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Statistische Versuchsmethodik zur Qualitätssicherung und -verbesserung


Werden in der Produktentwicklung möglichst früh Qualitätstechniken eingesetzt, lassen sich Kosten vermeiden, wie sie sonst beim Beheben von Fehlern im nachhinein anfallen. Das ist kein geringer Betrag – erfahrungsgemäß wachsen diese Kosten exponentiell mit der bis zur Entdeckung verstrichenen Zeit. Präventiv setzt man deshalb die statistische Versuchsmethodik ein, die sich aber auch zur Optimierung von Fertigungsprozessen oder bestehenden Produkten eignet. Sie ist keine einzelne Methode, sondern ein umfangreiches Sortiment experimenteller und statistischer Verfahren. Die Maxime ist immer, mit möglichst wenigen Versuchen eine umfassende Aussage zu treffen.

Die klassischen Grundelemente entwickelte Sir Ronald Aylmer Fisher (1880 bis 1962), Mitarbeiter des Statistischen Laboratoriums Rothamsted in Großbritanien, im Jahre 1920. Erstmals wurde dann ein Versuchsplan nach seinen Prinzipien 1924 in der Landwirtschaft eingesetzt; unter anderem verglich man die Ernteerträge abgegrenzter Parzellen, die verschieden gedüngt und bewässert worden waren.

Doch erst die englische Übersetzung der statistischen Analysen des Japaners Genichi Taguchi zu Beginn der achtziger Jahre interessierte westliche Industrieunternehmen für diese Art von Verfahren (Taguchi hatte in Japan sehr erfolgreich staatliche Einrichtungen und Firmen beraten). Allerdings zeigten Adaptationsversuche, daß die Anwendung der statistischen Methoden großer Sachkenntnis bedarf. Die hier dargestellte Vorgehensweise basiert auf den von Fisher erarbeiteten Prinzipien, die nicht nur in Industrie und Forschung, sondern generell eingesetzt werden können.

Durch Experimentieren sucht man, geeignete Parametereinstellungen für ein Produkt oder einen Prozeß zu ermitteln, um festgesetzte Ziele, wie etwa ein Qualitätsplan sie vorgibt, zu erreichen; das kann beispielsweise eine geringere Ausschußrate einer bestimmten Fertigungslinie sein oder stärkere Robustheit eines Produkts gegenüber Temperaturschwankungen. Herkömmlich wird meist nur ein Parameter verändert und die Auswirkung auf die zu untersuchende Zielgröße ermittelt. Dagegen werden bei der statistischen Versuchsmethodik mehrere, als Faktoren bezeichnete Einflußgrößen gleichzeitig variiert.

Zu Beginn sind die Wirkungen von einstellbaren oder eventuellen störenden Faktoren auf die Zielgrößen unbekannt. Zu klären sind deshalb in erster Linie die Wirkzusammenhänge (die Gründe dafür interessieren bei solchen Untersuchungen meist nicht). Man verändert die Faktoren nach zuvor festgelegten statistischen Gesetzmäßigkeiten, um die erforderliche Versuchsanzahl zu reduzieren und dabei auch Wechselwirkungen zwischen ihnen zu erfassen.

Will man lediglich die signifikanten Einflußgrößen identifizieren, eignen sich Screening-Pläne, bei denen für jeden Parameter in der Regel zwei Werte durchprobiert werden. Zugrunde liegt die Annahme, der Zusammenhang von Eingangs- und Zielgröße sei linear, ließe sich also durch eine Gerade darstellen; und die kann man anhand von zwei Stützpunkten berechnen. Diese Vorgehensweise reicht häufig aus und bietet in jedem Fall eine Grundlage für weitere Schritte. Komplexere Zusammenhänge bedürfen aufwendigerer statistischer Verfahren wie etwa der nichtlinearen Regressionsanalyse.


Vorarbeiten

Ausgangspunkt der Versuchsplanung ist eine gründliche Systemanalyse. Dazu setzen sich Experten der Produkt- beziehungsweise Prozeßtechnologie und Fachleute der statistischen Versuchsmethodik an einen Tisch. Sie legen die Zielgrößen fest und ermitteln Einfluß- beziehungsweise Störgrößen. Um die Anzahl der experimentell zu untersuchenden Faktoren gering zu halten, erkunden sie auch mögliche Wechselwirkungen der Einflußgrößen untereinander.

Dann werden die Versuchspläne festgelegt. Unseren praktischen Erfahrungen zufolge erfordern diese ersten Phasen häufig nahezu die Hälfte der Gesamtaufwendungen. Bei Durchführung und Auswertung der Versuche zeigt sich, wie effektiv gearbeitet wurde.


Vollfaktorielle Versuchspläne

Als Beispiel dieser vom statistischen Aufwand her einfachen, doch sehr wirkungsvollen Methode betrachten wir die Aufgabe, die Sinkzeit eines Segelflugzeugs zu verlängern. Dazu eignet sich ein 22-Versuchsplan. Die Bezeichnung drückt aus, daß zwei Faktoren gleichzeitig anhand von jeweils zwei Werten – sogenannten Stufen – hinsichtlich ihrer Wirkung auf die Zielgröße untersucht werden. (Bei vollständiger Variation der Versuchseinstellungen beträgt die Gesamtanzahl der erforderlichen Experimente bei n Stufen und k Faktoren nach den Gesetzen der Kombinatorik nk.) Als Faktoren wählen wir exemplarisch die Einflußgrößen Höhenruderfläche A und Spannweite B (Bild 1a links). Der Einfachheit halber bezeichnen wir jeweils den kleineren Wert mit "-" und den größeren mit "+". Diese Transformation auf eine Einheitsskala vereinfacht auch die mathematischen Berechnungen im Zuge der Auswertung. Nun arrangiert man alle möglichen Kombinationen der Einheitswerte in einer Matrix (Bild 1a rechts), wobei die Versuchseinstellungen beziehungsweise Vorzeichen der einzelnen, spaltenweise angeordneten Faktoren in den jeweiligen Versuchszeilen zweckmäßigerweise gemäß der sogenannten Standardreihenfolge eingetragen und ermittelt werden: Der erste Faktor beginn mit einem "-" und wechselt jede Zeile das Vorzeichen, der zweite wechselt jede zweite Zeile das Vorzeichen (bei größeren Plänen ein k-ter Faktor jede 2k-1-te Zeile). Anschließend werden die Versuche zeilenweise ausgeführt. Zunächst stellt man die Faktoren A und B beispielsweise jeweils auf den Minus-Wert ein. Um die Streuung der Ergebnisse abzuschätzen, führt man die Versuchszeilen jeweils mehrfach aus und bestimmt den Mittelwert. Eine einfache Form der Auswertung ist die Berechnung von Haupteffekten (Bild 1 b). Darunter versteht man die mittlere Änderung der Zielgröße bei Variation eines Faktors. Der Haupteffekt der Höhenruderfläche ergibt sich beispielsweise als Differenz zwischen dem Mittelwert auf der oberen und dem auf der unteren Versuchseinstellung zu 32 Sekunden, eine Vergrößerung des Höhenruders verlängert also die Sinkzeit im Mittel um eben diesen Betrag und ist damit ein Schritt in die richtige Richtung. Ebenso läßt sich der Haupteffekt der Spannweite bestimmen. Eine Wechselwirkung AB liegt dann vor, wenn der Einfluß eines Faktors auf die Zielgröße von den Einstellungen des anderen Faktors abhängt. Diesen Effekt kann man durch simultanes Verstellen mehrerer Faktoren prüfen. Das entspricht beispielsweise der Differenz des Haupteffekts von A bei Einstellung von B auf hohem und des Haupteffekts von A bei Einstellung von B auf niedrigem Niveau (Bild 1c). Sortiert man in der Formel um, läßt sich eine einfachere Rechenvorschrift ableiten: Man multipliziert zeilenweise die Vorzeichen der Spalten A und B und bestimmt anschließend quasi den Haupteffekt des Produkts als Differenz der Mittelwerte bei AB auf "+" und "-". Im vorliegenden Falle zeigt sich, daß der Effekt der Höhenruderfläche bei größerer Spannweite 18 Sekunden größer ist als bei niedriger.

Teilfaktorielle Pläne

Mit zunehmender Anzahl zu untersuchender Faktoren steigt der Versuchsaufwand exponentiell an. So sind bei vier Faktoren – ohne die für eine aussagekräftige Versuchsauswertung erforderlichen Wiederholungen – bereits 16 Experimente durchzuführen; in der Industrie ist das eine absolute Grenze. Um den Aufwand zu verringern, nutzt man häufig teilfaktorielle Pläne, die bestimmte oder sogar alle Wechselwirkungen vernachlässigen. Wäre in unserem Beispiel ein dritter Faktor C zu berücksichtigen, etwa die Flügelspannweite, und dabei die Wechselwirkung zwischen A und B vernachlässigbar, überlagert man der Wechselwirkungsspalte eine für C, gibt also diesem neuen Faktor dieselben Vorzeichen wie der Wechselwirkung. Man spricht nun vom 23-1-Versuchsplan, wobei im Exponenten die Anzahl der Faktoren abzüglich der Überlagerungen angegeben wird (Bild 2). Ein solches Vorgehen ist aber nur dann sinnvoll, wenn tatsächlich alle Wechselwirkungen – nicht nur AB – zu vernachlässigen sind. Der Auswertematrix entnimmt man, daß die Wechselwirkung AC dasselbe Vorzeichen hat wie B und die Wechselwirkung BC dasselbe wie A, so daß in diesem Falle alle Haupteffekte mit Wechselwirkungen vermengt sind. Die Kunst besteht also darin, zusätzliche Faktoren derart in den Versuchsplan einzubringen, daß wichtige Wechselwirkungen unvermengt erhalten bleiben. Des weiteren ist darauf zu achten, daß sich auch unsinnige Ergebnisse produzieren ließen. So könnte man die Auswirkung der Farbe des Flugzeugs auf die Sinkgeschwindigkeit untersuchen und durch diesen Faktor die Spalte AB ersetzen. Weil nun die vernachlässigten Wechselwirkungen, wie wir bereits wissen, deutlich Einfluß nehmen, ergibt sich rein rechnerisch ein scheinbarer Einfluß der Farbe. Solche zweistufigen Versuchspläne werden meist zur Identifizierung signifikanter Haupt- beziehungsweise Wechselwirkungseffekte verwendet. Häufig liefern sie ausreichende Informationen. Sollen die Wirkzusammenhänge zwischen Einfluß- und Zielgrößen aber detaillierter untersucht werden, etwa auch mit aufwendigeren statistischen Verfahren, sind mehr Stufen pro Faktor zu berücksichtigen. Der Aufwand für die Durchführung steigt dabei stark an: Während bei einem zweistufigen Versuchsplan für drei Faktoren 23 , also 8 Versuche erforderlich sind, sind es bei drei Faktorstufen bereits 33, also 27, und bei fünf Stufen 125. Deswegen muß man geeignete Versuchspläne auswählen, die mit minimalem Aufwand maximalen Informationszuwachs ermöglichen, wobei schon mit zweistufigen Plänen durchgeführte Versuche zu nutzen sind. Moderne Verfahren können bei drei Faktoren mit nur 15 Versuchen adäquate statistische Modelle liefern. Um die gewünschte Präzision zu erreichen, ist es freilich häufig unabdingbar, den gesamten Ablauf von der Systemanalyse an iterativ zu wiederholen. Viele Auslegungs- und Optimierungsaufgaben in der Forschung und industriellen Praxis, aber auch im Dienstleistungsgewerbe lassen sich durch die statistische Versuchsmethodik unterstützen. So haben wir sie in der Biochemie, der Lebensmittel-, der Kosmetik-, der chemischen sowie der rohstoffverarbeitenden Industrie ebenso erfolgreich angewandt wie im Werkzeugmaschinenbau und bei Automobil-Zulieferern.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 1 / 1997, Seite 103
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
1 / 1997

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 1 / 1997

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