Ich habe Ihnen schon früher (Spektrum der Wissenschaft, Januar 1991 und Juni 1992, jeweils Seite 12) von Matthew Morrison Maddox, dem Mathemagier, erzählt. Wie jeder professionelle Zauberkünstler darf er seine Geheimnisse nicht preisgeben. Aber mit etwas mathematischem Scharfsinn kommt man hinter die einfacheren seiner Tricks.

Ein Beispiel: Maddox betritt unter mäßigem Applaus eine kleine Hinterhofbühne in Marseille, wie immer in seinen selbstgewebten schwarzen Mantel mit der hölzernen Kette gekleidet. Für die erste Nummer bittet er eine junge Dame aus dem Publikum auf die Bühne.

„Würden Sie uns bitte Ihren Namen verraten?“

„Josephine.“

Auf einem Tisch steht ein kleines, rotes Kästchen, daneben eine Schiefertafel und Kreide. „Josephine, sind Sie gut im Kopfrechnen?

„Na ja …“

„Ich nicht. Vielleicht möchten auch Sie lieber die Technik zu Hilfe nehmen.“ Er holt ihr einen Taschenrechner aus den Haaren. „Ungewöhnlich, aber praktisch. So haben Sie ihn stets griffbereit.“ Gelächter im Publikum. „Zahlen sind geheimnisvoll, wissen Sie. Um das zu beweisen, werde ich mir die Augen verbinden und Ihnen den Rücken zuwenden. Und nun schreiben Sie bitte Ihr Alter auf die Tafel.“

„Monsieur, eine Dame verrät niemals ihr Alter!“

„Für die Zauberkunst müssen Opfer gebracht werden, Josephine. Schreiben Sie so, daß weder ich noch das Publikum etwas sehen kann, und legen Sie die Tafel mit der Schrift nach unten auf den Tisch. Sind Sie fertig?“

„Ja.“

„Sie finden in dem roten Kästchen Karten mit den Zahlen von 1 bis 16 vor. Sie wissen, was eine Primzahl ist?“

„Ja. Eine, die keine anderen Faktoren als 1 und sich selbst hat.“

„Sehr schön. Alle anderen Zahlen sind zusammengesetzt. Bitte tippen Sie Ihr Alter in den Rechner. Dann nehmen Sie in beliebiger Reihenfolge eine Karte nach der anderen aus dem Kästchen. Wenn die Zahl auf der Karte zusammengesetzt ist, werfen Sie sie auf den Boden. Aber wenn sie eine Primzahl ist, dann multiplizieren Sie die Zahl im Taschenrechner mit der Zahl auf der Karte. Fahren Sie so fort, bis Sie alle Karten aufgebraucht haben.“

Josephine folgt dieser Anweisung.

„Vielen Dank. Nun haben Sie eine lange Rechnung gemacht und eine recht große Zahl herausbekommen … sechsstellig, schätze ich.“

„Ja. Aber woher wissen Sie …“

„Mathemagie, Verehrteste. Nun – die Rechnung war zwar kompliziert; aber wenn Sie mir sagen würden, bei welcher Zahl Sie angelangt sind, und ich würde Ihnen Ihr Alter nennen, wären Sie nicht besonders überrascht.“

„Nur ein bißchen.“

„Aber ich werde Sie nicht nach der Zahl fragen. Ich frage Sie nur nach einer der sechs Ziffern und werde dann auf der Stelle Ihr Alter nennen.“

„Oh.“

„Nennen Sie mir die zweite Ziffer.“

„Sechs.“

„Dann sind Sie zweiundzwanzig Jahre alt! Stimmt’s? Bitte zeigen Sie dem Publikum die Tafel.“ Josephine tut es, errötend. Stürmischer Beifall.

Die Faktorisierung von 1001

Nach der Show suchte ich Maddox in der Garderobe auf. „Na, hast du es schon herausgefunden?“ fragte er.

„Den Trick mit dem Alter?“

„Ja. Den solltest du durchschauen können.“

Ich nickte. „Hat er mit 1001 zu tun?“

Er lachte. „Du mußt dich schon genauer erklären, mein Freund. Aber zuerst“ – er griff ins Nichts und hatte plötzlich einen Korkenzieher in der Hand, den er mir zusammen mit zwei Gläsern und einer Flasche Rotwein übergab – „sei so freundlich und öffne die Flasche.“ Ich mühte mich ab, bis ich entdeckte, daß der Korkenzieher ein Linksgewinde hatte. Also drehte ich gegen den Uhrzeigersinn und schenkte zwei Gläser ein. Aus meinem rann der Wein heraus und auf mein Hemd. Die Flecken wurden erst blau, dann grün und verschwanden schließlich. Kommentarlos reichte Maddox mir ein neues Glas.

„Nun“, begann ich, „es gibt viele nette Zahlentricks, die darauf beruhen, daß 1001 gleich 7¥11¥13 ist. Wenn man eine dreistellige Zahl, sagen wir 567, mit 1001 multipliziert, erhält man dieselben drei Ziffern doppelt: 567567.“

„Du bist auf der richtigen Spur.“

„Im Grunde geht es darum zu verschleiern, daß mit 1001 multipliziert wird. Also läßt du statt dessen mit 7, 11 und 13 nacheinander malnehmen. Bei deinem Trick hat Josephine ihr Alter mit allen Primzahlen zwischen 1 und 16 multipliziert, also mit 2, 3, 5, 7, 11 und 13. Die Zahl 1 gilt nicht als Primzahl, aber wenn man sie hier mit einbezieht, ändert es auch nichts. Sie wählte diese Zahlen in zufälliger Reihenfolge – ein geschicktes Ablenkungsmanöver; aber darauf kommt es beim Multiplizieren ja auch nicht an.“

„Richtig. Weiter?“

„Nehmen wir Josephines Alter, 22. Mit 2¥3¥5¥7¥11¥13 zu multiplizieren ist das gleiche wie zuerst mit 2¥3¥5 =30 zu multiplizieren und dann mit 7¥11¥13=1001. Mit 30 zu multiplizieren ist das gleiche wie mit 3 malzunehmen und dann eine Null anzuhängen; es ergibt sich 660. Bei der anschließenden Multiplikation mit 1001 wird die Ziffernfolge einfach verdoppelt: 660660. Allgemein hat das Endergebnis immer die Form ab0ab0, wobei ab das Dreifache des Alters ist. Obwohl das Ergebnis sechs Ziffern hat, brauchst du nur zwei davon zu kennen – die beiden ersten.“

„Ich habe aber nur nach der zweiten Ziffer gefragt.“

„Das war in diesem Fall die Sechs. Das Dreifache ihres Alters ist also a6. Nun ist eine Zahl genau dann ein Vielfaches von 3, wenn das für ihre Quersumme gilt. Also muß a gleich 0, 3, 6 oder 9 sein. Somit ist das Dreifache ihres Alters 06, 36, 66 oder 96 und das Alter selbst 2, 12, 22 oder 32. Auf zehn Jahre genau kannst du das Alter einer Frau wohl schätzen, und deshalb wußtest du, daß nur 22 in Frage kommt.“

„Du hast es fast durchschaut.“

„Laß mich weiter raten. Sie muß unter 33 sein, sonst kommst du in Schwierigkeiten: mehr als sechs Ziffern auf dem Rechner. Hmmm … Du suchst dir immer Frauen aus, die nach einem Alter zwischen 19 und 28 Jahren aussehen, und schränkst so von vornherein die Möglichkeiten ein. Und selbst wenn deine Schätzung ein paar Jahre daneben liegt, kannst du leicht eine 17jährige von einer 27jährigen unterscheiden.“

„So ungefähr.“

„Und während du sagst ,Dann sind Sie‘, rechnest du die fehlende Ziffer aus und teilst durch 3. Oder noch besser: Du multiplizierst die genannte Ziffer mit 3. Was bis zum nächsten Zehner fehlt, ist die letzte Ziffer des gesuchten Alters.“

Er schüttelte den Kopf. „Nein, ich habe den Trick so oft gemacht, daß ich die Antwort auswendig weiß, sobald sie mir ihre Ziffer nennt. Stell mich auf die Probe. Nenne mir die Endziffer, und ich nenne dir sofort das Alter – wenn es zwischen 19 und 28 liegt.“

„Gut. Sieben.“

„Neunzehn.“

„Acht.“

„Sechsundzwanzig.“

„Zwei.“

„Vierundzwanzig.“

„Ich bin überzeugt“, gab ich zu. Später arbeitete ich die vollständige Tabelle aus. Es ist nicht schwierig, sie auswendig zu lernen:



Endziffer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Alter 20 27 24 21 28 25 22 19 26 23



„Das erinnert mich an ein interessantes mathematisches Problem“, sagte ich und schenkte nach. „Die Faktorisierung 7¥11¥13 der Zahl 1001 ist für eine der merkwürdigsten Koinzidenzen der ganzen Mathematik verantwortlich.“

„Insofern irgend etwas in der Mathematik überhaupt eine Koinzidenz sein kann“, meinte Maddox. Er hatte mir einen Schuh ausgezogen und Knoten in die Schnürsenkel gebunden. Nun schnitt er sie mit einer riesigen Schere in Stücke. Hoffentlich wußte er, was er tat. „Schließlich gibt es kein zufälliges Zusammentreffen in der Mathematik.“

Das Pascalsche Dreieck

„Schon recht“, sagte ich. „Aber es sieht manchmal so aus. Meine Koinzidenz hat mit dem Pascalschen Dreieck zu tun, der Tabelle der Binomialkoeffizienten.“ „Kenne ich. Jede Zahl ist die Summe der beiden darüberstehenden, und an den Enden jeder Zeile steht eine 1. Bitte sehr.“ Er gab mir meinen Schuh zurück. Der Senkel war intakt, schien aber nur noch aus einer nahtlosen Endlosschleife ohne Knoten zu bestehen. Maddox schrieb auf seine Tafel: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 „Danke, du kannst aufhören“, unterbrach ich ihn hastig. Es macht mir immer Bauchschmerzen, allzuviele konkrete Zahlen auf einmal zu sehen. Ich beeilte mich, das Thema in angenehmere Bahnen zu lenken – abstrakte. Abgesehen von seiner allgemeinen Bedeutung für die Algebra und andere Gebiete ist das Pascalsche Dreieck auch vom zahlentheoretischen Standpunkt aus sehr interessant. Die allgemeine Formel für die r-te Zahl in der n-ten Zeile ist Im Beispiel: Dabei läuft die Nummer r für die Zahlen der n-ten Zeile von 0 bis n. Obwohl das Pascalsche Dreieck über die Addition definiert ist, kommen in der allgemeinen Formel nur Multiplikation und Division vor. Das ist merkwürdig. Es können unerwartet Eigenschaften auftauchen, die mit Addition gar nichts zu tun haben. „Könntest du diese Weisheit mit einem Beispiel erhellen?“ bat Maddox. „Aber selbstverständlich. Es sei n eine Primzahl. Dann sind alle Einträge in der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks, außer dem nullten und dem letzten, durch n teilbar.“ „Mal sehen … 5 ist eine Primzahl, und die Einträge in der fünften Zeile sind 1, 5, 10, 10, 5, 1. Alle außer 1 sind Vielfache von 5. Stimmt. Aber was ha-ben Primzahlen mit Addition zu tun?“ „Zunächst einmal gar nichts. Das ist es ja gerade. Aber man kann trotzdem ohne weiteres einsehen, daß die Behauptung stets zutrifft. Der Zähler des Bruches ist n(n–1)…(n–r+1), und der enthält offensichtlich den Primfaktor n – außer wenn r=0 ist, denn dann ist der Ausdruck als leeres Produkt zu interpretieren und hat den Wert 1. Der Nenner ist r(r–1)…1. Da r kleiner als n ist, hat keine der Zahlen im Nenner einen gemeinsamen Teiler mit n, denn n ist eine Primzahl. Also kann der Faktor n im Zähler sich nicht herauskürzen, und folglich muß selbst durch n teilbar sein.“ „Einleuchtend. Ja, ich sehe ein, es wäre wohl sehr mühsam, so etwas direkt aus der Definition durch Addition zu beweisen.“ „Die Teilbarkeitsbeziehungen im Pascalschen Dreieck sind überhaupt sehr kompliziert. Wenn man alle Einträge markiert, die durch eine bestimmte Primzahl teilbar sind, erhält man eine Figur aus der fraktalen Geometrie, das Sierpi´nski-Dreieck (Bild). Und wenn man zusammengesetzte Zahlen anstelle der Primzahlen nimmt, ist es noch komplizierter. Es ist erstaunlich, daß es über das Pascalsche Dreieck überhaupt noch Neues zu entdecken gibt, obwohl es schon seit langer Zeit studiert wird.“ „Nun ja, Blaise Pascal lebte von 1623 bis 1662. Das ist ein Weilchen her.“ „Aber das Dreieck war schon lange vor ihm bekannt! Es prangt auf der Titelseite eines Arithmetikbuches von Petrus Apianus aus dem frühen 16. Jahrhundert, findet sich in einem chinesischen Mathematikbuch von 1303 und ist nachweisbar bis zurück zu dem persischen Universalgelehrten Omar Khayyám um 1100, der seinerseits mit großer Wahrscheinlichkeit aus noch älteren arabischen oder chinesischen Quellen schöpfte. Der deutsche Mathematiker und protestantische Pfarrer Michael Stifel hat den Terminus Binomialkoeffizient um 1500 eingeführt; die explizite Formel findet sich dann bei Isaac Newton. Der mathematische Ausdruck – wenn auch nicht in dieser Schreibweise – und seine Interpretation als die Anzahl der Möglichkeiten, aus n Gegenständen r Stück auszuwählen, waren schon dem indischen Gelehrten Bh–askara im 12. Jahrhundert geläufig. Und trotz dieser ehrwürdigen Geschichte sind viele Fragen immer noch offen. Eine der einfachsten hat David Singmaster 1971 gestellt: Wie oft kann eine Zahl im Pascalschen Dreieck vorkommen?“ „Wie bitte?“ „Nun, nehmen wir die Zahl 6. Sie kommt dreimal im Pascalschen Dreieck vor. Einmal fast am Anfang und fast am Ende von Zeile 6, und dann in der Mitte von Zeile 4: Dieselbe Frage können wir für jede andere Zahl stellen.“ „Ach so. Die Zahl 1 kommt natürlich unendlich oft vor.“ „Ja, und es ist die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft. Singmaster hat 1971 auch bewiesen, daß keine Zahl oberhalb von 1 häufiger als mal vorkommt. Viele Zahlen tauchen doppelt auf, da jede Zeile im Pascalschen Dreieck palindromisch ist, das heißt vorwärts und rückwärts gelesen gleich aussieht. Also erscheint jede Zahl, die nicht genau in der Mitte einer Zeile steht, zweimal in dieser Zeile.“ „Und jede, die nicht in der Mitte und nicht an zweiter oder vorletzter Stelle ihrer Zeile steht, kommt wenigstens viermal vor“, ergänzte Maddox. „Richtig. Aber woher weißt du …?“ „Nun, nimm eine Zahl wie 15. Sie steht zweimal in der sechsten Zeile, als und . Aber außerdem tritt sie auch als und in Erscheinung, denn die zweite und vorletzte Zahl in Zeile m sind stets gleich m.“ „Ausgezeichnet!“ lobte ich. „Wir wissen also, daß unendlich viele Zahlen wenigstens viermal im Pascalschen Dreieck vorkommen. Aber keine Zahl scheint erheblich häufiger aufzutreten. Singmaster fand heraus, daß unter den Zahlen bis eine einzige achtmal vorkommt und jede andere weniger oft. Er vermutete, daß die Anzahl der Male, die eine Zahl auftreten kann, generell durch eine Konstante k beschränkt ist. Die bisherigen Daten legen k=8 nahe.“ „Und welche ist die achtfach vorkommende Zahl?“ „3003. Deswegen erzähle ich ja die ganze Geschichte; denn 3003 ist gleich 3¥1001, und die Faktorisierung von 1001 ist der Grund für das achtfache Auftreten von 3003.“ Maddox lehnte sich zurück und zog geistesabwesend mehrere verknotete Taschentücher aus seinen Ohren. „Vielleicht erklärst du das etwas genauer.“ „Singmaster entdeckte zu seiner Überraschung in den Zeilen 14 bis 16 des Pascalschen Dreiecks ab dem vierten Eintrag das folgende Muster: Zeile 14 1001 2002 3003 Zeile 15 3003 5005 Zeile 16 8008 Zeile 14 ist die einzige, in der drei aufeinanderfolgende Einträge im Verhältnis 1:2:3 stehen. Und wenn du aus allen fünf Einträgen den gemeinsamen Faktor 1001 herausdividierst, erhältst du die Fibonacci-Zahlen 1,2,3,5,8 – das hängt mit der additiven Struktur des Pascalschen Dreiecks zusammen.“ Im Kopf des Magiers konnte man es geradezu rattern hören. „Die Zahl 3003 steht viermal in diesen Zeilen: Bei und und an den entsprechenden Stellen am anderen Ende dieser Zeilen, nämlich und .“ „Richtig.“ „Und außerdem steht sie zweimal in Zeile 3003, wie ich vorhin erklärt habe.“ „Ja, bei und .“ „Das sind zusammen sechs. Wo sind die beiden anderen Stellen?“ Ich lachte. „Das ist doch offensichtlich. Zeile 78. Bei und .“ Strinrunzeln. „Das ist ganz und gar nicht offensichtlich.“ „Ein Punkt für mich. Es ist eine Koinzidenz, und die hängt daran, daß 1001 gleich 7X11X13 ist. Ich muß ein bißchen ausholen. Wenn wir in irgendeiner Zeile drei Zahlen finden, die im Verhältnis 1:2:3 stehen, dann tritt die dritte Zahl auch eine Zeile tiefer auf. Einleuchtend?“ „Ja. Die drei Zahlen sind dann a, 2a und 3a. Und in der Zeile darunter muß dann a+2a=3a auftauchen, denn jede Zahl im Pascalschen Dreieck ist die Summe der beiden darüberstehenden.“ „Gut. Da die Zeilen palindromisch sind, kommt 3a zweimal in jeder der beiden Zeilen vor, und nach deiner Beobachtung außerdem zweimal in Zeile 3a auf; zusammen sechsmal.“ „So weit waren wir schon.“ „Nimm nun an, daß die Zahl 3a auch noch eine Dreieckszahl ist, eine Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen 1+2+…+m. Diese Zahlen sind genau die Binomialkoeffizienten . Dann wird 3a in Zeile m+1 noch zweimal vorkommen. Macht zusammen acht.“ „Das sehe ich auch ein, aber warum sollte es eine Dreieckszahl sein?“ „Keine Ahnung. Nehmen wir es einfach mal an.“ „Na schön.“ Ich merkte, daß meine Schnürsenkel sich seltsamerweise wieder normalisiert hatten. Ich wollte mich nicht ablenken lassen und fuhr fort: „Sehen wir uns die Werte , und an. In der Formel läßt sich die 4X3 im Nenner gegen die 12 im Zähler kürzen. Der Faktor 2 im Nenner teilt die 14 im Zähler, und man erhält 7. Übrig bleibt also 7X11X13, was dir bekannt vorkommen wird.“ „In der Tat.“ „Nun zu . Wir erhalten diese Zahl aus , indem wir den Zähler mit 10 und den Nenner mit 5 malnehmen. Die 5 läßt sich kürzen, und es bleibt nur noch 2. Also ist . Schließlich haben wir noch , wobei der letzte Bruch sich zu 3/2 kürzt. Folglich stehen die drei aufeinanderfolgenden Zahlen im Verhältnis 1:2:3. Überlege dir nur, wie viele einzelne Beziehungen hier zusammentreffen müssen! Fast nicht auszudenken.“ „Was ist mit den Dreieckszahlen?“ „Oh, Entschuldigung. Dreieckszahlen haben immer die Form n(n+1)/2, und 3003 ist eine, denn 3003 ist gleich 3X7X11X13=77X78/2. Warum? Eine Koinzidenz, würde ich sagen, wie die anderen Beziehungen.“ „Ich verstehe, was du meinst.“ „Du wirst es noch besser verstehen, wenn du versuchst, Singmasters Vermutung über die global beschränkte Häufigkeit zu beweisen oder zu widerlegen. Du gerätst zwangsläufig in die schwierigsten Gedanken über mögliche seltsame Koinzidenzen. Das Problem ist sehr schwer, und niemand hat auch nur einen Ansatz zu einer Lösung.“ „Das sieht wie eine der Fragen aus, mit der sich Hobbymathematiker gerne beschäftigen“, sagte Maddox nachdenklich. „Nicht um das Problem zu lösen, sondern um zu sehen, wie weit man kommt. Beispielsweise Singmasters Rechnungen über hinaus weiterzuführen. Was weiß man sonst noch über das Problem?“ „Die einzigen nichttrivialen Wiederholungen bis sind schnell aufgeschrieben (siehe Tabelle). Singmaster hat 1975 bewiesen, daß es unendlich viele Zahlen gibt, die wenigstens sechsmal im Pascalschen Dreieck stehen, zum Beispiel =61 218 182 743 304 701 891 431 482 520. Diese Zahl (eine der kleinsten, die man mit Singmasters Methode findet) taucht sogar genau sechsmal auf. Aber vielleicht kommt manche größere noch öfter vor? Du könntest die gleiche Frage für das Stirlingsche Dreieck stellen, in dem jede Zahl die Summe aus der links darüberstehenden und dem Doppelten der rechts darüberstehenden Zahl ist“, schlug ich vor. „Das sieht dann so aus: 1 1 1 3 1 1 7 5 1 1 15 17 7 1 1 31 49 31 9 1 1 63 129 111 49 11 1 Oder für das Bernoullische Dreieck 1 2 1 3 4 1 4 7 8 1 5 11 15 16 1 6 16 26 31 32 1 7 22 42 57 63 64, das wie das Pascalsche gebildet wird, nur daß rechts außen die Potenzen von 2 stehen.“ Maddox machte einen etwas erschöpften Eindruck. „Mir wäre nie in den Sinn gekommen, daß eine so einfache Frage so schwer zu beantworten ist oder in solch trübes Wasser führt.“ Er stierte in sein Weinglas, als enthalte es alle Geheimnisse des Universums, fischte eine Fliege heraus, schnippte mit den Fingern, und das Tierchen verwandelte sich in ein Chamäleon und rannte davon. „Aber“, fuhr er fort, „diese Geschichte mit 1001 ist doch keine Koinzidenz.“ „Nein?“ sagte ich. „Was sonst?“ „Magie.“


Aus: Spektrum der Wissenschaft 8 / 1993, Seite 10
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