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Stochastik: Spiel mit dem Zufall

Zufallszahlen sind für vielerlei gut - etwa dazu, den Flächeninhalt kompliziert geformter Figuren zu ermitteln. In vielen Fällen müssen sie allerdings gar nicht wirklich zufällig sein, sondern nur so aussehen. Manchmal funktionieren sogar schlechte Imitate am besten.
Spiel mit dem Zufall

Anfang der 1990er Jahre begann Spassimir Paskov im Rahmen seiner Promotion an der Columbia University in New York ein damals neues Finanzinstrument zu analysieren: mit Hypotheken besicherte Wertpapiere (collateralized mortgage obligations, kurz CMOs), die die Investmentbank Goldman Sachs herausgab. Der Doktorand suchte nach einer Möglichkeit, anhand der zu erwartenden künftigen Zahlungsflüsse für tausende Hypotheken mit einer Laufzeit von 30 Jahren den aktuellen Wert solcher Anleihen zu kalkulieren. Dazu genügte es nicht, mit einer Standardformel Zinseszinsen zu berechnen. Hypotheken werden oft vorzeitig abgelöst, etwa beim Verkauf des betreffenden Hauses oder im Zuge einer Umschuldung. Manche Darlehen fallen wegen Zahlungsunfähigkeit des Schuldners aus. Außerdem können die Zinssätze steigen oder sinken. Der momentane Wert eines CMO entspricht dem zu erwartenden Ertrag über die gesamte Laufzeit von 30 Jahren und wird somit von insgesamt 360 ungewissen, voneinander abhängigen monatlichen Zahlungseingängen bestimmt. Mathematisch gesehen, handelt es sich folglich um eine Art Mittelwert über eine Funktion mit 360 Variablen. Paskov hätte demnach ein Integral im 360-dimensionalen Raum berechnen müssen.

Das schloss eine exakte Lösung des Problems aus. Der Doktorand und sein Betreuer Joseph Traub behalfen sich deshalb mit einem etwas undurchsichtigen Näherungsverfahren: der so genannten Quasi-Monte-Carlo-Methode...

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  • Quellen

Caflisch, R. E.: Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods. In: Acta Numerica 7, S. 1 – 49, 1998

Chazelle, B.: The Discrepancy Method: Randomness and Complexity. Cambridge University Press, Cambridge 2000

Kuo, F. Y., Sloan, I. H.: Lifting the Curse of Dimensionality. In: Notices of the American Mathematical Society 52, S. 1320 – 1328, 2005

Matousek, J.: Geometric Discrepancy: An Illustrated Guide. Springer, Heidelberg 1999/2010

Paskov, S. H., Traub, J. E.: Faster Valuation of Financial Derivatives. In: Journal of Portfolio Management 22, S. 113 – 121, 1995