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Mathematik: Unentscheidbare Aussagen über die Natur

Die mathematische Logik lehrt uns, dass es grundsätzlich unmöglich sein kann, eine Behauptung zu beweisen oder zu widerlegen. Überraschenderweise gilt das nicht nur für abstrakte mathematische Aussagen, sondern im Prinzip auch für solche über real existierende Gegenstände.
Aperiodische Kachelung nach RobinsonLaden...

Wir drei saßen zusammen in einem Café in Seefeld, einem kleinen Städtchen tief in den österreichischen Alpen. Es war Sommer 2012, und wir steckten fest. Nicht in dem Café, im Gegenteil: Der prachtvolle Sonnenschein, der glitzernde Schnee auf den Alpengipfeln und die wunderschöne Umgebung verlockten uns nur allzu sehr, dem mathematischen Problem, mit dem wir nicht voran­kamen, davonzulaufen und nach draußen zu gehen. Wir versuchten, zwei der großen intellektuellen Errungenschaften des 20. Jahrhunderts zusammenzubringen: auf der einen Seite die mathematischen Erkenntnisse von Kurt Gödel und Alan Turing, auf der anderen Seite die Quantenphysik. Das war zumindest die große Idee, die uns zwei Jahre zuvor gekommen war, während wir uns ein Semester lang am Mittag-Leffler-Institut nahe Stockholm mit Quanteninformation befassten.

Da das Gebiet für uns vollkommen neu war, nahmen wir uns für den Anfang ein kleines und nicht besonders bedeutendes Problem vor. Seit Monaten hatten wir einen Beweis für ein ähnliches Problem. Um ihn aber auf unseres übertragen zu können, mussten wir dieses auf recht künstliche und unbefriedigende Weise konstruieren – so, als würden wir die Frage passend zur Antwort zurechtmachen ...

Januar 2019

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft Januar 2019

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  • Quellen

Cubitt, T. S. et al.: Undecidability of the Spectral Gap. In: Nature 528, S. 207–211, 2018. Langfassung (146 Seiten) unter arxiv.org/abs/1502.04573

Robinson, R. M.: Undecidability and Nonperiodicity for Tilings of the Plane. In: Inventiones Mathematicae 12, S. 177–209, 1971