschneidet und daher die ganze Ebene in ein Inneres und ein Äußeres zerlegt. Die Kanten, die nicht zu dem Kreis gehören, sind Diagonalen des Polygons; sie liegen entweder ganz im Inneren oder ganz im Äußeren des Kreises. Das Innengebiet wird durch diese Diagonalen in Teilgebiete zerlegt. Wenn es d Diagonalen gibt, dann muß die Anzahl dieser Gebiete gleich d+1 sein.“ „Warum das, Holmes?“ „Stellen Sie sich vor, Sie fügen die Diagonalen eine nach der anderen in das Innengebiet ein. Der Hamiltonsche Kreis selbst begrenzt ein Gebiet, und jede Diagonale erhöht die Anzahl der Gebiete genau um 1. Nun gibt es aber noch eine andere Möglichkeit, die Anzahl der Gebiete zu bestimmen. Jedes Gebiet hat eine gewisse Anzahl Seiten – die Kanten des Netzwerkes, die das Gebiet begrenzen. Es sei fj die Anzahl der Gebiete mit genau j Seiten. Dann ist die Gesamtzahl der inneren Gebiete auch gegeben durch . Daher gilt .“ „Viele dieser fj sind gleich null, oder?“ „Ja. Als nächstes finde ich zwei verschiedene Ausdrücke für die Anzahl der Kanten, die diese Gebiete begrenzen. Jedes Gebiet mit j Seiten wird von j Kanten begrenzt. Alle Gebiete mit j Seiten tragen also zur Gesamtzahl der Kanten bei.“ „Somit wäre diese Anzahl gleich ?“ „Nun, nicht ganz. Ich habe jede der d Diagonalen doppelt gezählt, weil sie von zwei Gebieten begrenzt wird, die n Kanten des Kreises dagegen nur einmal. Daher gilt . Ich multipliziere nun die erste Gleichung mit 2 und ziehe sie von der zweiten ab: Eine entsprechende Gleichung ergibt sich für das Äußere des Kreises: , wobei die Anzahl der Gebiete ist, die außerhalb des Kreises liegen und von j Seiten begrenzt werden. Zieht man schließlich die eine Gleichung von der anderen ab, so ergibt sich die Grinbergsche Formel: „Elegant, Holmes. Aber ich sehe den Zusammenhang mit Dunnetts Schuld nicht. Wir haben keine Ahnung, welche Werte und annehmen könnten. Und falls es gar keinen Hamiltonschen Kreis gibt, dann gibt es solche Werte überhaupt nicht.“ „Das ist es ja gerade. Wenn wir beweisen können, daß es diese Werte nicht geben kann, haben wir zugleich die Existenz eines Hamiltonschen Kreises widerlegt. Nun, Watson, wenn Sie das Netzwerk für Schloß Ghastleigh untersuchen, dann finden Sie, daß alle seine Gebiete fünf, acht oder neun Seiten haben. Wenn es also einen Hamiltonschen Kreis gibt, dann muß nach der Grinbergschen Formel gelten: Es gibt aber nur ein neunseitiges Gebiet, nämlich das gesamte Außengebiet; daraus folgt und ... Ha! Jetzt haben wir ihn. Denn jetzt wissen wir, daß sein müßte. Diese Gleichung ist aber unlösbar, denn und müssen ganze Zahlen sein; deshalb liefert die linke Seite der Gleichung nur Vielfache von 3, während die rechte gleich 7 sein muß.“ „Also kann es keinen Hamiltonschen Kreis geben! Dunnett lügt. Holmes, ich bin sprachlos vor Bewunderung.“ Er lächelte. „Danke, Watson. Dunnett muß wenigstens einen Turm zweimal betreten haben. Und das muß Miss Beetroots Turm gewesen sein – welchen anderen Grund hätte er, uns anzulügen? In der Tat, es gibt eine Route, die alle Türme genau einmal besucht – außer dem von Miss Beetroot (Kasten auf Seite 12). Morgen werden wir Dunnett mit den Beweisen konfrontieren.“ „Wer hätte gedacht, daß die rein theoretische Topologie dem Mörder zum Verhängnis wird!“ „Und die angewandte erst...“ „Wer ist der Anwender?“ „Der Henker. Knotentheorie ist ein Teil der Topologie.“


Aus: Spektrum der Wissenschaft 5 / 1993, Seite 10
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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