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Zahlentheorie: Springmeister im Zahlenreich

Wenn ein Satz über Primzahlen bis weit in die Billionen gültig ist, dann wird er ja wohl für alle Zahlen gelten? Falsch. Einige interessante Ereignisse finden erst in der Gegend von 1035 oder 10425 statt.


Die Mathematik ist voller Überraschungen. Wer hätte gedacht, dass so etwas Gewöhnliches wie die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, 4, ...) etwas so Erstaunliches wie die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...) hervorbringen können?

Hat man eine natürliche Zahl zur Hand, so ist es das Einfachste von der Welt, die nächste natürliche Zahl zu bestimmen: Man addiere 1 zu der gegebenen Zahl. Aber wie weit ist es von einer gegebenen Primzahl zur nächsten? Die Größe dieser Lücke scheint völlig undurchschaubar. Aber von den sehr einfachen zu den sehr komplizierten Zahlen ist es nur ein kleiner Schritt: Primzahlen sind genau die natür­lichen Zahlen, die keine echten Teiler haben.

Wo exakte Antworten nicht zu haben sind – was bei Primzahlen leider sehr häufig vorkommt –, helfen nur statistische Sätze und Näherungsformeln. Unter ihnen gibt es allerdings sehr genaue. So besagt der Primzahlsatz, dass es mit sehr geringer Abweichung ungefähr x/logx Primzahlen unterhalb von x gibt (wobei log für den natürlichen Logarithmus steht). Daher wissen wir beispielsweise, dass es ungefähr 4,3×1097 Primzahlen mit weniger als hundert Dezimalstellen gibt; aber die genaue Zahl kennt niemand.

Andrew Odlyzko von der Universität von Minnesota in Minneapolis, Michael Rubinstein von der Universität von Texas in Austin und Marek Wolf von der Universität Wrócaw (Breslau) haben ihre Aufmerksamkeit den Lücken zwischen aufei­nander folgenden Primzahlen zugewandt. Das Spiel ist eine Art Verallgemeinerung des Kinderspiels "Paradieshüpfen": Vor mir liegt ein langer, langer Gehweg, dessen Platten mit 1, 2, 3, ... nummeriert sind. Ich will den Gehweg entlanghüpfen, darf aber nur auf die Platten mit einer Primzahl als Nummer springen (und keine Primzahl auslassen). Wie weit muss ich springen?

Die erste, vorläufige Antwort ist: In der Tendenz immer weiter, je größer die Zahlen werden, denn mit zunehmender Größe werden die Primzahlen immer seltener, wie aus dem Primzahlsatz folgt. Am Anfang des langen Gehwegs sind eher Trippelschritte gefragt, und nur gelegentlich sind mäßige sportliche Leistungen erforderlich, so für die Sprungweite 8 von 89 bis 97 oder gar 14 von 113 bis 127. Aber Odlyzko, Rubinstein und Wolf interessieren sich weder für die durchschnittliche noch für die maximale Sprungweite, sondern für diejenige, die am häufigsten vorkommt. Dabei kommt es darauf an, wie lang der Gehweg ist, das heißt, in welchem Zahlenbereich (von 1 bis x) man die Sprungweiten auszählt.

Die Frage wurde zuerst von Harry Nelson vom Lawrence Livermore Laboratory in den späten 1970er Jahren aufgeworfen. Später gab John Horton Conway von der Universität Princeton den häufigsten Sprungweiten den Namen "jumping champions". Die Bezeichnung steht eigentlich für Pferde und ihre Reiter, die im Springreiten Rekorde erzielen. Nennen wir sie auf Deutsch – ebenso holprig – "Springmeister", weil es die Zahl mit den meisten Sprüngen ist.

Die Primzahlen bis 50 sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und 47. Die Folge der Lücken, also der Differenzen aufeinander folgender Primzahlen, ist 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2 und 4. Die Zahl 1 tritt nur einmal auf, weil alle Primzahlen außer 2 ungerade sind. Die anderen Lückenzahlen sind gerade. In dieser Folge tritt 2 sechsmal auf, 4 fünfmal und 6 zweimal. Also ist für x = 50 die häufigste Lückengröße 2, und diese Zahl ist damit Springmeister.

Manchmal gibt es ein Unentschieden im Kampf um den Springmeistertitel. Für x=5 kommen die Lückengrößen 1 und 2 gleich häufig, nämlich jeweils genau einmal vor. Für größere x ist 2 der einzige Springmeister, bis wir x=101 erreichen, wo sich 2 und 4 die Ehre teilen (Bild links unten). Danach sind die Springmeister 2 oder 4 oder beide, bis zu x=179; dort liegen 2, 4 und 6 gleichauf. Dann fallen 4 und 6 zurück, und 2 ist wieder der unangefochtene Sieger bis x=379, wo ihm die 6 abermals den Titel streitig macht. Oberhalb von x=389 ist der Springmeister meistens 6, gelegentlich gleichauf mit 2 oder 4 oder beiden. Aber für x zwischen 491 und 541 liegt 4 wiederum vorne. Von x=947 an ist 6 der einzige Springmeister, und eine Computersuche hat gezeigt, dass das mindestens bis x=1012 so bleibt. Nach diesem Befund liegt die Annahme nahe, dass bis auf das kleine Gerangel am Anfang der einzige langfristige Springmeister 6 ist. Aber selbst ein Gesetz, das bis in die Billionen Bestand hat, kann seine Gültigkeit verlieren, wenn die Zahlen noch größer werden: Odlyzko und seine Kollegen haben ein überzeugendes Argument dafür angegeben, dass in der Gegend um x=1,7427 ×1035 der Springmeister 6 von 30 abgelöst wird. Darüber hinaus vermuten sie, dass die 30 ihren Meistertitel an die 210 abtreten muss, wenn x in die Nähe von 10425 kommt.

Mit Ausnahme der Vier passen die vermuteten Springmeister alle in ein elegantes Schema, das sich zeigt, wenn wir ihre Zerlegung in Primfaktoren hinschreiben:
    2 = 2    6 = 2 × 3    30 = 2 × 3 × 5  210 = 2 × 3 × 5 × 7


Jede dieser Zahlen ist Produkt der ersten ein, zwei, drei ... Primzahlen. Die nächsten Zahlen mit dieser Eigenschaft sind 2310, 30030 und 510510. Im Englischen hat sich die Bezeichnung primorials eingebürgert, in Analogie zu den factorials (deutsch: Fakultäten), den Produkten der ersten eins, zwei, drei ... natürlichen Zahlen. In ihrem Artikel stellen Odlyzko und seine Mitautoren die folgende "Springmeister-Vermutung" (Jumping Champions Conjecture) auf: Die Springmeister sind genau die primorials (Produkte der ersten Primzahlen), zusammen mit 4.

Wie kommen die Autoren auf diese Idee? Ein intensiver Blick auf die Folge der Primzahlen zeigt, dass immer wieder Primzahlzwillinge vorkommen, das heißt Paare ungerader Primzahlen mit minimalem Abstand: 5 und 7, 11 und 13, 17 und 19. Nach einer noch unbewiesenen Vermutung gibt es unendlich viele solche Paare (Spektrum der Wissenschaft 2/1996, S. 26). Sie basiert auf der Vorstellung, dass die Primzahlen unter den natürlichen Zahlen "zufällig" verteilt sind, nach einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gemäß dem Primzahlsatz. Natürlich ist das Unsinn. Eine Zahl ist prim oder nicht; Wahrscheinlichkeiten spielen da keine Rolle. Aber für diese Art von Problemen ist es sinniger ­Unsinn. Wenn man der Vorstellung mit der Zufallsverteilung folgt, hört die Liste der Primzahlzwillinge jedenfalls nicht auf.

Wie steht es mit drei aufeinander folgenden ungeraden Zahlen? Können die alle prim sein? Dafür gibt es nur ein einziges Beispiel: 3, 5 und 7. Denn von drei aufeinander folgenden ungeraden Zahlen muss unweigerlich eine ein Vielfaches von 3 sein, und diese Zahl kann dann nicht prim sein, es sei denn, es wäre die 3 selbst. Aber die Muster p, p+2, p+6 und p, p+4, p+6 lassen sich nicht durch derartige Argumente wegdiskutieren; sie sind sogar recht häufig. Das erste Muster tritt bei 11, 13, 17 und bei 41, 43, 47 auf. Das zweite findet man bei 7, 11, 13 und bei 37, 41, 43.

Vor etwa achtzig Jahren haben die englischen Mathematiker Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood derartige Muster aus noch mehr Primzahlen untersucht. Mit ähnlichen Wahrscheinlichkeitsargumenten, wie ich sie für die Primzahl­zwillinge angedeutet habe, fanden sie eine Näherungsformel für die Anzahl der Primzahlfolgen mit einem bestimmten Lückenmuster. Diese Formel ist kompliziert, deshalb gebe ich sie hier nicht an, sondern verweise auf den Artikel von Odlyzko, Rubinstein und Wolf sowie die dort angegebene Literatur.

Nach dem Prinzip von Hardy und Littlewood errechneten Odlyzko und seine Kollegen eine Näherungsformel für die Anzahl N(x,d) der Lücken der Größe 2d zwischen aufeinander folgenden Primzahlen unterhalb von x. (Wir schreiben die Lückengröße als 2d statt d, weil sie ohnehin eine gerade Zahl sein muss.) Es ist anzunehmen, dass die Näherung nur dann gut ist, wenn 2d groß und x noch viel größer ist. Aus der Formel geht hervor, dass große Lücken tendenziell seltener sind als kleine, und nicht nur das: Für festes x sollte die Anzahl N(x,d) mit wachsendem d exponentiell abnehmen. In einer logarithmischen Darstellung müsste sich eine Gerade ergeben.

Das Bild oben gibt nun eine Auszählung der Lückengrößen für 13 Werte von x zwischen 230 und 244 in logarithmischer Darstellung wieder. In der Tat ist jede der Linien in etwa gerade, hat aber viele Zacken. Eine besonders hohe Spitze sieht man bei 2d=210, dem vermuteten Springmeister für sehr große x. (Die Spitze wäre noch weitaus eindrucksvoller, wenn die logarithmische Darstellung nicht generell Unterschiede einebnen würde.) All das legt die Vermutung nahe, dass die Formel für N(x,d) nicht allzu weit daneben liegt.

Tomás Oliveira e Silva von der Universität Aveiro (Portugal) hat bei seinen Untersuchungen zur berühmten, bislang unbewiesenen Goldbach-Vermutung ("Jede gerade Zahl ist Summe von zwei Primzahlen") eine Tabelle der Primzahlen bis ungefähr 1016 berechnet und bei der Gelegenheit auch gleich die Lücken zwischen aufeinander folgenden Primzahlen ausgezählt. Überraschend früh, nämlich kurz hinter 1015, erscheint die unerwartet große Lücke von 1132, woraufhin einige Näherungsformeln nachgebessert werden mussten.

Wenn 2d Springmeister sein soll, dann muss der Wert N(x,d) ziemlich groß sein – größer als alle Werte N(x,e) für e ungleich d. Um dies zu erreichen, muss 2d viele ­verschiedene Primfaktoren enthalten und sollte dabei so klein wie möglich sein. Beide Bedingungen zusammen werden am besten von den oben betrachteten Produkten der ersten ein, zwei, drei ... Primzahlen erfüllt. Der Springmeister 4 ist wahrscheinlich eine Ausnahme. Sie gilt in einem Bereich, wo die Formel für N(x,d) noch keine gute Näherung liefert. Aus der Formel lässt sich auch ungefähr entnehmen, wann ein neues Produkt früher Primzahlen die Führung als Springmeister übernimmt.

Was bleibt den Liebhabern der Mathematik zu tun übrig? Beweisen Sie die Springmeister-Vermutung, selbstverständlich, oder widerlegen Sie sie. Wenn Ihnen beides nicht gelingt, können Sie andere interessante Eigenschaften der Lückenfolge erforschen. Welche Lücke zwischen Primzahlen unterhalb von x hat die geringste Häufigkeit (ungleich null)? Und welche hat genau – oder so genau wie möglich – die Durchschnittshäufigkeit? Soweit ich weiß, ist darüber selbst für kleine x kaum etwas bekannt.

Literaturhinweis


Jumping Champions. Von Andrew Odlyzko, Michael Rubinstein und Marek Wolf in: Journal of Experimental Mathematics, Bd. 8, Nr. 2, S. 107.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 3 / 2003, Seite 110
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
3 / 2003

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 3 / 2003

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