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Geometrie: Räumliche Gleichdicke

Manche Körper lassen sich – theoretisch – in Kugellagern nutzen, ohne Kugeln zu sein. Die Aufgabe, solche räumlichen Gebilde mit möglichst kleinem Volumen zu finden, führt zu einem merkwürdigen Phänomen. Physiker würden es einen entarteten Grundzustand nennen.
Gleichdicke

Errata:

Die computergerechneten Bilder der meissnerschen Gleichdicke (S. 72 unten) stammen nicht von Bernd Kawohl, sondern von seinem Koautor Christof Weber.

Im Reuleaux-Dreieck treffen die Kreisbögen nicht unter einem Winkel von 60, sondern von 120 Grad an den Ecken aufeinander (S. 71, linke Spalte, letzter Absatz). Dank an Roland Beck für den Hinweis.

Wenn man einen Kreis zwischen zwei parallele Geraden einklemmt, dann ist der Abstand zwischen ihnen stets derselbe, einerlei wie der Kreis orientiert ist. Das wussten schon die ägyptischen Pyramidenbauer: Ein schwerer Steinquader lässt sich mit Hilfe kreisrunder Rollen über ebenen Untergrund transportieren, ohne sich auf und abzubewegen.

Gilt das auch umgekehrt? Wenn der Steinklotz nicht auf- und abschwankt, können wir dann sicher sein, dass die Rolle einen kreisförmigen Querschnitt hat? Eben nicht! An Stelle des Kreises tut es auch ein so genanntes Reuleaux- Dreieck. Es entsteht aus einem gleichseitigen Dreieck, indem man in jede seiner Ecken einen Zirkel einsticht und die beiden jeweils anderen Ecken durch einen Kreisbogen verbindet.

Die Mathematiker nennen den Abstand zweier paralleler, dicht an der Kurve anliegender Geraden eine "Dicke" dieser Kurve, obgleich man normalerweise eher von der Dicke (oder Breite) der Fläche sprechen würde, die von der Kurve eingeschlossen wird. Je nach der Orientierung der Geraden kann ein und dieselbe geschlossene Kurve unterschiedliche Dicken aufweisen. Wenn sie in jeder Richtung gleich dick ist, nennt man sie eine Kurve konstanter Dicke, kurz "Gleichdick-Kurve" oder auch "Gleichdick". Weitere Gleichdicke entstehen durch die entsprechende Konstruktion aus regelmäßigen Vielecken mit fünf, sieben oder allgemein einer beliebigen ungeraden Anzahl von Seiten ...

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  • Quellen

Gardner, M.: Geschlossene Kurven mit konstantem Durchmesser. In: Logik unterm Galgen. Vieweg, Braunschweig 1980, S. 198 – 207

Kawohl, B., Weber, C.: Meissner’s Mysterious Bodies. In: The Mathematical Intelligencer 33, Nr. 3, S. 94 – 101, 2011

Lachand-Robert, T., Oudet, É.: Bodies of Constant Width in Arbitrary Dimension. In: Mathematische Nachrichten 280, S. 740 – 750, 2007

Rademacher, H., Toeplitz, O.: Kurven konstanter Breite. In: Von Zahlen und Figuren. Nachdruck der Erstausgabe von 1930. Springer, Heidelberg 2000, S. 128 – 141