Direkt zum Inhalt
Login erforderlich
Dieser Artikel ist Abonnenten mit Zugriffsrechten für diese Ausgabe frei zugänglich.

Mathematik: Ordnung in den Unendlichkeiten

Dass unendlich manchmal nicht gleich unendlich ist, sondern sogar noch viel mehr, wissen Forscher schon lange. Jahrzehntelang rätselten sie über die Größe von bestimmten unendlichen Mengen. Wie sie nun herausgefunden haben, unterscheiden sie sich alle - und man kann sie ordnen.
UnendlichkeitLaden...

Einfache mathematische Konzepte wie das Zählen scheinen in der natürlichen Denkstruktur fest verankert. Wie Studien belegen, verfügen offenbar selbst sehr junge Kinder und Tiere in beschränktem Maß über solche Fähigkeiten. Das ist nicht überraschend, denn das Zählen ist evolutionär gesehen äußerst nützlich – zum Beispiel hilft es abzuschätzen, ob eine verfeindete Gruppe größer als die eigene ist und ob sich ein Angriff oder eher ein Rückzug lohnt.

In den letzten Jahrtausenden hat die Menschheit diese Konzepte auf bemerkenswerte Weise weiterentwickelt: Beginnend mit dem Umgang mit einer Hand voll Objekten stellte man fest, dass sich die Methodik problemlos auf völlig andere Größenordnungen anwenden lässt. Schon bald entstand ein mathematisches Gerüst, mit dem man sowohl riesige Größen wie die Entfernung von Galaxien oder die Anzahl der Elementarteilchen im Universum beschreiben kann, als auch die kaum fassbaren Distanzen im Mikrokosmos, von Atomen bis hin zu Quarks.

Wir können sogar mit Zahlen hantieren, die alles übersteigen, was nach heutigem Wissen für die Beschreibung des Universums relevant ist: So lässt sich problemlos \(10^{10^{100}}\) (eine Eins gefolgt von 10100 Nullen, wobei 10100 einhundert Nullen hat) niederschreiben und allerlei Rechnungen damit durchführen. Würde man sie allerdings in der üblichen Dezimalschreibweise darstellen, bräuchte man dafür mehr Elementarteilchen als vermutlich im Universum existieren, selbst wenn man pro Ziffer nur ein Partikel verwendet. Denn Physiker schätzen, dass unser Kosmos weniger als 10100 Teilchen enthält.

Aber selbst solche unvorstellbar großen Zahlen sind verschwindend gering verglichen mit unendlichen Mengen, die seit mehr als 100 Jahren einen wesentlichen Teil der Mathematik ausmachen. Mit dem einfachen Zählen von Ob­jekten entsteht die Menge der natürlichen Zahlen, die vielen in der Schule begegnet. Doch bereits dieses vermeintlich simple Konzept scheint problematisch: Es gibt keine größte natürliche Zahl, man kann stets weiterzählen und ein größeres Element finden.

Können unendliche Mengen überhaupt existieren? …

Kennen Sie schon …

Zeit - Vom Augenblick bis zur Unendlichkeit

Spektrum Kompakt – Zeit - Vom Augenblick bis zur Unendlichkeit

Ist Zeit nur eine Illusion? Und wie lässt sie sich messen? Von der Sonnenuhr bis zu neuartigen Kristallen: Spannende Forschungsfragen rund um ein altbekanntes und immer wieder neu diskutiertes Phänomen.

4/2021

Spektrum der Wissenschaft – 4/2021

Was ist ein Teilchen? Spektrum der Wissenschaft behandelt neue Theorien für die Bausteine des Kosmos. Außerdem im Heft: Kann grüne Energie den Klimawandel bremsen? Eine andere Mathematik der Zeit sowie die Antike begann vielleicht früher als gedacht.

2/2021

Spektrum der Wissenschaft – 2/2021

In dieser Ausgabe widmet sich Spektrum der Wissenschaft dem Thema Größe unendlicher Mengen. Außerdem im Heft: Marserkundung mit drei Raumsonden, fünf Klimamodelle, Soziale Landkarten im Gehirn.

Lesermeinung

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Leserzuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Leserzuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmer sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Lesermeinungen können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

  • Quellen

Goldstern, M. et al.: Cichoń's maximum. Annals of Mathematics 190, 2019

Goldstern, M. et al.: Cichoń's maximum without large cardinals. ArXiv 1906.06608, 2019