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Geometrie: Ordnung messen!

Als Mathematiker geometrische Figuren sortierten, stießen sie auf eine Verbindung zu einem völlig anderen Bereich. Damit könnten sie sich dem Ziel, algebraische Gleichungen nach ihren Grundbausteinen zu ordnen, endlich nähern.
Bunte Geometrische Körper aus Papier gefaltet

Stellen Sie sich vor, es liegen zwei Vielecke (Polygone) aus Papier vor Ihnen. Ist es möglich, das erste so zu zerschneiden und neu zusammen­ zusetzen, dass die zweite Form dabei herauskommt? Was wie eine typische Knobelaufgabe für Rätselliebhaber klingt, beschäftigt Mathematiker nun schon seit Tausenden von Jahren.

Denn so einfach die Frage auch anmutet, geben sich Forscher nicht damit zufrieden, eine Schere in die Hand zu nehmen und herumzuprobie­ren. Stattdessen suchen sie nach Merkmalen, die im Vorfeld eindeutig festlegen, ob ein Objekt »scherenkon­gruent« zu einem anderen ist.

Tatsächlich gibt es für das obige Beispiel zweidimensionaler Polygone ein erstaunlich einfaches Kriterium: Solche Objekte sind scherenkongru­ent, wenn sie den gleichen Flächen­inhalt haben. Diese Erkenntnis eröffne­te sofort neue Fragen. Wie verhält es sich mit höherdimensionalen Figuren, etwa einem Tetraeder? Und was passiert, wenn man die zweidimensio­nalen Polygone, dreidimensionalen Polyeder oder höherdimensionalen Polytope in gekrümmten Geometrien betrachtet, in denen ihre Seiten nicht mehr geraden Linien entsprechen, sondern Geodäten, ähnlich den Län­gengraden der Erdkugel? …

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  • Quellen

Campbell, J., Zakharevich, I.: Hilbert’s third problem modulo torsion and a con­jecture of Goncharov. ArXiv 1910.07112, 2019

Goncharov, A.: Volumes of hyperbolic manifolds and mixed Tate motives. ArXiv alg­geom/9601021, 1996