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Geometrie: Rationale Tetraeder

Wie viele Tetraeder gibt es, deren Flächen rationale Winkel einschließen? Nach jahrzehntelanger Suche ist es vier Mathematikern nun gelungen, dieses hartnäckige Rätsel zu lösen.
TetraederLaden...

In der Antike faszinierte das Tetraeder Gelehrte wie Platon und Aristoteles. Auch heute noch birgt die einfache geometrische Figur einige Geheimnisse. In einer im November 2020 veröffentlichten Arbeit konnten Alexander Kolpakov von der Université de Neuchâtel in der Schweiz, Bjorn Poonen vom Massachusetts Institute of Technology, Michael Rubinstein von der University of Waterloo und Kiran Kedlaya von der University of California San Diego nun alle Tetraeder identifizieren, deren Flächen rationale Winkel einschließen. Damit haben die Forscher nach jahrzehntelanger Suche ein weiteres Rätsel der simplen Figur gelöst.

Ein Tetraeder besteht aus vier dreieckigen Flächen, die eine Pyramide bilden. Die Flächen treffen unter sechs Winkeln aufeinander. Die neue Arbeit klassifiziert alle möglichen Objekte, für die alle sechs Flächenwinkel rational sind, das heißt, jeder lässt sich als eine Bruchzahl mal Pi darstellen. Demnach gibt es 59 verschiedene sowie zwei unendliche Familien von Tetraedern, die diese Bedingung erfüllen.

Bereits in den 1990er Jahren haben Mathematiker diese Auswahl an Figuren mit der Unterstützung von Computern entdeckt. Allerdings war bis zur kürzlich erschienenen Arbeit nicht klar, ob das wirklich alle rationalen Tetraeder sind oder ob es weitere gibt …

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  • Quellen

Conway, J., Jones, A.: Trigonometric diophantine equations (On vanishing sums of roots of unity). Acta Arithmetica 30, 1976

Kedlaya, K. S. et al.: Space vectors forming rational angles. ArXiv 2011.14232, 2020