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Schwarze Löcher im Zahlenkosmos

Wird eine Zahlenfolge immer wieder neue Werte annehmen oder wird sie in einem Strudel enden, aus dem es kein Entrinnen gibt?


Niemand wird je eines der von denKosmologen postulierten Schwarzen Löcher zu Gesicht bekommen. Denn ihre Gravitation ist derart gigantisch, dass selbst Licht verschluckt wird. Immerhin verraten sich die Schwerkraftfallen durch heftige Reaktionen ihrer Umgebung. Doch erst ab 1992 ist es mit Hilfe des Hubble-Teleskops gelungen, entsprechende Materiestrudel zu orten.

Mag diese Tatsache inzwischen zu einem soliden Allgemeinwissen gehören, so ist doch kaum bekannt, dass es auch im Zahlenkosmos Schwarze Löcher gibt. An die Stelle des Kraftgesetzes, das die Materie auf ihre Bahnen im Weltraum zwingt, tritt eine Iterationsvorschrift, nach der aus einer Zahl eine andere wird, aus dieser nach derselben Vorschrift wieder eine andere und so weiter. Die so entstehende Zahlenfolge ist in einem abstrakten Sinne so etwas wie die Bahn eines Teilchens; und gelegentlich enden alle solchen Bahnen in ein und demselben Punkt.

Das unter Kennern wohl am meisten zitierte Exemplar eines Schwarzen Lochs aus der Zahlenwelt wurde vor rund fünzig Jahren von dem legendenumrankten indischen Mathematiker Dattreya R. Kaprekar (1905-1986) entdeckt. Dabei geht es um diejenigen vierstelligen Zahlen, die nicht aus lauter gleichen Ziffern bestehen. Man stelle die Ziffern einer solchen Zahl derart um, dass die entstehende Zahl zuerst so groß und dann so klein wie möglich wird. Anschließend unterwerfe man die Differenz der so gewonnenen Zahlen der gleichen Prozedur und so fort. Im Falle der Zahl 3996 ergäbe das:

9963 – 3699 = 6264
6642 – 2466 = 4176
7641 – 1467 = 6174

Die Fortsetzung erübrigt sich, da nunmehr endlos die letzte der drei Rechnungen reproduziert wird. Kaprekar hatte bemerkt, dass man unabhängig vom Startwert spätestens nach sieben Schritten in der heute nach ihm benannten Konstanten 6174 hängen bleibt. Ein Beispiel für eine Zahl, die sich ihrem Absturz so lange wie überhaupt möglich widersetzt, ist 5472:

7542 – 2457 = 5085
8550 – 0558 = 7992
9972 – 2799 = 7173
7731 – 1377 = 6354
6543 – 3456 = 3087
8730 – 0378 = 8352
8532 – 2358 = 6174

So verblüffend dieses Phänomen auch erscheinen mag, für die Puristen unter den Mathematikern ist es wenig bemerkenswert. Der Grund: Die Aussage bezieht sich bloß auf die endliche und obendrein leicht überschaubare Menge der vierstelligen Zahlen. Wenn es sein müsste, könnte man sie mittels Brachialgewalt – also ohne jeden Scharfsinn – überprüfen, indem man eine vierstellige Zahl nach der anderen untersucht.

Diffy, das Differenzenspiel

Unterdessen sind aber auch Schwarze Löcher aufgestöbert worden, die wirklich alle Zahlen in sich hineinziehen. Bei einem der schönsten ist der Ausgangspunkt ein Quadrat, in dessen Ecken völlig beliebige Zahlen platziert sind. Anschließend wird jede Seite mit den Differenzen der sie begrenzenden Zahlen beschriftet und damit ein neues Quadrat erzeugt. Mit diesem Quadrat wird der Prozess wiederholt und so weiter. Dabei stellt sich heraus, dass man völlig unabhängig von der anfangs getroffenen Wahl früher oder später in den Sog eines Schwarzen Lochs gerät – eines Quadrats mit lauter Nullen.

Dieser verblüffende Sachverhalt wurde über zehn Jahre vor Kaprekar von dem nicht weiter bekannten Italiener Emilio Ducci entdeckt und gleich darauf auch in aller Strenge begründet. Inzwischen sind Dutzende von Abhandlungen zu diesem Thema erschienen; im englischen Sprachraum ist das Spiel seit 1971 unter dem Namen "Diffy" (für "Difference") bekannt. Dabei wurde immer wieder untersucht, weshalb sich das Schwarze Loch meist schon in der sechsten Runde – oder noch früher – bemerkbar macht. Andererseits weiß man, dass es bei geeignetem Start beliebig lange dauern kann, bis die vier Nullen erscheinen.

Verallgemeinerte Quersummen

Bei einem erst 1989 entdeckten Schwarzen Loch betrachtet man die Teiler einer willkürlich ausgewählten Zahl und bildet die Summe aller ihrer Ziffern. Bei 21 wären das also 1, 3, 7 und 21, was zu 1+3+7+2+1=14 führt. Nunmehr geht es analog weiter mit den Teilern 1, 2, 7 und 14, womit 14 in 1+2+7+1+4=15 übergeht. Und schon sind wir in einem Schwarzen Loch angelangt, denn die Zahl 15 führt mit den Teilern 1, 3, 5 und 15 zu 1+3+5+1+5=15. Erstaunlich ist, dass solchermaßen jeder nur erdenkliche Start früher oder später ebenfalls zu 15 führt, sich diese Zahl demnach als universelles Schwarzes Loch entpuppt.

Apropos jeder nur erdenkliche Start: Nehmen wir einmal das Ungetüm 92668594038674876439876298479679064. In diesem Fall konstatiert man 21 gerade und 14 ungerade Ziffern. Werden diese beiden Anzahlen und die gesamte Stellenzahl – also 35 – hinter-einander gesetzt, so entsteht 211435. Nach entsprechenden Wiederholungen ergibt sich der Reihe nach 246, 303, 213, 123, 123, 123 ? Kaum zu glauben, dass auf diese Weise erneut ein Schwarzes Loch lokalisiert wurde!

Die Begründung dafür ist nicht einmal sonderlich schwierig. Der entscheidende Punkt ist, dass man bei Anwendung dieses Prozesses auf eine noch so große Zahl früher oder später bei einer dreistelligen landet. Danach gibt es nur noch die vier Möglichkeiten 303, 213, 123 und 033, die allesamt unmittelbar zu 123 führen.

Diese Entzauberung verlangt gera-dezu nach etwas Tiefgründigerem. Sei?s drum! Benötigt wird dazu eine beliebige durch 3 teilbare Zahl. Diesmal sollen ihre Ziffern in die dritte Potenz gesetzt und aufaddiert werden. Fortgesetzte Anwendung dieses Prinzips liefert für den Startwert 36:

33+63=27+216=243, 23+43+33=99, 93+93=1458, 13+43+53+83=702, 73+03+23=351, 33+53+13=153, 13+53+33=153, ?

ein Endresultat, das sich für jede nur erdenkliche Zahl ergibt, die ohne Rest durch 3 teilbar ist.

Hingegen kann 153 für die nicht durch 3 teilbaren Zahlen garantiert kein Schwarzes Loch sein. Begründung: Ist s eine Zahl und t die durch den beschriebenen Prozess daraus resultierende, so muss mit s auch t durch 3 teilbar sein und umgekehrt. Lässt deshalb s durch 3 dividiert einen Rest, so trifft das auch für alle Folgeglieder zu. Darum kann man unter den genannten Umständen nie bei der durch 3 teilbaren Zahl 153 ankommen. Genauer: Ist s nicht durch 3 teilbar, so gerät man entweder in eine Schleife oder in eines der Schwarzen Löcher 1, 370, 371 und 407. Beispiele: 160 -> 217 -> 352 -> 160 -> 217 -> 352 -> ? sowie 4421 -> 137 ->371 -> 371 -> ?

Schwarze Löcher im Papierstreifen und in der Sprache

Dies sind nur einige von beinahe unzähligen Beispielen für Schwarze Löcher im Universum der Zahlen. Nicht zu vergessen die Welt der Geometrie! Eine wiederholt angewandte Faltanweisung, ausgeführt an einem Papierstreifen, erbringt in immer besserer Näherung eine unendliche Folge gleichseitiger Dreiecke.

Man kann das Spiel mit den Schwarzen Löchern auch in der Welt der Sprache betreiben. Schreibt man etwa 47 als "siebenundvierzig" aus und zählt die Buchstaben dieses Wortes, so ergibt sich 16 ("sechzehn"). Erneute Buchstabenzählung liefert 8 ("acht") und danach 4 ("vier"), 4 ("vier"), 4 ("vier") ... Damit ist – eine kleine Analyse zeigt es – die Vier als universaler Zahlenfänger entlarvt, zumindest in der deutschen Sprache. Im Englischen ist es sinnigerweise dieselbe Zahl. Beispiel (Bindestriche nicht mitgezählt): 87 ("eighty-seven"), 11 ("eleven"), 6 ("six"), 3 ("three"), 5 ("five"), 4 ("four"), 4 ("four") ...

Einem ähnlichen Phänomen begegnet man im dem wohl berühmtesten Monolog der Weltliteratur (Bild Seite 113 unten). Dazu suche man sich ein beliebiges Wort in den ersten drei Versen von "Sein oder Nichtsein" aus und zähle (unter Vernachlässigung von Satz- und Auslassungszeichen) so viele Worte weiter, wie das gewählte Wort Buchstaben besitzt. Mit dem neuen Wort verfahre man genau gleich und so weiter. Ist es Zufall oder nicht, dass man unabhängig von der zu Beginn getroffenen Wahl bei "Schlaf" anlangt?

Einerseits ist es kein Zufall, andererseits trotz allem doch. Hintergrund ist nämlich ein vor rund 30 Jahren von Martin D. Kruskal von der Universität Princeton (New Jersey) entdecktes Prinzip: Ist die Anzahl der Wörter in einem beliebigen Text (es braucht also nicht der Hamlet-Monolog zu sein) deutlich größer als die Anzahl der Buchstaben seines längsten Wortes, so landet man unabhängig von der anfangs getroffenen Wahl früher oder später an der gleichen Stelle. Insofern ist das beschriebene Mysterium nicht absonderlich. Zufall dagegen ist, dass bei "Sein oder Nichtsein" gerade "Schlaf" und nicht etwa das Wort davor ("ein") oder danach ("das") herauskommt.

Insbesondere ist es nicht unbedingt göttliche Fügung, dass eine Wanderung durch den Beginn der Schöpfungsgeschichte stets bei "Gott" endet, und zwar sowohl in der Luther-Übersetzung als auch ("God") in der King James Bible (Spektrum der Wissenschaft 11/1998, S. 112).

Die rätselhafte Collatz-Folge

Man mag zu Recht die eine oder andere der hier vorgestellten Fallstudien als zwar amüsant, aber nicht weiter bedeutungsvoll empfinden. Und doch gibt es ein regelrecht beleidigend simpel zu beschreibendes Beispiel, das seit nunmehr bald fünfzig Jahren den Fachleuten erhebliches Kopfzerbrechen bereitet. Urheber ist mit Lothar Collatz (1910-1990) ein weltweit renommierter Numeriker, der schon als Student den entsprechenden Einfall hatte.

Bei dieser Iterationsvorschrift werden gerade Zahlen halbiert, ungerade dagegen verdreifacht und anschließend um 1 erhöht. Es geht also 14 in 14/2=7 über und 11 in 3x11+1=34. Beispiel: 7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> 2 -> 1 ... Wie hier gleicht der Ablauf regelmäßig einer Fahrt mit der Achterbahn, die in Abhängigkeit von der Startzahl nach mehr oder weniger vielen Aufs und Abs zu einer Zweierpotenz (4, 8, 16, 32 ...) führt, womit der unweigerliche Absturz gegen 1 eingeleitet wird. Einmal dort angelangt, dreht sich die Folge ewig im Kreise: 1 -> 4 -> 2 -> 1 ...

Umfangreiche Experimente mittels Computern haben diesen Effekt in nunmehr über 700 Milliarden Fällen bestätigt. Man vermutet deshalb, dass kein noch so gigantischer Startwert sich einem derartigen Sog entziehen kann, sich also der Zyklus 1 -> 4 -> 2 -> 1 als allumfassendes Schwarzes Loch erweist.

Demnäch müsste in dem unbeschränkt fortgesetzt gedachten Baum, der die Collatz-Iteration rückwärts verfolgt, jede erdenkliche Zahl irgendwo zu finden sein. Das Problem ist bis in die jüngste Zeit intensiv studiert worden; eine vor wenigen Jahren erschienene Monographie nennt gegen 150 Titel. Gleichwohl ist das Rennen um einen Beweis noch völlig offen.

Literaturhinweise


The Dynamical System Generated by the 3n+1 function. Von Günther J. Wirsching. Lecture Notes in Mathematics, Bd. 1681. Springer, Heidelberg 1998. The Game of Diffy. Von Raymond Grenwell in: The Mathematical Gazette, Bd. 73, S. 22, 1989.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 1 / 2002, Seite 112
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
1 / 2002

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 1 / 2002

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