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Neue Welttheorien: von Strings zu Membranen

Entwürfe einer allumfassenden Theorie legen mindestens eine Dimension zu: Nicht mehr die fadenartigen Strings, sondern flächige oder noch höherdimensionale Membranen sind die theoretischen Konstrukte, welche die Eigenschaften von Elementarteilchen ebenso wie die von Schwarzen Löchern erklären sollen.

Die Natur habe ihre großen Geheimnisse, soweit überhaupt möglich, längst preisgegeben – das behaupten einige voreilige Totengräber der Naturwissenschaften und prophezeien deren Ende. Sie scheinen zu vergessen, daß das große Gebäude der Physik immer noch ziemlich schief steht. Seine beiden Hauptsäulen passen nicht zusammen: die allgemeine Relativitätstheorie und die Quantenmechanik. In der Welt der Elementarteilchen gelingt es der Relativitätstheorie nicht, mit den Gesetzen der Quantenmechanik in Einklang zu kommen; umgekehrt stellen im kosmischen Maßstab Schwarze Löcher die Grundlagen der Quantenmechanik in Frage. Und es ist bereits klar, daß diese Widersprüche nicht durch eine kleine Korrektur aufzulösen sind.
Vor diesem Hintergrund zeichnet sich weniger das Ende der Naturwissenschaft ab als vielmehr eine neue Revolution. Eine allumfassende Theorie (theory of everything), die nicht nur diesen Widerspruch auflöst, sondern schlichtweg alle Phänomene der Physik erklärt, ist nach wie vor ein lohnendes Ziel.
Bis vor kurzem knüpften sich dabei die Hoffnungen vor allem an Strings: eindimensionale Objekte, deren Schwingungszustände als Elementarteilchen gedeutet werden können (siehe "Superstrings" von Michael B. Green, Spektrum der Wissenschaft, November 1986, Seite 54, und "Duale Strings – Elemente einer allumfassenden Theorie?" von Madhusree Mukerjee, Spektrum der Wissenschaft, März 1996, Seite 42). Erst im Laufe der letzten beiden Jahre ist dieses Konzept in der sogenannten M-Theorie aufgegangen.
Einer der führenden Forscher auf diesem Gebiet ist Edward Witten vom Institute for Advanced Study in Princeton (New Jersey), der bislang einzige Physiker, der (1990) die Fields-Medaille erhielt, die dem Nobelpreis gleich geachtete Auszeichung für herausragende mathematische Leistungen (Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1990, Seite 38). Nach seinen Worten darf man das M im Namen der neuen Theorie nach Belieben als Abkürzung für magic (Zauber), mystery (Wunder) oder Membran auffassen. Es handelt sich um die erregendste Entwicklung seit der Entdeckung der Strings; nahezu täglich finden sich neue Belege dafür.
Wie schon die String-Theorie beruht auch die M-Theorie entscheidend auf dem Konzept der Supersymmetrie. Dieses ist von der landläufigen Vorstellung von Symmetrie als Gleichheit mit dem Spiegelbild zwar sehr weit entfernt, aber der Grundgedanke ist gleichwohl derselbe: Man interessiert sich dafür, ob die Naturgesetze unverändert bleiben, wenn man auf ein physikalisches System eine Transformation anwendet. Diese kann etwas so Einfaches sein wie der Übergang zum Spiegelbild oder eine Verschiebung des Koordinatensystems, aber auch etwas Abstrakteres wie das Ersetzen aller positiven elektrischen Ladungen durch negative und umgekehrt. Wenn eine solche Transformation die Naturgesetze tatsächlich unverändert läßt, spricht man von einer Symmetrietransformation oder – unter Mißachtung der Sprachregeln – schlicht von einer Symmetrie.
Die Supersymmetrie-Transformationen beziehen sich nun unter anderem auf den inneren Drehimpuls der Elementarteilchen, den Spin. Die Physiker unterscheiden Teilchen mit ganzzahligem (0, 1, 2, ...) von solchen mit halbzahligem Spin (1/2, 3/2, 5/2, ..., jeweils in Einheiten der Quantentheorie). Nach dem Konzept der Supersymmetrie müßte zu jedem bekannten Teilchen ein sogenannter Superpartner existieren, ein massegleiches Teilchen der jeweils anderen Spin-Sorte.
Allerdings wurde bislang kein solcher Superpartner gefunden. Wenn es überhaupt eine Supersymmetrie gibt, muß sie also gebrochen sein; nur dann nämlich ist denkbar, daß die hypothetischen Superteilchen eine weitaus größere Masse haben als ihre bekannten Partner und deswegen mit Hilfe der gegenwärtig verfügbaren Teilchenbeschleuniger nicht beobachtbar sind.
Aber warum glauben die Physiker überhaupt an die Supersymmetrie, wenn die von ihr postulierten Teilchen gar nicht nachweisbar sind? Weil sich unter diesem theoretischen Dach alle vier Grundkräfte vereinigen lassen: die schwache, die elektromagnetische, die starke und sogar die widerspenstigste von allen, die Gravitation.
Jede Supersymmetrie-Transformation wirkt auf die Koordinaten von Raum und Zeit so, daß die physikalischen Gesetze für alle Beobachter dieselben sind. Aus diesem Prinzip ist die allgemeine Relativitätstheorie Albert Einsteins (1879 bis 1955) herleitbar; damit folgt aus der Supersymmetrie die Theorie der Schwerkraft – genauer gesagt, eine Theorie namens Supergravitation. In ihr ist ein Teilchen mit Spin 2, das Graviton, der Überträger der Gravitationswechselwirkung, und sein Superpartner ist das Gravitino mit Spin 3/2 (siehe "Quantentheorie der Gravitation" von Bryce S. DeWitt, Spektrum der Wissenschaft, Februar 1984, Seite 30).
Die gewöhnliche Gravitationstheorie läßt sich im Prinzip für Räume mit beliebiger Dimensionsanzahl formulieren. Dagegen darf in der Theorie der Supergravitation die Raumzeit höchstens elfdimensional sein.
Wozu dienen diese Überlegungen? Schließlich hat das Universum, in dem wir leben, nur die drei Raum-Dimensionen Höhe, Länge und Breite und als vierte Dimension die Zeit. Jedoch äußerten in den frühen zwanziger Jahren der in Kiel und Göttingen tätige Physiker Theodor Kaluza (1885 bis 1954) und sein schwedischer Fachkollege Oskar Klein (1894 bis 1977) eine Vermutung: Möglicherweise gibt es eine verborgene fünfte Dimension der Raumzeit, die im Unterschied zu den anderen vieren nicht unendlich ausgedehnt, sondern kreisförmig geschlossen ist.
Auf dieser Kreislinie – so der Gedankengang weiter – sitzen Quantenwellen, deren Wellenlänge ein Bruchteil des Kreisumfangs sein muß, damit eine ganze Zahl von Wellenbergen und -tälern auf den Umfang paßt. Jede dieser Quantenwellen ist nun als Teilchen interpretierbar, dessen Energie durch die jeweilige Wellenlänge gegeben und damit quantisiert ist; die Teilchenenergien nehmen mithin nur ganz bestimmte, diskrete Werte an.
Für einen Beobachter in den vier flachen (nicht aufgerollten) Dimensionen würde sich die Energie der Teilchen allerdings nicht als solche bemerkbar machen, sondern als Ladung. Alle Ladungen wären ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Ladungseinheit, deren Größe wiederum vom Radius des Kreises abhängt. Eine solche quantisierte Ladung gibt es in der realen Welt tatsächlich: Alle elektrischen Ladungen sind Vielfache von e, der Ladung des Elektrons. Damit sich der richtige Wert für e ergibt, müßte der entsprechende Kreis freilich äußerst winzig sein: Sein Radius betrüge ungefähr 10-33 Zentimeter.
Das liegt weit unterhalb jeder meßbaren Länge und erklärt, warum die unsichtbare Dimension keine direkten Wirkungen hat. Gleichwohl würde die Theorie der Supersymmetrie auf diese Weise die elektromagnetische Kraft erklären – womit diese und die Gravitation unter einem Dach vereint wären.
Eugene Cremmer, Bernard Julia und Joel Scherk von der École normale supérieure in Paris entdeckten 1978, daß die Supergravitation nicht nur bis zu sieben weitere Dimensionen zuläßt, sondern ihre eleganteste Form gerade bei der Maximalzahl von elf Raumzeit-Dimensionen (zehn räumlichen plus einer zeitlichen) annimmt. Davon wären sieben entsprechend der Idee von Kaluza und Klein eingerollt. Zur Gestaltung dieser Aufwicklung gibt es zahlreiche Variationsmöglichkeiten, die man nutzen könnte, um außer dem Elektromagnetismus auch die schwache und die starke Kernkraft aus der Theorie der Supergravitation herzuleiten. Deshalb erhofften sich zahlreiche Physiker von diesem Ansatz eine allumfassende Theorie.
Im Jahre 1984 zerplatzte jedoch der schöne Traum. Bemerkenswerterweise ist die Natur nämlich nicht invariant bezüglich einer sehr einfachen Symmetrie, der räumlichen Spiegelung: In den Gesetzen der schwachen Kernkraft gibt es einen Unterschied zwischen rechts und links. Zum Beispiel haben Neutrinos in bezug auf ihre Flugrichtung immer einen linksorientierten Spin. Witten und einige seiner Kollegen zeigten, daß eine solche Händigkeit aus einer Reduktion von elf auf vier Dimensionen nicht ohne weiteres entstehen kann.
Als Nachfolger der elfdimensionalen Supergravitation etablierte sich bald die Superstring-Theorie in zehn Dimensionen, und zwar gleich in fünf Varianten. Die Namen der Stringsorten leiten sich von mathematischen Eigenschaften her, die ich hier nicht näher erläutern kann: Es gibt heterotische E8×E8- und SO(32)-Strings sowie solche der Typen I, IIA und IIB. Ein String vom Typ I ist offen, das heißt, es ist ein kurzes Kurvenstück mit Anfang und Ende; die anderen sind kleine geschlossene Schleifen.
Besonders der heterotische E8×E8-String schien – zumindest im Prinzip – geeignet für eine allumfassende Beschreibung aller Elementarteilchen und Kräfte einschließlich ihrer Händigkeit. Und im Gegensatz zur Supergravitation schien eine String-Theorie der Gravitation mit den Effekten der Quantenmechanik vereinbar zu sein. Angesichts dieser Vorzüge der String-Theorie verwarfen die Physiker bereitwillig die Vorgängerin. Murray Gell-Mann vom California Institute of Technology in Pasadena beschrieb die Stimmung jener Zeit auf einer Konferenz mit den Worten: "Supergravitation in elf Dimensionen – igitt!"

p-Membranen

Der anfänglichen Euphorie folgten bald die ersten Zweifel. Zum einen konnten zahlreiche Fragen, die sich aus den neuen Theorien ergaben, mit den bisherigen Rechenmethoden nicht beantwortet werden, sondern erforderten völlig neue Verfahren; insbesondere ließen sich keine experimentell überprüfbaren Aussagen ableiten. Zum anderen wünscht man sich, wenn man auf der Suche nach der allumfassenden Theorie ist, daß sich eine einzige Hypothese zwangsläufig als die richtige erweise; fünf Varianten sind da einfach zuviel des Guten. Drittens erlaubt die Supersymmetrie elf Dimensionen; warum also begnügen sich die Superstrings mit zehn? Und schließlich: Wenn wir Physiker bereit sind, uns punktförmige Teilchen als eindimensionale Strings vorzustellen, warum denken wir dann nicht gleich an zweidimensionale Membranen – an Super-Ravioli statt Super-Spaghetti? Oder ganz allgemein an p-dimensionale Objekte? Eine kleine Gruppe von Theoretikern stürzte sich begeistert auf die neuen hypothetischen Objekte und hatte – sprechfaul, aber kreativ – alsbald einen Namen dafür: p-branes als Verkürzung von p-dimensional membranes.
Ein punktförmiges Teilchen hat null Dimensionen und hinterläßt auf seiner Reise durch die Raumzeit eine eindimensionale Spur, eine sogenannte Weltlinie (Bild 2). Entsprechend durchmessen ein – eindimensionaler – String eine zweidimensionale Weltfläche und eine zweidimensionale Membran ein dreidimensionales Weltvolumen. Allgemein überstreicht eine p-Membran im Laufe der Zeit ein Weltvolumen der Dimension p+1. (Damit für ein solches Volumen überhaupt Platz ist, muß die Raumzeit mindestens (p+1)-dimensional sein.)
Schon 1962 hatte Paul A. M. Dirac (1902 bis 1984), einer der Schöpfer der Quantenmechanik, ein Membranmodell ersonnen: Man habe sich das Elektron nicht als Punkt, sondern als kleine Blase vorzustellen, als in sich abgeschlossene Membran. Einer ihrer Schwingungszustände wäre etwa das Myon, ein dem Elektron sehr ähnliches Elementarteilchen mit größerer Masse. Diracs Ansatz endete zwar in einer Sackgasse; aber die Membran-Gleichungen, mit denen wir heute arbeiten, sind im wesentlichen dieselben, die er benutzte. Die Membran kann die Form einer Blase annehmen, sich aber auch in zwei Raumrichtungen ausbreiten wie ein Gummituch.
Wie viele Dimensionen kann eine p-Membran überhaupt haben? Die Bedingungen der Supersymmetrie lassen nur wenige Möglichkeiten zur Auswahl (Bild 5). Eric Bergshoeff von der Universität Groningen (Niederlande), Ergin Sezgin, der inzwischen an der Texas A&M University in College Station arbeitet, und Paul K. Townsend von der Universität Cambridge (England) fanden eine mathematische Darstellung für eine zweidimensionale, tuchartige Membran, die in der elfdimensionalen Raumzeit schwebt. Paul Howe vom King's College in London, Tekeo Inami von der Universität Kioto (Japan), Kellogg Stelle vom Imperial College in London und ich selbst konnten folgendes zeigen: Ist eine der elf Dimensionen zu einem Kreis eingerollt, so können wir die Membran entlang dieser Dimension einmal aufrollen und an den Kanten zusammenkleben, so daß ein Schlauch entsteht. Wird der Radius des Kreises immer kleiner, wird die schlauchförmige Membran zu einem String in zehn Dimensionen, und zwar vom Typ IIA (Bild 3).
Aus der Membran-Theorie war also zumindest ein Teil der String-Theorie herleitbar, was jedoch deren orthodoxe Anhänger zunächst wenig beeindruckte. Das änderte sich erst durch einen Fortschritt in einem scheinbar weit entfernten Gebiet.
Die deutsche Mathematikerin Emmy Noether (1882 bis 1935) hatte bereits 1917 gezeigt, daß die Erhaltung der Masse, die der Ladung und anderer Eigenschaften der Elementarteilchen aus Symmetrieprinzipien herzuleiten sind. Zum Beispiel folgt der Satz von der Erhaltung der Energie – nicht nur für Elementarteilchen, sondern ganz allgemein – aus der Annahme, die Gesetze der Physik seien zu jedem Zeitpunkt dieselben, also invariant gegen die Symmetrietransformation Zeitverschiebung. Die Erhaltung der elektrischen Ladung ergibt sich aus einer Symmetrieeigenschaft der Wellenfunktionen, mit denen die Elementarteilchen in der Quantenmechanik beschrieben werden.
Es gibt eine weitere denkbare Begründung für die Erhaltung bestimmter Eigenschaften. Wenn in einer zur Schleife geschlossenen oder unendlich ausgedehnten Schnur ein Knoten ist, kann man zwar die Schnur auf viele Weisen deformieren, insbesondere den Knoten die Schnur entlangwandern lassen, aber ihn nicht auflösen, ohne die Schnur zu zerstören. Allgemein bleibt die Anzahl der Knoten erhalten. Man spricht von einer topologischen Erhaltungsgröße, denn die Topologie ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Verknotungen und ähnlichen Eigenschaften ohne Rücksicht auf die genaue Gestalt der Dinge befaßt. Hingegen werden die durch Symmetrie begründeten Erhaltungsgrößen Noethersch genannt.
Unauflösliche Knoten in einem Bündel von Feldlinien heißen Solitonen und verhalten sich fast wie Teilchen. Ein klassisches Beispiel für Solitonen sind die magnetischen Monopole, isolierte Nord- oder Südpole eines Magneten ohne einen Gegenpol; sie sind zwar noch nie beobachtet worden, kommen aber in gewissen Feldtheorien vor.
Traditionell gelten in der Physik die bekannten Teilchen wie Elektronen und Quarks, die eine Noethersche Ladung tragen, als fundamental, magnetische Monopole und ähnliche Solitonen mit topologischer Ladung dagegen als abgeleitet, weil ihre Eigenschaften – einschließlich ihrer schieren Existenz – sich aus denen der fundamentalen Teilchen ergeben. Im Jahre 1977 stellten nun Claus Montonen, inzwischen am Physikalischen Institut in Helsinki tätig, und David I. Olive, heute an der Universität von Wales in Swansea, eine kühne Vermutung auf: Vielleicht könnte man ja die ganze Physik auf den Kopf stellen. In dieser dualen Formulierung wären die magnetischen Monopole fundamentale Objekte; die bekannten Teilchen dagegen (Elektronen, Quarks und so weiter) träten als Solitonen in Erscheinung. Noethersche (zum Beispiel elektrische) und topologische (zum Beispiel magnetische) Ladungen würden also gerade ihre Rollen vertauschen.
Für diese Idee gibt es einen guten, mehr als hundert Jahre alten Grund: Die von dem Briten James Clerk Maxwell (1831 bis 1879) aufgestellten Gleichungen des Elektromagnetismus sind fast symmetrisch gegen eine Vertauschung von elektrischem und magnetischem Feld. Die Abweichung besteht nur darin, daß in den Gleichungen zwar Quellen des elektrischen Feldes (Ladungen), nicht aber solche des magnetischen (Monopole) vorgesehen sind.
Einem fundamentalen Teilchen mit der Ladung e in der originalen Welt entspricht in der dualen ein Soliton der Ladung 1/e. Nun bestimmt die Ladung der Teilchen, wie stark sie miteinander wechselwirken; deshalb ist die Wechselwirkung zwischen den Solitonen in der dualen Welt schwach, wenn sie zwischen ihren Entsprechungen in der originalen stark ist, und umgekehrt.
Falls diese Dualität tatsächlich gelten sollte, würde das die mathematische Behandlung erheblich vereinfachen. Die typischen Rechnungen der Elementarteilchenphysik sind nämlich störungstheoretische Näherungen: Man unterstellt, daß eine für die Wechselwirkung entscheidende Größe klein ist – nicht vernachlässigbar, aber doch so, daß man das Quadrat dieser Größe vernachlässigen kann. Nun sind aber zum Beispiel die Größen, welche die Wechselwirkung der Quarks bestimmen, nicht klein und können mit keinem Mittel kleininterpretiert werden; es ist in jedem Sinne eine starke Wechselwirkung.
Die zu den Quarks gehörigen Solitonen in der dualen Welt würden also nur schwach wechselwirken. Da die duale Theorie letztlich dieselben Ergebnisse liefert, könnte man also alle Rechnungen mit den schwach wechselwirkenden Solitonen in der dualen Welt durchführen und die Ergebnisse auf die stark wechselwirkenden Quarks der realen übertragen.
Indes dümpelte die schöne Idee ergebnislos vor sich hin. Es handelt sich um ein typisches Henne-oder-Ei-Problem. Denn ließe sich die Hypothese von Montonen und Olive beweisen, könnte man Berechnungen durchführen, die mit den üblichen Methoden undenkbar sind, und umgekehrt. Eben diese Rechenmethoden reichen aber für einen Beweis der Hypothese nicht aus.
Auch p-Membranen lassen sich als Solitonen auffassen. Andrew Strominger vom Institut für Theoretische Physik in Santa Barbara (Kalifornien) fand 1990, daß ein zehndimensionaler String ein Soliton hervorbringen kann, das nichts anderes ist als eine 5-Membran. Strominger griff eine meiner früheren Vermutungen auf und postulierte, das duale Gegenstück eines stark wechselwirkenden Strings der realen Welt sei eine schwach wechselwirkende 5-Membran.
Diese Vermutung stieß zunächst auf zwei Hindernisse. Zum einen gab es schon für die von Montonen und Olive vorgeschlagene Dualität zwischen elektrischen Ladungen und magnetischen Monopolen in den gewöhnlichen vier Dimensionen keinen Beweis; noch viel gewagter war es, eine Dualität zwischen Strings und 5-Membranen in zehn Dimensionen zu vermuten. Zum anderen war unklar, wie man die Quanteneigenschaften der 5-Membranen erforschen könnte, um so die neue Dualität zu beweisen.

Dualität von Dualitäten

Das erste Hindernis wurde ausgeräumt, als Ashoke Sen vom Tata-Institut für Grundlagenforschung in Bombay (Indien) zeigte, daß in supersymmetrischen Theorien Solitonen vorkommen müßten, die sowohl elektrische als auch magnetische Ladung tragen. Das stärkte die Hypothese von Montonen und Olive, aus der sich ebenfalls die Existenz solcher Solitonen ergibt.
Dieses unscheinbare Ergebnis bekehrte viele Skeptiker und löste eine Flut von Veröffentlichungen aus. Insbesondere veranlaßte es Nathan Seiberg von der Rutgers-Universität in New Brunswick (New Jersey) und Witten, in realistischeren – aber nach wie vor supersymmetrischen – Quark-Theorien nach einer Dualität zu suchen. Die Fülle neuer Erkenntnisse über Quantenfelder, die sie dabei zutage förderten, wäre wenige Jahre zuvor noch unvorstellbar gewesen.
Außerdem verallgemeinerten 1990 einige theoretische Physiker die Idee der Montonen-Olive-Dualität zur sogenannten S-Dualität auf Superstrings in vier Dimensionen. In diesem Rahmen wirkt sie noch einleuchtender, bleibt allerdings weiterhin spekulativ.
Zu jener Zeit war aber den String-Theoretikern noch eine völlig andere Art von Dualität vertraut geworden: die T-Dualität. Sie stiftet eine Beziehung zwischen zwei Sorten von Teilchen, die entstehen, wenn ein String sich um eine kreisförmig eingerollte Dimension wickelt (Kasten auf Seite 66). Die erste Sorte sind die Schwingungsteilchen, die schon Kaluza und Klein beschrieben hatten; sie entsprechen den quantisierten Schwingungen der Stringschleife und sind um so energiereicher, je kleiner der Kreis ist. Der String kann sich aber auch mehrfach um die eingerollte Dimension wickeln wie ein Gummiband um ein Handgelenk. Seine Energie wächst dabei mit der Anzahl der Windungen und ist um so größer, je größer der Kreis ist. Jedem Energieniveau (einer Windung, zwei Windungen und so weiter) entspricht ein Teilchen der zweiten Sorte, Windungsteilchen genannt.
Nach der T-Dualität entsprechen die Windungsteilchen mit Kreisradius R den Schwingungsteilchen mit Radius 1/R. Physikalisch sind die beiden Arten nicht zu unterscheiden: Eine lose eingerollte Dimension kann, was beobachtbare Größen angeht, dieselben Teilchen hervorbringen wie eine stramm eingerollte.
Die T-Dualität hat eine weitreichende Konsequenz. Seit Jahrzehnten bemühen sich die Physiker, die Natur in der Größenordnung der Planck-Länge von 10-33 Zentimetern zu verstehen. Wir haben immer geglaubt, die üblichen Naturgesetze würden bei so geringen Abständen ihre Gültigkeit verlieren. Dagegen besagt die T-Dualität, daß das Universum in derart kleinen Größenordnungen nicht anders aussehe als im großen Maßstab.
Gleichwohl blieb die Dualität zwischen Strings und 5-Membranen eine Vermutung, denn das zweite Hindernis stand nach wie vor im Wege: die Frage, wie man 5-Membranen quantisiert. Jianxin Lu, Ruben Minasian, Ramzi Khuri und ich bildeten 1991 an der Texas A&M University ein Team, um dieses Problem zu lösen – was uns schließlich gelang, indem wir es umgingen. Wenn nämlich vier der zehn Dimensionen eingerollt werden und die solitonische 5-Membran sich um diese vier Dimensionen wickelt, wird sie im Effekt eindimensional – ein solitonischer String in einer sechsdimensionalen Raumzeit. Dem fundamentalen String der zehndimensionalen Raumzeit geschieht bei dieser Prozedur nichts, er bleibt auch in sechs Dimensionen fundamental. Dadurch war aus der Dualität zwischen fundamentalen Strings und solitonischen 5-Membranen eine zwischen fundamentalen und solitonischen Strings geworden.
Der Wechsel der Betrachtungsweise hat einen Vorteil: Wir wissen, wie man Strings quantisiert. Deswegen konnten wir aus der String-String-Dualität überprüfbare Vorhersagen gewinnen. Zum Beispiel läßt sich beweisen, daß die Stärke der Wechselwirkung zwischen solitonischen Strings gleich dem Kehrwert der entsprechenden Größe für fundamentale Strings ist, in Übereinstimmung mit der ursprünglichen Vermutung.
Christopher M. Hull vom Queen Mary and Westfield College in London fand 1994 in Zusammenarbeit mit Townsend gute Gründe für die Annahme, daß ein schwach wechselwirkender heterotischer String als Dual eines stark wechselwirkenden Strings vom Typ IIA aufgefaßt werden könne, wenn man beide in sechs Dimensionen betrachtet. Die Fronten zwischen den verschiedenen String-Theorien begannen zu bröckeln.
Mir fiel auf, daß die String-String-Dualität ein weiteres unerwartetes Bonbon bereithält. Reduzieren wir die sechsdimensionale Raumzeit auf vier Dimensionen, indem wir zwei weitere Dimensionen einrollen, so erwerben beide Strings – der fundamentale wie der solitonische – eine T-Dualität; erstaunlicherweise ist die S-Dualität des fundamentalen Strings gerade die T-Dualität des solitonischen, wie auch umgekehrt. Dieses Phänomen wird als Dualität von Dualitäten bezeichnet.
Dem Austausch von elektrischen und magnetischen Ladungen im originalen Bild entspricht im dualen der Austausch von Schwingungs- und Windungsteilchen samt Übergang zum Kehrwert des Radius. Damit ist die bis dahin spekulative S-Dualität genauso gesichert wie die längst etablierte T-Dualität. Außerdem ergibt sich, daß die Größe der unsichtbaren Dimensionen die Ladung der Elementarteilchen und damit auch die Stärke der Wechselwirkungen zwischen ihnen beeinflußt. Was wir im einen Universum Ladung nennen, könnte in einem anderen eine Länge sein.
In einem bahnbrechenden Vortrag 1995 an der Universität von Süd-Kalifornien in Los Angeles brachte Witten auf einmal alle Arbeiten über T-, S- und String-String-Dualität unter dem Dach der M-Theorie in elf Dimensionen zusammen (Bild 7). In den folgenden Monaten erschienen im Internet buchstäblich Hunderte von Veröffentlichungen, die sich in einem Punkt einig waren: Was immer die M-Theorie sein mag, Membranen sind ein entscheidender Bestandteil.
Sogar der E8×E8-String, dessen Händigkeit nicht aus den elf Dimensionen herleitbar schien, konnte auf die M-Theorie zurückgeführt werden. Witten und Peter Horava von der Universität Princeton (New Jersey) zeigten, daß die zusätzliche Raumdimension der M-Theorie statt zu einem Kreis auch zu einer begrenzten Linie zusammenschnurren kann. Dabei entsteht das folgende Bild: An den beiden Enden der Linie sitzen zehndimensionale Universen, die durch eine elfdimensionale Raumzeit verbunden sind. Sowohl Teilchen als auch Strings existieren nur in den beiden parallelen Universen an den Enden, die ausschließlich durch Gravitation aufeinander einwirken können.
In dem, was physikalischen Laien als absurdes Glasperlenspiel erscheinen mag, schimmert sogar ein Bezug zur vertrauten Welt durch. Es ist nämlich vorstellbar, daß wir uns mit der gesamten sichtbaren Materie in dem Universum am einen Ende befinden, während in dem am anderen Ende die hypothetische dunkle Materie liegt, welche die Kosmologen bisher vermissen.
Mit diesem Szenario rückt die M-Theorie einer experimentellen Überprüfbarkeit näher. Zum Beispiel wissen die Physiker, daß die Stärke aller Kräfte von der Energie der Teilchen abhängt, die diese Kräfte übertragen. In den supersymmetrischen Feldtheorien nähern sich die starke, die schwache und die elektromagnetische Kraft bei einer Teilchenenergie E von 1016 Gigaelektronenvolt (Milliarden Elektronenvolt) dem gleichen Wert (Bild 6). Dieser entspricht ungefähr, wenngleich nicht genau, der dimensionslosen Zahl GE2, wobei G die Newtonsche Gravitationskonstante ist. Diese – wohl kaum zufällige – Abweichung schreit förmlich nach einer Erklärung; aber zu ihrer Enttäuschung haben die Physiker bislang keine gefunden.
Überraschenderweise kann nun die Größe der elften Dimension in der bizarren Raumzeit, die Horava und Witten sich vorstellen, so gewählt werden, daß auch die Gravitation den Punkt trifft, an dem bereits jetzt die anderen drei Grundkräfte zusammenkommen. Damit würden sich alle vier deutlich unter dem bisher vermuteten Wert von 1019 Gigaelektronenvolt, der Planck-Energie, vereinigen. (In der Quantenmechanik entsprechen kleine Abstände großen Energien; insbesondere gehört die Planck-Energie zur Planck-Länge.) Quantengravitations-Effekte könnten sich also schon bei wesentlich weniger exotischen Energien bemerkbar machen, als die Physiker bisher für möglich hielten. Wenn das zutrifft, müßte die Kosmologie an zahlreichen Stellen revidiert werden.

Folgen für Schwarze Löcher

Kürzlich erkannte Joseph Polchinski vom Institut für Theoretische Physik in Santa Barbara, daß manche p-Membranen einer Fläche gleichen, die der deutsche Mathematiker Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 bis 1859) entdeckt hat. Unter gewissen Umständen sind diese p-Membranen als Schwarze Löcher interpretierbar, jene rätselhaften Objekte, deren Gravitationsfeld innerhalb eines bestimmten Abstandes – des Ereignishorizonts – nichts entkommt, nicht einmal Licht (daher ihr Name).
Insbesondere kann man offene Strings als geschlossene Strings auffassen, die teilweise von einer schwarzen Membran (black-brane) verdeckt sind. Für Schwarze Löcher selbst folgt daraus eine völlig neue Interpretation: Sie wären Durchdringungen schwarzer Membranen, eingerollt in sieben Dimensionen. Am Ende könnte die M-Theorie vielleicht sogar das Paradoxon der Schwarzen Löcher auflösen.
Stephen W. Hawking von der Universität Cambridge hatte 1974 dargelegt, daß Schwarze Löcher nicht völlig schwarz seien, sondern Energie abstrahlen könnten (Spektrum der Wissenschaft, September 1996, Seite 46, und Juni 1997, Seite 58). Wenn das so ist, müssen sie eine von null verschiedene Entropie haben. Die Entropie mißt die Unordnung eines physikalischen Systems und ist um so größer, je mehr unterschiedliche Quantenzustände das System einnehmen kann. Allerdings blieb der mikroskopische Ursprung dieser Quantenzustände ungeklärt. Mit Hilfe der mathematischen Techniken für Dirichlet-Membranen gelang es Strominger und Cumrun Vafa von der Harvard-Universität in Cambridge (Massachusetts), die Anzahl der Quantenzustände in schwarzen Membranen zu bestimmen. Daraus errechneten sie einen Wert für die Entropie, der perfekt mit Hawkings Vorhersage übereinstimmt, und sammelten damit weitere Punkte für die M-Theorie.
Man hofft auch, mit schwarzen Membranen eines der größten Probleme der String-Theorie zu lösen: Bislang scheint es eine Unzahl verschiedener Möglichkeiten zu geben, die zehn Dimensionen der Raumzeit auf vier Dimensionen zu reduzieren, und ebenso viele konkurrierende Aussagen darüber, was die reale vierdimensionale Welt im Innersten zusammenhält. Damit wäre die String-Theorie praktisch wertlos. Nun zeigt sich jedoch, daß die Masse einer schwarzen Membran verschwinden kann, wenn das von ihr eingehüllte Loch zu einem Punkt zusammenschrumpft. Eine Folge davon ist, daß eine Raumzeit mit einer bestimmten Anzahl innerer Löcher (vergleichbar einem Schweizer Käse) sich in eine Raumzeit mit einer anderen Zahl von Löchern verwandeln kann – im Widerspruch zu den Gesetzen der klassischen Topologie.
Wenn es aber einen derartigen stetigen Übergang zwischen verschiedenen Raumzeiten gibt, wird es einfacher, die richtige unter ihnen auszuwählen. Man darf sich sogar vorstellen, daß ein String zwischen verschiedenen Raumzeiten wandert und am Ende in derjenigen bleibt, in der er – zum Beispiel – die niedrigste Energie hat. Seine Schwingungen würden dann die uns vertrauten Teilchen und Kräfte hervorbringen: unsere Welt.

Unschärfe der Raumzeit

Allen Erfolgen zum Trotz haben die Physiker von der M-Theorie bislang nur einzelne kleine Zipfel in Händen; der große Überblick fehlt. Vor kurzem gaben aber Tom Banks und Steven H. Shenker von der Rutgers-Universität zusammen mit Willy Fischler von der Universität von Texas (Hauptsitz Austin) und Leonard Susskind von der Universität Stanford (Kalifornien) der Theorie eine neue, exakte Form. Danach gibt es eine unendlich große Zahl von 0-Membranen (also punktförmigen Teilchen). Ihre Koordinaten, das heißt die Beschreibungen ihrer Position, sind nicht wie üblich Zahlen, sondern Matrizen, mathematische Objekte, bei deren Multiplikation es auf die Reihenfolge ankommt: xy ist im allgemeinen nicht gleich yx. Indem also jeder Punkt der Raumzeit nicht mehr durch Zahlen, sondern durch Matrizen gegeben ist, verschwimmt auch der Begriff der Raumzeit selbst.
In der Quantenmechanik gehört diese Art Unschärfe zum Standard: An die Stelle eines Ortes tritt ein sogenannter Operator, der für die Messung des Ortes steht. Zwei Messungen nacheinander entsprechen dem Produkt der Operatoren, und es kommt auf die Reihenfolge an: Es ist ja gerade eine Kernaussage der Quantenmechanik, daß eine Messung die andere beeinflußt. Deswegen fürchten die Physiker schon seit längerer Zeit, daß die Quantenmechanik bei einer Vereinigung mit der Geometrie der Raumzeit – sprich der Gravitationstheorie – ihre angestammte Unschärfe mit einbringen und die Begriffe Raum und Zeit selbst schlecht definiert machen werde, zumindest solange niemand eine bessere Definition findet. Darum hat der Matrizen-Ansatz große Begeisterung ausgelöst, ist aber wahrscheinlich noch nicht der Weisheit letzter Schluß. Wir hoffen, im Lauf der nächsten Jahre gänzlich hinter das Geheimnis der M-Theorie zu kommen.
Witten malt sich gern aus, wie die Physik auf einem anderen Planeten aussehen müßte, auf dem die allgemeine Relativitätstheorie, die Quantenmechanik und die Supersymmetrie in anderer Reihenfolge entwickelt wurden. Auf ähnliche Weise stelle ich mir vor, daß die Wissenschaftler auf einem fernen Planeten, wo man logischer denkt als wir, gleich mit einer elfdimensionalen Raumzeit anfangen und die zehndimensionale String-Theorie als relativ einfache Folgerung daraus herleiten würden. Vielleicht werden irdische Historiker der Zukunft das späte 20. Jahrhundert als eine Zeit beurteilen, in der die theoretischen Physiker wie Kinder am Strand spielten und sich an den glatten Kieselsteinen und hübschen Muschelschalen der Strings erfreuten, während der große Ozean der M-Theorie unentdeckt vor ihnen lag.

Literaturhinweise

– Teilchen, Felder und Symmetrien. Zweite Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995.
– Superstrings. Eine allumfassende Theorie der Natur in der Diskussion. Von P. Davies und J. Brown. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1992.
– The Membrane at the End of the Universe. Von Michael Duff und Christine Sutton in: New Scientist, Band 118, Heft 1619, Seiten 67 bis 71, 30. Juni 1988.
– Unity from Duality. Von Paul Townsend in: Physics World, Band 8, Heft 9, Seiten 1 bis 6, September 1995.
– Reflections on the Fate of Spacetime. Von Edward Witten in: Physics Today, Band 49, Heft 4, Seiten 24 bis 30, April 1996.
– Duality, Spacetime and Quantum Mechanics. Von Edward Witten in: Physics Today, Band 50, Heft 5, Seiten 28 bis 33, Mai 1997.
– String Solitons. Von Michael J. Duff, Ramzi R. Khuri und J. X. Lu in: Physics Reports, Band 295, Seiten 213 bis 326, 1995.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 4 / 1998, Seite 62
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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