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Tropische Geometrie: Das Skelett der Amöbe

Jüngst entstand ein neues Fachgebiet, bei dem Mathematiker geometrische Objekte so stark verändern, dass nur ein »Skelett« der eigentlichen Form zurückbleibt. Dennoch behalten die Strukturen viele ihrer ursprünglichen Eigenschaften bei – wodurch sie unerwartete Geheimnisse offenbaren.
Amöbe der komplexen Geradengleichung x + y = 1Laden...

Wenn man ein kompliziertes mathematisches Problem lösen möchte, erweist sich der direkte Weg manchmal als schwierig. In diesen Fällen lohnt es sich, vom gewohnten Pfad abzuweichen und einen Umweg in Kauf zu nehmen.

In einer solchen Situation befand sich Gerolamo Cardano im 16. Jahrhundert. Damals biss er sich an der Lösung kubischer Gleichungen die Zähne aus. Doch irgendwann kam ihm eine zündende Idee, welche die moderne Mathematik auf ungeahnte Weise prägen sollte: Er führte während seiner Berechnungen Wurzeln aus negativen Zahlen ein – heute sind sie als imaginäre Zahlen bekannt. Er maß ihnen keine besondere Bedeutung bei, sie halfen ihm aber, die kniffligen Aufgaben zu lösen. Inzwischen haben sich komplexe Zahlen, die sich aus reellen und imaginären Zahlen zusammensetzen, als so wichtig herausgestellt, dass viele aktuelle Fortschritte der Naturwissenschaften ohne sie nicht denkbar wären.

Die tropische Geometrie ist ein weiteres Beispiel für einen zielführenden Umweg. Sie entstand in den 1980er Jahren und ist inzwischen zu einem aktiven Forschungsfeld herangewachsen, das auch andere mathe­matische Bereiche beeinflusst. Einer der größten Nutz­nießer dieser Entwicklung ist die algebraische Geometrie. Wie Mathematiker feststellten, kann es sich in diesem Gebiet lohnen, einen Schlenker über die tropische Geometrie zu machen …

Juni 2019

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft Juni 2019

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  • Quellen

Gathmann, A., Markwig, H.: The Caporaso-Harris formula and plane relative Gromov-Witten invariants in tropical geometry. Mathematische Annalen 338, 2007

Gelfand, I. M. et al.: Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants. Springer Science + Business Media, 1994

Itenberg, I. et al.: A Caporaso-Harris type formula for Welschinger invariants of real toric Del Pezzo surfaces. Commentarii Mathematici Helvetici 84, 2009

Jensen, D., Payne, S.: On the strong maximal rank conjecture in genus 22 and 23. ArXiv math/0005163, 2018

Kontsevich, M.: Enumeration of rational curves via torus actions. ArXiv hep-th/9405035, 1994

Rau, J.: A first expedition to tropical geometry. Vorlesungsnotizen, 2017

Viro, O.: Dequantization of real algebraic geometry on logarithmic paper. ArXiv math/0005163, 2000