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Zusatzbeitrag: Neues über den chaotisch tropfenden Wasserhahn

Genaueres Hinschauen zeigt: Der Wechsel von Ordnung zu Chaos bei Variation der Durchflußrate findet nicht nur einmal, sondern mehrfach statt.

Es war einmal ein Wasserhahn, der tropfte pausenlos,

und jeder, der ihn hörte, fand den Rhythmus ganz famos.

Er tropfte nicht nur einfach so, wie's jeder Hahn versteht,

sein Rhythmus war voll Swing und Pep und Musikalität.

Tipi-tipi-tup-tup, tropft der Rhythmus, tipi-tipi-tup-tup immerzu.

Tipi-tipi-tup-tup-tup, der Wasserhahn gab einfach keine Ruh.

Klaus W. Hoffmann

Der Versuchsaufbau ist denkbar einfach: Man mißt die zeitlichen Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Wassertropfen, die sich bei konstanter Fließgeschwindigkeit aus einem Tropfrohr lösen (Bild 1). Es ist also tn die Zeit, die nach dem Abreißen des (n-1)ten Tropfens in einer Folge vergeht, bis der n-te Tropfen seinerseits abreißt. Je nach dem Wert der Fließgeschwindigkeit (beziehungsweise der dazu proportionalen Durchflußrate) sind konstante, rhythmisch wechselnde oder auch völlig undurchschaubar schwankende tn-Werte zu beobachten. Der tropfende Wasserhahn ist ein klassisches Beispiel für den Übergang zum Chaos (Spektrum der Wissenschaft, Februar 1987, Seite 78).

Warum sind die Zeitabstände trotz unveränderter äußerer Bedingungen nicht konstant? Wenn ein Tropfen abreißt, versetzt er den nachfolgenden, noch im Wachsen begriffenen in Schwingungen. Während ein ungestörter Tropfen genau dann abreißt, wenn er ein bestimmtes Gewicht erreicht hat, kann sich dieser Zeitpunkt je nach dem Schwingungszustand nach vorn oder hinten verschieben.

Die Meßmethode realisiert einen sogenannten Poincaré-Schnitt (vergleiche "Das Chaos meistern" von William L. Ditto und Louis M. Pecora, Spektrum der Wissenschaft, November 1993, Seite 46): Anstelle der Gesamtheit des komplizierten dynamischen Systems beobachtet man sein Verhalten nur in ausgewählten Momenten - jedesmal, wenn ein Tropfen fällt. Nach der Theorie der dynamischen Systeme muß es eine Funktion geben, die den Systemzustand zum Zeitpunkt einer solchen Momentaufnahme auf den Zustand eine Momentaufnahme später abbildet.

An unserer Schule haben wir im Rahmen einer Arbeitsgemeinschaft solche Versuche durchgeführt. Aus der Messung ergab sich zu unserer Überraschung, daß zur Beschreibung des Systemzustandes die von uns gemessenen Werte tn bereits ausreichen. Gerade bei den undurchschaubar schwankenden Meßwerten konnte man dies sichtbar machen. Trägt man nämlich die Bildungszeiten tn und tn+1 aufeinanderfolgender Tropfen gegeneinander auf, so ergibt sich der durch Meßungenauigkeiten nur geringfügig verrauschte Graph einer Funktion (Bild 3).

Variiert man nun die Fließgeschwindigkeit (was ohnehin geschieht, wenn mit der Zeit der Wasserspiegel im Becken absinkt), so findet sich in der Tat der häufig beschriebene Weg zum Chaos (Bild 2) - aber in mehrfacher Ausfertigung. Vom chaotischen Verhalten geht das System bei weiter abnehmender Fließgeschwindigkeit wieder zu geordnetem über; es durchläuft diesen Zyklus mehrfach, und im Diagramm zeigen sich mehrere Gebilde, die wir "Chaospflaumen" genannt haben. Dieses Verhalten haben wir in der wissenschaftlichen Literatur bisher nicht dargestellt gefunden. Immerhin beschreiben Jay Austin (Physics Letters A, Band 155, Heft 2/3, Seite 148, 1991) eine Folge von nicht-chaotischen Periodenverdopplungen mit jeweils anschließender Rückkehr zum stationären Verhalten, Xioamao Wu und Z. A. Schelly (Physica D, Band 40, Seite 433, 1989) eine einzelne vollständige Chaospflaume.

Für dieses Phänomen können wir zumindest eine Erklärungsmöglichkeit anbieten. Durch den Wasserzufluß von oben wächst der noch am Rohr hängende Tropfen, bis er unter seinem eigenen Gewicht abreißt. Nennen wir die Höhe seines tiefsten Punktes x(t). Wenn x gleich einem gewissen Schwellwert xG ist, reißt der Tropfen ab. Es ist nun plausibel, anzunehmen, daß x im Prinzip proportional der Zeit anwächst, diesem linearen Anstieg jedoch eine gedämpfte Schwingung überlagert ist, die vom Abreißen des vorigen Tropfens herrührt (Bild 4 oben). Anstelle des Tropfenfußpunktes könnte auch eine andere Funktion mit diesen Eigenschaften maßgeblich sein, etwa die Einschnürung des Tropfens in horizontaler Richtung.

tn ist also der Zeitpunkt, zu dem der Graph der Funktion x(t) erstmals die Höhe xG erreicht. Wie verändert sich tn, wenn – wie wir vermuten – die Intensität der Schwingung von Tropfen zu Tropfen variiert? (Denkbar, aber weniger plausibel ist auch eine Schwankung in der Phase der Schwingung.) Wenn der Graph von x(t) die xG-Linie steil durchstößt, ändert sich durch eine solche Variation nicht viel an der Lage von tn. Der Abreißzeitpunkt ist also stabil gegen Änderungen der Bedingungen, was einem stationären, geordneten Verhalten entspricht. Wenn dagegen der Graph von x(t) die xG-Linie nahezu streifend schneidet, ändert sich tn erheblich durch geringe Variation der Schwingung (Bild 4 rechts oben). Das ist empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsdaten und eine der Voraussetzungen für Chaos.

Wenn die Fließgeschwindigkeit nachläßt, verringert sich der Anstieg des linearen Teils von x(t). Dadurch geraten abwechselnd steile und flache Teile des Graphen in den kritischen Bereich (Bild 4 rechts unten), wodurch sich der mehrfache Wechsel zwischen Ordnung und Chaos erklärt.

Wir hatten unsere Experimente 1989 im wesentlichen abgeschlossen und nicht weiterverfolgt. Erst als wir im Juni 1993 auf einer Lehrerfortbildungstagung unter Leitung von Heinz-Otto Peitgen in Bremen erfuhren, daß einige unserer Ergebnisse Neuigkeitswert haben, erwachte unser Interesse aufs neue. Wir glauben, daß das Thema noch längst nicht erschöpft ist; mit weiteren Überraschungen und Entdeckungen ist zu rechnen.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 1 / 1994, Seite 81
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
1 / 1994

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 1 / 1994

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