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Geometrie: Unordentliche Fünfeckspflasterungen

Nach jahrzehntelanger Pause ist ein neuer, fünfeckiger Stein entdeckt worden, mit dem man die Ebene lückenlos bedecken kann – aber nur auf komplizierte Weise.
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Erratum: Das von Richard E. James entdeckte Fünfeck (Nummer 10 im Eröffnungsbild des Artikels) entsteht nicht aus einem regelmäßigen Achteck. Vielmehr sind die "geraden" Seiten des Achtecks so lang wie der halbe Abstand dieser Seiten und die "schrägen" nur √2/2 mal so lang wie die geraden. Alle Winkel betragen 45 Grad, wie beim regelmäßigen Achteck.

Quadratische Kacheln fürs Badezimmer kennt jeder. Solche aus ­regelmäßigen Sechsecken nach Art der Bienenwaben kann man sich ebenfalls leicht vorstellen, auch wenn sie nicht mehr häufig zu finden sind. Aber fünfeckige Kacheln? Geht das überhaupt?

Sicher nicht mit regelmäßigen Fünfecken. Die haben einen Innenwinkel von 108 Grad; legt man drei von ihnen aneinander, bleibt eine Lücke von 36 Grad, und vier Stück passen nicht um eine Ecke. Aber wenn man die Forderungen an die Regelmäßigkeit auch nur ein bisschen lockert, tun sich zahlreiche Möglichkeiten auf.

Bild 1 zum Leserbrief von Friedrich LedererLaden...
Bild 1 | zum Leserbrief von Friedrich Lederer
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Bild 2 | zum Leserbrief von Friedrich Lederer

Eine von ihnen überraschte mich auf dem Vorplatz eines Postamts in Münster (Westfalen) – im Stadtteil ­Gievenbeck, um genau zu sein, günstig ­gelegen auf dem Weg vom Studentenwohnheim am Heekweg bis zum Mathematischen Institut am Coesfelder Kreuz. Ich war davon immerhin so beeindruckt, dass ich das Muster nachkonstruierte. Aber wie nicht anders zu erwarten, hatte der Hersteller der Pflastersteine keine tiefschürfende mathematische Forschung betrieben, sondern eine längst bekannte Form übernommen. In der Literatur heißt sie Kairoer Pflaster, weil sie angeblich zahlreiche Straßen und Plätze der ägyptischen Hauptstadt bedeckt. ...

November 2015

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft November 2015

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  • Quellen

Bagina, O.: Tiling the Plane with Congruent Equilateral Convex Pentagons. In: Journal of Combinatorial Theory, Series A 105, S. 221 – 232, 2004

Bellos, A.: Attack on the Pentagon Results in Discovery of New Mathematical Tile. In: The Guardian, 11. August 2015

Gardner, M.: Tiling with Convex Polygons. In: Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. Freeman, New York 1987, S. 163 – 176

Hirschhorn, M. D., Hunt, D. C.: Equilateral Convex Pentagons which Tile the Plane. In: Journal of Combinatorial Theory, Series A 39, S. 1 – 18, 1985

Reinhardt, K.: Über die Zerlegung der Ebene in Polygone. Dissertation, Frankfurt am Main 1918

Schattschneider, D.: Tiling the Plane with Convex Pentagons. In: Mathematics Magazine 51, S. 29 – 44, 1978