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Neue Erlebnisse aus dem Cantorland (Teil 2)

Von fünffach unendlich vielen Eisenbahnfahrern, algebraischen Schulkindern, überabzählbaren Pfadfindern und dem stetig geordneten Durcheinander auf dem Zeltplatz.


Was bisher geschah: Der Erzähler und seine Ehefrau sind im neuen Hilbert-Hotel abgestiegen, das über unendlich viele Stockwerke mit jeweils unendlich vielen Zimmern verfügt. Staunend erleben sie, wie dank einer geschickten Belegungspolitik schier unvorstellbare Unendlichkeiten unterkommen, noch beliebig viel Platz frei bleibt und sogar noch Sonderwünsche erfüllt werden können.

Auf dem Bahnhof von Bad Omega war soeben der Davidsexpress eingefahren. Dieser schon in anderen Berichten erwähnte Zug hat unendlich viele Wagen, die von 1 an durchnummeriert sind, kurz gesagt also w Wagen. Ebenso befinden sich in jedem Wagen w Abteile, in denen jeweils w Leute sitzen. Alle diese w3 Gäste strömten auf das Hilbert-Hotel mit seinen w2 Zimmern zu.

Ich rief: "Frau, pack die Koffer. Wir müssen umziehen!" Doch der Direktor wies den Portier lediglich an: "Jedes Abteil auf eine Etage", und ging in die Mittagspause.

Jeder Eisenbahnwagen entsprach einer ganzen Buskolonne. Wenn der Portier sich an das bisherige Verfahren hielt, würde er die Abteile des ersten Wagens von der Etage 107 an jeder 16. Etage zuteilen, die Abteile des zweiten Wagens auf jede 32. Etage ab 115 legen, und so weiter. Aber das war ihm zu mühselig. Er wollte lieber alle Gäste auf einmal abfertigen. Über Lautsprecher verkündete er: "Das m-te Abteil im Wagen Nummer n erhält die Ordnungsnummer q=2m–1(2n–1)." Allgemeines Gemurmel erhob sich. Doch die Lautsprecheransage ging noch weiter: "Der k-te Insasse des Abteils mit der Ordnungsnummer q erhält die Zimmernummer w(107+16q–16)+k."

Nach Protesten der gereizten Passagiere, die nicht zwei Formeln anwenden wollten, nur um ihr Zimmer zu finden, fasste der Portier beide Formeln in eine zusammen und konnte so jedem Gast unmittelbar seine Zimmernummer ansagen: "Der k-te Insasse des m-ten Abteils im n-ten Wagen erhält die Zimmernummer k im Stockwerk 91+2m+3(2n–1)."

Zufrieden eilten die Neuankömmlinge auf ihre Zimmer. Alle kamen unter, kein Zimmer war doppelt belegt, und der Belegungsgrad des Hotels war auf 93,75 Prozent angestiegen. Tatsächlich war auf der Liste des Portiers lediglich eine weitere Belegung – jede 16. Etage ab der 107. – abgehakt worden.

"Es wäre doch noch schöner", meinte ich, "wenn Sie nicht nur unendlich viele Flure mit unendlich vielen Zimmern hätten, sondern einen Stapel aus unendlich vielen Hotels dieser Art. Dann hätten Sie die Insassen eines ganzen Zuges aus unendlich vielen Wagen mit jeweils unendlich vielen Abteilen und unendlich vielen Sitzplätzen pro Abteil ohne Rechenarbeit unterbringen können."

Der Direktor lächelte abgeklärt. "Es gab da mal Pläne. Sie waren ein wenig kompliziert, weil man das m-te Hotel nicht einfach auf das oberste Stockwerk des (m–1)ten Hotels aufsetzen kann …"

"Warum nicht?"

"Es gibt kein oberstes Stockwerk. Aber das war nicht das entscheidende Problem. Der Neubau hätte nicht viel geholfen. Schauen Sie, was sich gerade auf dem Bahnhof abspielt."

Dort fuhr ein vollbesetzter Davidsexpress ein; bereits vier Minuten später folgte der nächste solche Zug, nach weiteren zwei Minuten noch einer. Die Weichenzungen flogen geradezu hin und her, denn der Zugabstand halbierte sich immer weiter. Die cantorländische Eisenbahn bewies eine ungeheure Leistungsfähigkeit: Binnen acht Minuten nach der Ankunft des ersten Zuges liefen nicht weniger als w Züge im Bahnhof von Bad Omega ein. Als der Zeiger der Bahnhofsuhr auf die achte Minute umsprang, kam schon wieder ein Zug. Er schloss sich unmittelbar an die vorherigen an, obwohl niemand sagen konnte, welcher Zug sein unmittelbarer Vorgänger gewesen sei. Für das Bahnhofspersonal gab es kaum noch eine Verschnaufpause. Nur zwei Minuten später folgte erneut ein Davidsexpress, nochmals eine Minute später ein weiterer, dann kam einer nach dreißig Sekunden, … bis schließlich vier Minuten nach Beginn der zweiten Kaskade nochmals w Züge angekommen waren.

Die dritte Kaskade benötigte nur noch zwei Minuten, um vollständig in den Bahnhof einzulaufen, die vierte nur noch eine. Die vorgängerlosen Züge, die jeweils den Beginn einer neuen Kaskade bildeten, folgten nun so dicht aufeinander wie zuvor die Züge einer einzigen Kaskade. 16 Minuten nach Eintreffen des ersten Zuges war endlich wieder Ruhe im Bahnhof. w2 Züge hatten ihre jeweils w3 Fahrgäste entladen.

Über unserem Staunen wurde uns schmerzlich die Diskrepanz zu der Realität bewusst, die wir mit endlichen Eisenbahnen zu erleben gewohnt waren.

Und alle diese w5 Gäste drängten in das Hilbert-Hotel mit seinen w2 Zimmern.

Der Portier verkroch sich unter dem Tresen. Ihm war schon klar, dass er mit seiner bisherigen Formel nicht weit kommen würde. Das Geschrei in der Hotelhalle wurde immer lauter. Aufgeregt mit den Armen wedelnd kam der Direktor hereingelaufen und rief: "Schluss! Wenn wir nicht sofort alle Leute einquartieren und von der Straße kriegen, steigt mir der Polizeipräsident aufs Dach!"

Ich überlegte noch, wie dies wohl funktionieren könne, da dieses Haus doch kein oberstes Stockwerk hatte, doch dann erstaunte der Direktor mich noch mehr, als er rief: "Alle auf eine Etage! Alle auf die fünfundzwanzig!"

Jetzt war ich sprachlos. Wie sollte das gehen, alle Gäste aus unendlich vielen Kaskaden unendlich vieler Züge mit unendlich vielen Wagen, deren jeder unendlich viele Abteile mit unendlich vie-len Sitzen hat, auf den Zimmern einer einzigen Etage unterbringen? Aber der Di-rektor sprach ungerührt ins Omegaphon: "Der i-te Fahrgast aus dem j-ten Abteil im k-ten Wagen des l-ten Zuges der m-ten Kaskade erhält das Zimmer Nummer w25+2i–13j–15k–17l–111m–1."

Dank der hervorragen-den Organisation der cantorländischen Eisenbahn hatte jeder Fahrgast wohlgeordnet eine Platzkarte. Mit den darauf verzeichneten Angaben konnte jeder rasch seine Zimmernummer ausrechnen. Im Nu hatten alle Gäste sich auf ihre Zimmer verzogen, die sämtlich in der 25. Etage lagen.

Und die war nicht einmal besonders dicht belegt. Am Anfang schon; die ersten freien Zimmer waren 13, 17 und ein paar weitere vereinzelte. Aber zwischen den Nummern 10000 (fünfter Fahrgast, erstes Abteil, fünfter Wagen, allererster Zug) und 10080 (sechster Fahrgast, drittes Abteil, zweiter Wagen, zweiter Zug der ersten Kaskade) erstreckte sich bereits gähnende Leere. Ob es eine Obergrenze für die Größe dieser Lücken gab? Ob es gar bei hohen Nummern überhaupt noch Gäste gab, die Wand an Wand wohnten? Wir wussten es nicht zu sagen, und der Buchhalter auch nicht, denn der war verzweifelt damit beschäftigt, die Belegungsdichte der 25. Etage zu ermitteln.

Mein Blick fiel auf ein Gelände hinter dem Hotel, das durch ein Schild als "Peano-Park" gekennzeichnet war. Die ehemals gepflegte Wiese befand sich in einem jämmerlichen Zustand. Mit etwas Mühe waren in der plattgetretenen Fläche noch merkwürdig mäanderförmige Trampelpfade zu erkennen.

"Das waren die Pfadfinder aus Halberstadt", kommentierte der Direktor mit einem Seufzen. "Ich konnte sie im Hotel nicht unterbringen und bat sie, auf einer Linie neben dem Haus ihre Zelte aufzuschlagen. Aber sie legten ihre Linie so, dass sie die ganze Parkfläche füllte."

"Was? Sie mit Ihrer unendlichen Bettenkapazität und dem hocheffizien-ten Management können ein bescheidenes Fähnlein von Pfadfindern nicht aufnehmen?"

"So ist es. Die Pfadfinder sind zwar so unendlich dünn, dass keiner von ihnen auch nur einen Schatten wirft. Aber als sie hier in die Halle strömten, gab es ein unglaubliches Gedränge. Zwischen zweien, die man herausgriff, waren immer noch unendlich viele andere."

"Aber das war doch schon bei den Pythagoreern so."

"Schon; aber Pfadfinder sind irgendwie viel schlimmer. Alle Schüler – bis in beliebig hohe Klassen – sind Pfadfinder, aber wenn Sie einen der Pfadfinder he-rausgreifen, erwischen Sie so gut wie nie einen Schüler. Wenn sie auf diese Weise geballt auftreten, werfen sie tatsächlich einen Schatten. Nicht dass sie nicht streng geordnet wären: Jeder trägt auf seiner Brusttasche eine Ordnungsnummer, eine Ziffernfolge aus lauter Nullen und Einsen, so dass man zu je zwei von ihnen ohne weiteres sagen kann, welcher von ihnen zuerst kam. Aber es sind unendlich viele Ziffern auf jedem Schild, und bei solchen Leuten hilft kein Abzählen, sondern nur noch Messen."

"Messen?"

"Ja. Einströmzeit oder so. So ist halt das reelle Leben!"

Langsam und zu Fuß näherte sich ein verlorenes Häuflein von Pfadfindern dem Hotel. Ihr Anführer hatte schon von dem Schicksal der anderen Pfadfinder gehört und bemühte sich, beim Portier gut Wetter zu machen: "Wir sind nicht aus Halberstadt, sondern aus Drittelhofen. Und außerdem sind wir nur ein verschwindend geringer Teil der ganzen Truppe."

In der Tat waren die Reihen arg gelichtet. Ein Drittel der Drittelhofener Pfadfinder war erkrankt. Von den Gesunden war ein Drittel mit den Familien verreist, von den Daheimgebliebenen ein Drittel zur Pflege kleinerer Geschwister unabkömmlich, von den Übrigen ein Drittel auf Geburtstagsfeiern eingeladen, und so gab es unendlich viele Hinderungsgründe, welche die Menge der Reisenden hatten schrumpfen lassen. Die Ordnungsnummern auf ihren Hemden bestanden eigentlich aus den Ziffern 0, 1 und 2; aber die Pfadfinder mit einer Eins an erster Stelle waren gerade die Erkrankten; alle, die an zweiter Stelle eine Eins trugen, waren mit ihren Familien verreist, und so weiter. Die übrig Gebliebenen hatten sämtlich keine einzige Eins mehr auf dem Hemd.

Gleichwohl waren es noch immer unendlich viele Pfadfinder. Anstatt nun aber zusammenzurücken, wanderten sie weiter jeder auf der Position, die seiner Ordnungsnummer entsprach. Dadurch blieben Lücken, und statt des üblichen Gedränges ergab sich ein recht lockerer Haufen, der noch nicht einmal einen Schatten warf.

In dieser Form, durch große Lücken unterbrochen, tröpfelten nun die Pfadfinder ins Hilbert-Hotel. Aber so dünn gesät, wie es zunächst den Anschein hatte, waren die Drittelhofener doch nicht, denn auch diesmal konnte der Buchhalter so rasch hintereinander zugreifen, wie er wollte, zwischen den zwei Ergriffenen war fast immer noch ein weiterer ins Hotel geschlüpft. Zugleich aber gab es eigenartigerweise zwischen zwei Hereinkommenden immer auch eine gewisse Pause, in der niemand das Hotel betreten hatte. Dies war bei Pythagoreern und den Schülern nicht der Fall gewesen.

Dieses versprengte Häuflein kann doch nicht schwerer unterzubringen sein als eine Schulklasse, dachte der Portier und begann, das Schulkinderverfahren anzuwenden, kam aber nicht recht vom Fleck. Als der Unmut unter den Wartenden wuchs, erschien der Direktor, warf einen kurzen Blick auf die Ordnungsnummern und rief mit finsterer Miene: "Raus! Raus! Alle raus! Wir können euch nicht aufnehmen. Ihr seid zu viele! Von mir aus könnt ihr im Peano-Park zelten."

Folgsam begaben sich die Pfadfinder wieder nach draußen und begannen, ein Zeltlager aufzuschlagen. Wir aber fragten den Direktor, wie er so schnell die Lage erfasst habe. "Die kenne ich doch", erwiderte er, "das sind die Halberstädter mit ihren Nullen und Einsen auf dem Hemd." Wir wechselten einige verwunderte Blicke; es stellte sich heraus, dass der Direktor kurzsichtig war und bei den – wirklich sehr kleinen – Ziffern jede Zwei für eine Eins gelesen hatte. Er errötete und zögerte einen Moment, erklärte uns jedoch dann, dass sein Irrtum vollkommen belanglos sei. "Wenn ich die diskontinuierlichen Drittelhofener mit ihren Zweien unterbringen könnte, hätte mir das ja auch bei den kontinuierlichen Halberstädtern gelingen müssen, indem ich dasselbe Verteilungsverfahren auf die Nummern mit Einsen anstelle der Zweien anwende. Aber das ist unmöglich."

Wir sprachen einen der zeltenden Jünglinge an und drückten unser Bedauern darüber aus, dass sie ob ihrer übergroßen Zahl so rüde an die frische Luft gesetzt worden seien. Doch der Angesprochene erwiderte nur: "Ey Opa, mach dir nicht ins Hemd! Ihr abzählbaren Kleingeister mögt in endlich großen Betten schlummern. Für uns seid ihr alle zusammen vom Maße null. Wer noch nie die Nacht unter dem gewaltigen Sternenhimmel verbracht hat, weiß nicht, was Transzendenz bedeutet."

Nun ja – man sieht sich ungern als vernachlässigbar bezeichnet. Aber der wilde Charme des Pfadfinderlebens reizte uns doch so, dass wir tags drauf zum großen Pfadfindertreffen nach Jacobsthal fuhren.

Dass der Zug unterwegs unendlich oft hielt und trotzdem nach einer Stunde am Ziel eintraf, beeindruckte uns nur noch mäßig. Immerhin stand der Zug in jedem Bahnhof eine endliche Zeit. Sehr erstaunt waren wir jedoch über den geringen Platzbedarf für das große Treffen. Immerhin hatten uns die Drittelhofener Pfadfinder erzählt, dass es ebenso viel Gruppen von Pfadfindern gebe wie Mitglieder in ihrer eigenen Gruppe; und die anderen Gruppen seien auch nicht kleiner. Trotzdem wollten sie sämtlich auf einer gerade hundert Meter langen Linie entlang dem Ufer eines kleinen Sees Platz finden.

Die vielen Gruppen standen fächerförmig Schlange vor dem Eingang zur Uferwiese, der so eng war, dass immer nur ein Pfadfinder auf einmal durchpasste. Der ganze Vorplatz zur Wiese war schwarz von Pfadfindern, und ein einziger Platzanweiser stand am Eingang und gab Nummern aus – allerdings schweigend, denn selbst der unendlich geschwätzige Hotelportier hätte keine Zeit gefunden, jedem Teilnehmer seine Nummer anzusagen. Die Abfertigung ging hier noch weitaus schneller vor sich als im Hotel, denn der Anweiser schleuste nicht nur am Ende seiner Aktion, sondern in jedem beliebigen Zeitintervall unendlich viele Leute durch das Nadelöhr.

"Die sind aber gut drauf", bemerkte ich. "Klar", sagte der Platzanweiser. "Ich schicke die Kinder so auf den Platz, dass enge Freunde einigermaßen eng beisammenbleiben. Dass noch unendlich viele Leute aus anderen Gruppen dazwischen geraten, stört sie nicht besonders, denn zu den guten Freunden ist es ungefähr so weit wie zuvor. Nur beim Abschied gibt es regelmäßig Tränen. Da haben sich dann viele enge Nachbarn angefreundet und werden weit, weit auseinander gerissen. Aber das ist nicht zu vermeiden."

"Und wie geben Sie jedem Teilnehmer seine Platznummer?"

"Das ist einfach. Jede Gruppe ist durch eine unendliche Ziffernfolge gekennzeichnet, und jedes Mitglied einer Gruppe hat nochmals eine unendlich lange Mitgliedsnummer; beide bestehen nur aus Nullen und Einsen, wenn man sie richtig hinschreibt. Ich lege beide Ziffernfolgen vor mich hin und greife immer abwechselnd eine Ziffer rechts, eine links. Das gibt die Platznummer."

"Und wie findet der einzelne Pfadfinder zur Platznummer seinen Platz?"

"Das ist auch ganz einfach. Für die erste Ziffer auf seinem Schild läuft er die halbe Linie entlang, wenn es eine Eins ist, und gar nicht, wenn es eine Null ist. Für die nächste Ziffer läuft er ein Viertel der Gesamtentfernung oder auch nicht, je nachdem, für die dritte Ziffer ein Achtel, und so weiter. "

"Aber wieso haben Sie gerade eben ein paar Leute weggeschickt?"

"Ach, das waren die merkwürdigen Typen mit nur endlich vielen Einsen in der Platznummer. Irgendwann bleiben die beim Platzsuchen dann stehen. Wenn dann einer nachkommt, dessen Nummer zunächst dieselbe ist und dann statt auf 100000… auf 011111… endet, prügeln die sich um den Platz. Ich schicke sie auf den abzählbaren Zeltplatz nebenan, da sind die Fastnurnullen dann unter sich."

Als wir am Abend ins Hilbert-Hotel zurückkehrten, kam uns alles auf einmal so klein und überschaubar vor. Anders als die Pfadfinder wurden wir individuell bedient, wenn auch in beliebig kurzer Zeit; und als wir am nächsten Morgen in einer unendlich langen Schlange zum Bezahlen standen, waren wir gewiss, auch wir würden binnen weniger Minuten an die Reihe kommen.

Irgendjemand musste uns von hinten geschubst haben. Jedenfalls waren wir auf einmal an der Kasse vorbei und auf dem Weg ins Freie. Nun ist es nicht meine Art, die Zeche zu prellen. Wir spürten wenig Lust, uns in die Schlange der Weinfreunde einzureihen, die gerade busweise abgefertigt wurden, und wandten uns abermals an den Direktor.

Der lächelte nur und sagte: "Fahren Sie nur. Ich hoffe, der Aufenthalt bei uns hat Ihnen gefallen. Es kommt nicht darauf an, wer Ihre Rechnung bezahlt. Und bezahlt wird sie auf jeden Fall."

"Wie das?"

"Das geht streng nach der Reihenfolge. Der erste Weinfreund bezahlt Ihre Rechnung, der zweite die Ihrer Frau, der dritte die des ersten, der vierte die des zweiten, und so weiter. Es bleibt keine Rechnung unbezahlt."

Höchst erfreut und uns am Kopf kratzend traten wir den Heimweg an.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 5 / 2000, Seite 112
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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