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Mathematische Unterhaltungen: Rätselhafte Nullstellen

Eine abstrakt definierte Menge in der komplexen Ebene liefert ein überraschendes Bild, das fraktale Strukturen zeigt. Inzwischen haben die Mathematiker einige Erklärungen dafür gefunden.
Ballon in Form der Ziffer NullLaden...

Die Beziehung zwischen einem Problem und seinen Lösungen ist – nun ja – eben problematisch. Das gilt insbesondere für die Lieblingsprobleme der Algebraiker, die Polynomgleichungen.

Es geht darum, für welche Zahlen z ein Polynom, das heißt eine Funktion der Form pz) = zn + an-1zn-1 + … + +a2z2 + a1z + a0, den Wert null annimmt. Diese Lösungen der Gleichung p(z) = 0 heißen die Nullstellen des Polynoms p und die Konstanten a0, a1, …, an-1 seine Koeffizienten. Die höchste vorkommende Potenz von z, die oben mit n bezeichnet ist, nennt man die Ordnung des Polynoms, und wenn es nur auf die Nullstellen ankommt, darf man sich auf den Fall beschränken, dass der höchste Koeffizient an gleich eins ist. (Wäre er ungleich eins, könnte man das ganze Polynom durch an dividieren, ohne dass sich an den Nullstellen etwas ändert: Wenn p(z) = 0 ist, dann ist offensichtlich auch p(z)/an = 0.)

Die gute Nachricht lautet: Auf die Frage, ob eine Polynomgleichung überhaupt Lösungen hat, gibt es eine erschöpfende Antwort. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass ein Polynom der Ordnung n stets genau n Nullstellen hat. Man muss allerdings damit rechnen, dass es sich um komplexe Zahlen handelt, also zusammengesetzt aus einer reellen Zahl und einem Vielfachen der berüchtigten imaginären Einheit i, die man sich als Wurzel aus –1 vorzustellen hat. Komplexe Zahlen pflegt man darzustellen, indem man den Realteil entlang der x-Achse und den Imaginärteil entlang der y-Achse aufträgt. Irgendwo in dieser komplexen Zahlenebene liegen also die Nullstellen eines Polynoms.

Die schlechte Nachricht: Darüber, wo die Nullstellen in der Ebene liegen, sagt einem das Polynom herzlich wenig …

September 2020

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft September 2020

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  • Quellen

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Baez, J.: The Beauty of Roots, part 2, 2012

Baez, J.: The Beauty of Roots, part 3, 2012

Baez, J. et al.: The Beauty of Roots. Vortragsfolien, 2012

Bousch, T.: Paires de similitudes s→sz+1, s→sz–1 ,1988

Bousch, T.: Connexité locale et par chemins hölderiens pour les systèmes itérés de fonctions, 1993

Reyna, R., Damelin, S. B.: On the Structure of Littlewood Polynomials and their Zero Sets, 2015

Roelfszema, M.: Littlewood Polynomials. Bachelorarbeit, Universiteit Groningen, 2015

Soundararajan, K.: Equidistribution of Zeros of Polynomials. The American Mathematical Monthly, 2019

Vader, B.: Real Roots of Littlewood Polynomials. Bachelorarbeit, Universiteit Groningen, 2016