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Mathematische Unterhaltungen: Tapetenfunktionen

Aus der Überlagerung ganz ­gewöhnlicher periodischer Funk­tionen entstehen die merkwürdigsten Muster, darunter sogar nichtperiodische Quasikristalle.
Pseudotapete

Erratum

Im Artikel ist die Sprache von der »Ebene, die durch die Endpunkte der fünf Einheitsvektoren geht«. Eine solche gibt es allerdings nicht. Tatsächlich ist damit vielmehr eine Ebene gemeint, die unter der genannten zyklischen Permutation der fünf Einheitsvektoren invariant ist. Sie wird von den Vektoren (τ, 1, -1, -τ, 0) und (0, τ, 1, -1, -τ) aufgespannt, wobei τ ≈ 1,618 den goldenen Schnitt darstellt.

Mathematiker haben das so an sich: Sie verwenden eine sehr abstrakte und komplizierte Darstellung für Dinge, die man auch viel einfacher ausdrücken könnte. Der Lohn der Mühe kommt dann später und vor allem an unerwarteter Stelle. Die abstrakte Formulierung erlaubt Verallgemeinerungen, auf die man in der ursprünglichen Form nie gekommen wäre. Zum Beispiel ist es von einer gewöhnlichen Tapete zu der sehr ungewöhnlichen geometrischen Anordnung, die man als »Quasikristall« zu bezeichnen pflegt, gedanklich ein weiter Weg. Aber ein wenig mathematische Abstraktion hilft ihn bahnen.

Die gemeine Tapete ist heute nur noch selten zu finden. In den 1960er Jahren pflegte man die Wände der guten Stube mit Mustern aus großen Blumen zu bekleben, die sich nach oben und unten ebenso wie nach rechts und links getreulich wiederholten und möglichst gut mit dem röhrenden Hirsch überm Wohnzimmersofa harmonierten. Die einfache mathematische Beschreibung einer Tapete läuft auf die Theorie der kristallografischen Gruppen in der Ebene hinaus: Man packt jede der großen Blumen in ein Quadrat derart, dass alle diese Vierecke zusammen die Ebene lückenlos und überlappungsfrei bedecken. So gesehen, ist die Tapete prinzipiell nichts anderes als eine Kachelung der Wand mit lauter gleichen Kacheln (auf das Material kommt es dem Mathematiker nicht an).

Wenn die Tapete tatsächlich so gemustert ist wie ein regelmäßiges Quadratgitter nach Art des klassischen Badezimmerfußbodens, dann gibt es zwei aufeinander senkrecht stehende Vektoren mit der Eigenschaft, dass das ganze Muster bei Verschiebung um einen dieser Vektoren in sich selbst übergeht (»translationsinvariant ist«). Und wenn es mit quadratischen Kacheln nicht geht, dann mit solchen in Form eines Parallelogramms.

So weit die einfache Beschreibung. Die komplizierte fasst dieselbe Tapete als ein großes Bild auf, das – zum Beispiel – aus lauter Pixeln zusammengesetzt ist …

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  • Quellen

Ahn, S. J. et al.: Dirac electrons in a dodecagonal graphene quasicrystal. Science 361, 2018

Farris, F. A.: Creating Symmetry: The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns. Princeton University Press, 2015

Farris, F. A.: Forbidden Symmetries. Notices of the American Mathematical Society 59, 2012

Farris, F. A., Lanning, R.: Wallpaper Functions. Expositiones Mathematicae 20, 2002