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Polyederkissen

Wie kann man einen Kissenbezug aus zwei quadratischen Stücken Papier so geschickt falten, daß der größtmögliche Hamburger hineinpaßt?

Michael R. Mouse, eben zum Deutschland-Chef der Fast-Food-Kette McDagobert ernannt, war wie üblich finsteren Sinnes. Er fand diese Aufgabe deutlich unter seiner Würde; nicht genug, daß er sich mit lokalen Besonderheiten wie einer Unzahl von Feier- und bezahlten Urlaubstagen herumzuschlagen hatte – jetzt auch noch das...

"Verpackungsverordnung! Was ist das denn schon wieder? Wir schenken doch den Leuten schon die Schachtel, in die der Hamburger verpackt ist, und Plastikbesteck dazu, wenn es sein muß. Wieso sollen wir dafür noch extra bezahlen?"

Erwin Müller-Knittlingen, sein einheimischer Assistent, machte sich noch krummer als sonst und versuchte, dem Amerikaner dieses Produkt einer deutschen Behörde zu interpretieren.

"Fürs Wegräumen, Herr Mouse. Die Behörden sehen uns als Verursacher der Schachtel, auch wenn der Kunde sie auf die Straße wirft."

"Wie? Sollen wir das Zeug lose über den Tresen reichen? Dem Zugriff aller Bazillen aussetzen? Und jeder Kunde bekleckert sich? Wo bleibt die Hygiene?"

Müller-Knittlingen blätterte fieberhaft in dem ellenlangen Text; er fand Verweise auf unzählige andere Gesetze und Verordnungen sowie die Forderung nach Vermeidung vermeidbarer Abfälle. Das wäre doch etwas.

"Was heißt vermeidbar?"

"Na ja, ich schätze, alles Material, was für den angestrebten Zweck nicht zwingend erforderlich ist..."

"Ach so. Minimierung des Materialaufwandes. Das ist einfach. Die Verpackung mit der kleinstmöglichen Oberfläche. Ich schätze, sie umschließt den Hamburger dicht, ohne Luft zu lassen."

"Wenn man davon ausgeht, daß ein Hamburger konvex ist, und die Luft im Inneren des Hamburgers vernachlässigt."

Vernichtender Blick. "Also schweißen wir das Ding backfrisch in Schrumpffolie ein, hygienisch einwandfrei und mit nicht weiter minimierbarem Aufwand. Sollen die Kunden doch zusehen, wie sie das Ding aus der Pelle holen."

Müller-Knittlingen hob vorsichtig den Finger. "Da wäre ein kleines Problem..."

"Und zwar?"

"Plastik ist hier sehr unbeliebt. Die Behörden bestehen auf Papier."

"Ach so. Aber doch wohl beschichtet, damit das Fett nicht durchdringt?"

"Jawohl. Also ziemlich steif."

"Na schön. Dann machen wir doch das Übliche. In Papier statt in Plastik. Zwei quadratische Stücke, eins für den Boden, das andere für den Deckel. So falzen, daß in der Mitte ein etwas kleineres Quadrat übrigbleibt, in Verlängerung zweier paralleler Quadratseiten einschneiden, so daß man die Randteile zur Schachtel falten kann, und zukleben. Etabliertes Verfahren."

"Aber..."

"Was denn noch?"

"Da, wo geklebt ist, liegen zwei Schichten Papier übereinander. Das ist nicht der minimale Materialaufwand."

"Dann schneiden wir die Enden eben vorher weg, bis auf ein kleines Streifchen, damit die Klebung hält."

Müller-Knittlingens Stimme bekam einen weinerlichen Unterton. "Geht auch nicht. Die machen jetzt Life-cycle-Analysen. Wenn der Schnipsel bei der Produktion abfällt, muß er auch entsorgt werden. Und dafür gelten wir wieder als die Verursacher."

"Nun", sagte Mouse, entschlossen, sich die Sache vom Halse zu schaffen, "dann haben Sie jetzt ein Problem. Finden Sie die optimale Papierverpackung für einen Hamburger gegebenen Volumens, die man aus zwei Quadraten falten kann. Die kann man ohne Abfall aus einer Papierbahn schneiden. Ich will die kleinste Seitenlänge wissen. Und wehe, es findet sich jemand, der uns nachweist, daß es noch besser geht!"

Der Assistent sank in sich zusammen. Bevor er davonschlich, wagte er doch noch eine Frage: "Bitte, welche Form soll ich denn zugrunde legen?"

Aber sein Chef war ungnädig. "Sie kennen doch unsere Hamburger."

"Selbstverständlich."

"Dann wissen Sie, daß die beliebig deformierbar sind. Es kommt nur auf das Volumen an."

Damit war Müller-Knittlingen entlassen – ohne die geringste Ahnung, ob es überhaupt möglich sei, ein Stück Papier in der geforderten Art zu falten.


Erste Lösung

Am folgenden Montag betrat er guten Mutes das Büro seines Chefs. Übers Wochenende war er bei seiner Tante zu Besuch gewesen und hatte dort überraschend eine Erleuchtung gewonnen.

"Ein Kissen ist es, was wir brauchen!"

"Kissen? Sind Sie wahnsinnig? Sie sollen nicht schlummern, sondern eine Verpackung entwerfen."

"Ich meine natürlich das klassische deutsche Sofakissen." Das mußte Müller-Knittlingen seinem Chef im Detail erklären. "Die deutsche Hausfrau pflegt ihr Sofa mit Kissen zu dekorieren, deren Überzug aus zwei aneinandergenähten Quadraten besteht."

Sein Chef horchte auf. "Und Sie meinen, statt Schaumstoff könnte man einen Hamburger hineinstopfen?"

"Nicht ganz. Im Gegensatz zu Papier kann Stoff sich etwas verziehen. Deswegen nimmt ein prall gestopftes Kissen eine Form an, die aus Papier nicht knitterfrei herzustellen ist. Aber", beeilte er sich, Mißmutäußerungen seines Chefs zuvorzukommen, "die deutsche Hausfrau pflegt ihre Kissen durch einen gezielten Handkantenschlag auf die Mitte der Oberseite in Form zu bringen. Und das geht auch mit Papier" (Bild 1 a).

Mouse beäugte mißtrauisch das Modell, das sein Assistent ihm mitgebracht hatte. "Sieht nicht gerade wie ein Hamburger aus. Ist die Form denn optimal?"

"Ja. Ich habe ausgerechnet, daß der optimale Handkantenschlag der ist, bei dem der Abstand zwischen Knickende und einer der oberen Spitzen gleich 0,345 mal der Seitenlänge des Quadrats ist. In diesem Fall beträgt das umschlossene Volumen 0,1473 bei einem Quadrat der Seitenlänge 1, und das ist maximal."

"Ich hatte Ihnen doch gesagt, daß das Volumen fest vorgegeben ist. Sie sollen nicht das Volumen maximieren, sondern die Oberfläche minimieren."

"Verzeihung, aber das läuft auf dasselbe hinaus. Es geht darum, das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche möglichst groß zu machen. Dazu kann man entweder das Volumen fest lassen und die Oberfläche variieren, oder umgekehrt."

Dagegen fiel dem Chef nichts ein. Aber dann fragte er: "Wenn ein Handkantenschlag so nützlich ist, wieso dann nur einer? Schlagen Sie doch das Kissen von oben und von unten" (Bild 1 b).

"Das ist beim deutschen Sofakissen nicht üblich." Aber mit dieser Antwort gab sich Mouse nicht zufrieden und schickte seinen Untergebenen weiter nachdenken.

Der ging, weil er ohnehin nicht weiter wußte, zunächst zu McDonalds und bestellte, um nicht immer an Hamburger zu denken, eine Portion Pommes frites. Neben ihm nuckelte ein kleiner Junge eine Getränketüte aus. Offensichtlich genügte diese noch nicht der neuen Verordnung, denn sie war quaderförmig, und die beim Falten übriggebliebene Menge Pappe war in Form von insgesamt vier Dreiecken auf eine jeweils benachbarte Seitenfläche geklebt. Welch eine Verschwendung, dachte Müller-Knittlingen, als ihm klar wurde, daß an den entsprechenden Stellen drei Schichten multikaschierter Pappe übereinander lagen.

Der Junge knibbelte die Dreiecke von ihrer Unterlage ab, maximierte das Volumen der leeren Tüte, indem er sie mit dem Trinkhalm aufblies, und ließ sie durch einen gezielten Fußtritt mit lautem Getöse zerplatzen.

Das war's! Wenn man die dreieckigen Zipfel von der Quaderverpackung löste, lagen nicht mehr mehrere Flächen aufeinander. Also war nicht ausgeschlossen, daß eine Form mit dieser allgemeinen Gestalt bei geeignet gewähltem Seitenverhältnis optimal sein könnte (Bild 1 c).

Müller-Knittlingen fing an, auf einer Papierserviette zu kritzeln, um das Volumen einer allgemeinen Getränketüte mit losen Zipfeln auszurechnen. Aber das wurde doch schnell sehr mühsam. Man mußte den sich ergebenden Körper in Gedanken in Einzelteile zerlegen, die von der Form eines Quaders, eines dreikantigen Prismas oder eines Tetraeders waren; dafür waren ihm noch Formeln geläufig. Nur mußte er Unbekannte in seine Rechnung einführen; schließlich wollte er ja die genaue Lage der Knicklinien im Papierquadrat unbestimmt lassen, um hinterher unter allen denkbaren die optimale herauszufinden. War da nicht noch etwas mit der Ableitung nach einem Parameter?

Da fiel ihm ein, daß er früher eine Mathematikerin namens Anna Lühse gekannt hatte (Spektrum der Wissenschaft, September 1994, Seite 12). Die mußte ihm jetzt helfen. Es gelang ihm, sie ausfindig zu machen und für sein Problem zu interessieren. Sie hörte sich die Sache geduldig an, konnte ihrem alten Freund jedoch nicht aus dem Stegreif helfen. Die Rechnungen waren doch ein wenig kompliziert. Immerhin wußte sie hilfreiche allgemeine Gedanken beizutragen.

"Im Prinzip hat dein Chef ja recht. Je mehr Handkantenschläge, desto besser."

"Wieso?"

"Du hast doch ein Variationsproblem. Du suchst unter allen denkbaren Kissen dasjenige mit dem größten Volumen."

"Kissen? Du meinst Papiertüten."

"Ich meine alle Körper, deren Oberfläche man aus zwei gleich großen quadratischen Stücken Papier herstellen kann. So einen Körper nenne ich jetzt einfach ein Kissen." Anna fuhr fort: "Es gibt theoretisch unendlich viele Kissen, und sie sind in ihrer Gesamtheit nicht einfach zu erfassen. Aber gewisse Klassen kann man mit wenigen Zahlen erschöpfend beschreiben. Zum Beispiel alle Kissen, die durch zwei Handkantenschläge entstehen, einen von oben, einen von unten. Da genügt es, zwei Zahlen anzugeben, welche die Tiefe beider Handkantenschläge beschreiben."

"Ist denn klar, daß man immer genau in die Mitte schlägt? Meine Tante macht das so, aber ist das optimal?"

"Ich denke schon. Aus Symmetriegründen."

"Was heißt das?"

"Stell dir vor, du schlägst mehr nach einer Seite hin. Dann veranstaltest du eine Symmetriebrechung" (Spektrum der Wissenschaft, Juni 1991, Seite 14).

"Was ist das denn?"

"Vor dem Schlag ist das Ding symmetrisch bezüglich Vertauschung von rechts und links; hinterher nicht mehr. Wenn es also optimal ist, links zuzuschlagen, ist es genauso optimal, an der spiegelbildlichen Stelle rechts zuzuschlagen."

"Stimmt. Das Spiegelbild hat dasselbe Volumen wie das Original."

"Eben. Jetzt denk dir alle Kissen, die durch einen Schlag mit festgelegter Tiefe, aber variabler Position entstehen. Trage das Volumen des Kissens gegen die Position auf. Was erhältst du?"

"Na ja, irgendeine Kurve."

"Aber eine symmetrische. Sie hat am Rand des Intervalls niedrige Werte, weil ein Schlag nahe dem Rand des Kissens wenig Volumen einbringt. Gegen die Mitte zu steigt sie an. Wenn es eine einfache Kurve ist, hat sie genau ein Maximum, und das muß dann in der Mitte liegen" (Bild 2 a).

"Ach so. Sonst gäbe es mehrere Extrema" (Bild 2 b).

"Richtig."

"Und woher weiß ich, daß der kompliziertere Fall nicht vorliegt?"

"Na ja, das Übliche. Die Funktion für das Volumen in Abhängigkeit von der Schlagposition herleiten, nach der Position differenzieren, Nullstellen dieser Ableitung suchen, und wenn es nur eine gibt, hast du Glück gehabt."

"Es sei denn, das Maximum läge am Rande des Intervalls – oder?"

"Gut aufgepaßt, Erwin. Das ist zwar hier leicht auszuschließen, aber nicht jeder Fall ist so einfach."


Variationsprobleme

"Und wieso sind zwei Handkantenschläge besser als einer?"

"Jedenfalls nicht schlechter. Paß auf. Wenn du das Sortiment vergrößerst, innerhalb dessen du das Optimum suchst, kann dieses höchstens besser werden."

"Ja sicher."

"Die Menge der einfach handkantengeschlagenen Kissen ist eine Teilmenge der Menge der doppelt handkantengeschlagenen Kissen."

"Dieser entsetzliche Mathematikerjargon! Kannst du das nicht etwas klarer ausdrücken?"

"Noch klarer? Na gut. Ein Schlag der Tiefe null ist dasselbe wie kein Schlag."

"Wenn du meinst..."

"Nein, nein, das ist keine Meinungsfrage. Ich leite eine Formel her, die das Volumen eines zweifach geschlagenen Kissens in Abhängigkeit von der Tiefe beider Schläge angibt. Null ist ein zulässiger Wert für die Schlagtiefe. Also erfaßt die Formel auch einfach geschlagene Kissen – als Spezialfall."

"Ach so." Erwin dachte eine Weile nach. "Aber es gibt keine Schläge mit negativer Tiefe. Also liegt der Wert Null am Rande des Parameterintervalls."

"Des Parameterrechtecks. Wir haben ja zwei variable Parameter. Aber ansonsten hast du recht."

"Und jetzt? Wie sieht das optimal geschlagene Kissen aus?"

"Weiß ich noch nicht. Aber wahrscheinlich symmetrisch – bezüglich Vertauschung von oben und unten."

"Das würde heißen, daß beide Schläge gleich tief sind?"

"Ja." Anna sprach zögernd weiter, während sie sich die Einzelheiten der Form vorzustellen versuchte. "Wo die Hand das Kissen trifft, entsteht jeweils eine einspringende Kante - also eine, die weiter innen liegt als die beiden angrenzenden Teilflächen. Beide verlaufen von vorne nach hinten, vom Schläger aus betrachtet. Sie sind sowohl vorne als auch hinten durch vorstehende, vertikal verlaufende Kanten verbunden. Zusammen bilden die vier Kanten ein Rechteck, oder vielleicht ein Quadrat, weil dies unter den Rechtecken das symmetrischste ist... Aber dann hätte man ja auch eine Drehsymmetrie um 90 Grad..."

Ein Urschrei, und auf einmal war ihr alles völlig klar. Erwin hatte mit Mühe mitbekommen, daß sich irgendwo vier Kanten zu einem Quadrat fügten.

"Ist doch logisch", sagte Anna. "Denk dir das zweifach geschlagene Kissen entlang seiner Rechts-links-Symmetrieebene zerschnitten."

"Also einer vertikalen Ebene, die von vorn nach hinten verläuft?"

"Ja. Dann ist die Schnittfläche ein Quadrat."

"Ein Rechteck."

"Im allgemeinen ja. Aber wähle die Schlagtiefe versuchsweise so, daß ein Quadrat entsteht."

"Na gut."

"Jetzt drehe eine der Hälften um 90 Grad und klebe die beiden quadratischen Schnittflächen wieder zusammen. Was ergibt sich dann?"

"Moment mal... Auf der Oberseite des Kissens entstehen zwei Dreiecke, jeweils von der Schlagkante bis zu einer Spitze. Auf der Frontseite bleiben zwei Trapeze. Die lange Seite eines Trapezes ist die ursprüngliche Quadratseite, die dazu parallele kurze Seite die neue Kante. Wenn man die Kissenhälften verdreht wieder zusammenfügt, gerät Trapez an Dreieck, gibt ein großes Dreieck... Dasselbe passiert viermal... Also besteht das Gebilde aus vier Dreiecken: ein Tetraeder!"

"Du bist ein kluges Kerlchen. Also kann man aus zwei Quadraten die Oberfläche eines Tetraeders falten."

"Was? Wieso? Ach so." Nach einigem Nachdenken: "Aber es ist kein regelmäßiges Tetraeder."

"Stimmt. Zwei der sechs Kanten sind so lang wie eine Quadratseite, die anderen vier sind etwas länger. Aber man könnte die Quadrate ja zu Rechtecken zusammenstauchen, damit es hinkommt. Ich bin sicher, das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen wird dadurch noch günstiger. Aus Symmetriegründen."

Erwin fiel auf einmal ein, daß es früher tetraederförmige Getränketüten gegeben hatte. Und richtig: Sie waren aus einem Stück beschichteten Papiers hergestellt, das entlang der Mittelsenkrechten eines der Dreiecke mit sich selbst verklebt war.

"Das wäre nicht nötig gewesen", ergänzte Anna, die inzwischen weitergedacht hatte. "Man kann das Papier für viele Tetraeder so aus einem großen Bogen herausstanzen, daß Klebungen nur entlang der Kanten verlaufen."

"Aber dann sind es doch keine zwei Quadrate mehr."

"Macht doch nichts. Der Flächenaufwand ist derselbe."

"Aber du hast Abfall am Rand der Papierbahn."

"Muß nicht sein. Nur am Anfang und am Ende. A propos platonische Körper: Das Ikosaeder hat eine Abwicklung, die sich ebenfalls ohne Abfall in vielen Exemplaren aus einer Papierbahn stanzen läßt. Und es ist recht kugelähnlich. Und die Kugel hat das beste überhaupt mögliche Verhältnis von Volumen zu Oberfläche. Warum verpackt ihr eure bappigen Hackfleischfladen nicht in Ikosaeder?"

Erwin wurde schwummrig zumute. Wenn man diese Mathematiker erst einmal ans Optimieren ließ, kamen sie auf Ideen, die bei seinem Chef gar nicht vorgesehen waren. Und das konnte nur Ärger geben. "Bitte", sagte er flehentlich, "laß uns bei zwei Quadraten bleiben."

Anna hatte inzwischen längst in eine andere Richtung gedacht. "Wieso sind die Tetraedertüten eigentlich aus der Mode gekommen? Wahrscheinlich sind die Quader mit den Zipfeln günstiger, und das trotz der Fächenverschwendung durch die dreifache Überlappung."

Plötzlich starrte sie so gebannt auf Erwins Hose, daß der nervös wurde. "Was hast du da in der Tasche?"

"Was habe ich da? Ach so... Eine plattgedrückte Pommestüte. Die muß ich im Schnellimbiß aus Versehen eingesteckt haben."

"Männer... Mit Ketchup, was?"

"Äh... ja..."

"Sieht man. Aber zeig doch mal her."

Sie entfaltete das Ding zu seiner ursprünglichen Form, wendete es hin und her und rief begeistert: "Wunderbar! Unendlich viele Handkantenschläge. Das bringt's."

Auf Erwins verständnislosen Blick hin erläuterte sie: "Denk doch mal an das ursprüngliche Tantenkissen. Ein Handkantenschlag in die Mitte bringt ein gewisses Volumen."

"Ja sicher."

"Zwei weitere Schläge rechts und links von der Mitte bringen noch etwas mehr Volumen. Und nochmals Schläge in die Mitte zwischen jeweils zwei bisherigen Schlagpositionen bringen noch ein bißchen, und so weiter. Immer schön symmetrisch von oben und von unten."

"Das wird aber kompliziert. Ein Oben-unten-Doppelschlag führt vier neue Kanten ein, abgesehen davon, daß er ein paar bestehende Kanten in zwei zerlegt. Das werden ja entsetzlich viele."

"Unendlich viele. Aber das macht doch nichts. Im Grenzwert hast du wunderhübsche, krumme Flächen, die an krummlinigen Kanten aneinandergrenzen – mit anderen Worten: Das Kissen sieht ungefähr so aus wie diese Pommestüte! Ohne die Bügelfalte" (Bild 1 d).

"Ja – ist die denn nun optimal?"

"Zumindest besser als alle Kissen, die du mit endlich vielen Handkantenschlägen erreichen kannst. Denn die sind als Spezialfälle in der Menge dieser krummflächig begrenzten Kissen enthalten. Aber das schließt nicht aus, daß andere Formen noch geschickter sein könnten."


Der Zipfelburger

Einige Tage später hatte Anna zu jedem der Konstruktionsprinzipien die optimale Form ausgerechnet. Es stellte sich heraus, daß ein Handkantenschlag besser ist als ein Paar gleicher Schläge oben und unten – beim optimalen zweifach geschlagenen Kissen hat also ein Schlag die Tiefe null, wodurch das ganze Gebilde die Symmetrie bricht –, daß der Quader mit Zipfeln beiden Formen (und damit auch dem Tetraeder) überlegen ist und daß die verallgemeinerte Pommestüte diesen an Volumen noch übertrifft.

Stolz marschierte Erwin zu seinem Chef. Aber der war wie üblich mißgestimmt, regte sich zunächst maßlos darüber auf, daß ein Angestellter von McDagobert überhaupt ein Lokal der Konkurrenz aufgesucht hatte, und konnte deswegen einer so krummlinig begrenzten Tüte zunächst nichts abgewinnen. Immerhin hörte er sich geduldig an, was sein Assistent ihm über Symmetrieprinzipien zu erzählen wußte.

"Sagen Sie mal", unterbrach er ihn plötzlich, "Ihre Kissen sind doch in der Urform quadratisch, nicht wahr?"

"Selbstverständlich, Herr Mouse. Das war doch Ihre Vorgabe."

"Dann haben die doch eine vierzählige Rotationssymmetrie."

"Ja..."

"Dann können Sie Ihre Kissen doch ebensogut rechts und links in die Seite schlagen wie oben und unten."

"Meine Tante..." wollte Müller-Knittlingen argumentieren, aber er erinnerte sich noch rechtzeitig, daß der Chef auf die Tante nicht gut zu sprechen war, und flüchtete lieber gleich zu Anna, um ihr die neue Idee vorzustellen.

Nachdem sie schon einmal in Übung war, fiel es ihr nicht schwer, das optimale Kissen auszurechnen, das aus je einem Handkantenschlag gegen jede Quadratseite entsteht. Tatsächlich: Es hatte mehr inneres Volumen als jedes bisherige, und das, obgleich es von lauter ebenen Flächen begrenzt war. Jetzt wollte sie wirklich wissen, ob man dieses bislang beste Kissen nicht noch weiter optimieren könnte. Sie überlegte laut.

"Die vier Zipfel sind Pyramiden mit quadratischer Grundfläche. Würde man die zu Kegeln ausbeulen, hätte man bei gleicher Oberfläche mehr Volumen. Aber Kegel passen nicht mehr an den Mittelteil... Wenn man aber anstelle von Quadraten Achtecke nimmt... mit geschickten Handkantenschlägen auf die Pyramidenkanten..."

Und siehe da: Diese Modifikation brachte immerhin noch 7,4 Prozent an Volumen (Bild 1 e).

Seitdem verwendet die Firma McDagobert Kissen mit vier Zipfeln, die jeweils Pyramiden mit achteckiger Grundfläche sind, zur Verpackung ihrer Hamburger, die aufgrund ihrer exotischen Form bald den Spitznamen "Zipfelburger" erhielten. Bislang ist nicht bewiesen, daß diese Form absolut unübertrefflich ist; aber bis zum Beweis des Gegenteils befaßt sich Michael R. ("Mickey") Mouse mit anderen Problemen.

Die hier angeführten Überlegungen und Berechnungen zu optimalen Kissen stammen ebenso wie deren Baupläne (Bild 3) von Edouard Baumann aus Bonnefontaine (Schweiz); Einzelheiten und detaillierte Berechnungen sind bei ihm erhältlich (Le Pafuet 265, CH-1729 Bonnefontaine).


Aus: Spektrum der Wissenschaft 6 / 1995, Seite 10
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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